Teorema de Buchdahl

Theorem in general relativity

Evolución de la presión central en función de la compacidad (radio sobre masa) para una "estrella" de densidad uniforme. Esta presión central diverge en el límite de Buchdahl.

En relatividad general , el teorema de Buchdahl , llamado así por Hans Adolf Buchdahl , ^[1] hace más precisa la noción de que existe una densidad máxima sostenible para la materia gravitatoria ordinaria. Da una desigualdad entre la masa y el radio que debe satisfacerse para configuraciones de materia estáticas y esféricamente simétricas bajo ciertas condiciones. En particular, para el radio del área , la masa debe satisfacer ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M<{\frac {4Rc^{2}}{9G}}}$

donde es la constante gravitacional y es la velocidad de la luz . Esta desigualdad se conoce a menudo como límite de Buchdahl . El límite también se ha denominado históricamente límite de Schwarzschild, ya que Karl Schwarzschild fue el primero en observar que existía en el caso especial de un fluido de densidad constante. ^[2] Sin embargo, esta terminología no debe confundirse con el radio de Schwarzschild , que es notablemente menor que el radio en el límite de Buchdahl. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$

Teorema

Dada una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein (sin constante cosmológica ) con materia confinada en un radio superficial que se comporta como un fluido perfecto con una densidad que no aumenta hacia afuera. (Un radio superficial corresponde a una esfera de área superficial . En el espacio-tiempo curvo, el radio propio de dicha esfera no es necesariamente .) Supone además que la densidad y la presión no pueden ser negativas. La masa de esta solución debe satisfacer ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M<{\frac {4Rc^{2}}{9G}}}$

Para demostrar el teorema, Buchdahl utiliza la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) .

Significado

El teorema de Buchdahl es útil cuando se buscan alternativas a los agujeros negros . Tales intentos a menudo se inspiran en la paradoja de la información ; una forma de explicar (parte de) la materia oscura ; o para criticar que las observaciones de los agujeros negros se basan en la exclusión de alternativas astrofísicas conocidas (como las estrellas de neutrones ) en lugar de evidencia directa. Sin embargo, para proporcionar una alternativa viable a veces se necesita que el objeto sea extremadamente compacto y, en particular, viole la desigualdad de Buchdahl. Esto implica que uno de los supuestos del teorema de Buchdahl debe ser inválido. Se puede hacer un esquema de clasificación basado en qué supuestos se violan. ^[3]

Casos especiales

Fluido incompresible

El caso especial del fluido incompresible o de densidad constante, para , es un ejemplo históricamente importante ya que, en 1916, Schwarzschild observó por primera vez que la masa no podía superar el valor para un radio dado o la presión central se volvería infinita. También es un ejemplo particularmente manejable. Dentro de la estrella se encuentra. ^[4] ${\displaystyle \rho (r)=\rho _{*}}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle {\frac {4Rc^{2}}{9G}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle m(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{*}}$

y usando la ecuación TOV

${\displaystyle p(r)=\rho _{*}c^{2}{\frac {R{\sqrt {R-2GM/c^{2}}}-{\sqrt {R^{3}-2GMr^{2}/c^{2}}}}{{\sqrt {R^{3}-2GMr^{2}/c^{2}}}-3R{\sqrt {R-2GM/c^{2}}}}}}$

de modo que la presión central, , diverge como . ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle R\to 9GM/4c^{2}}$

Extensiones

Las ampliaciones del teorema de Buchdahl generalmente flexibilizan las suposiciones sobre la materia o sobre la simetría del problema, por ejemplo, introduciendo materia anisotrópica ^{[5] [6] o rotación [7]} . Además, también se pueden considerar análogos del teorema de Buchdahl en otras teorías de la gravedad ^{[8] [9]}

Referencias

1. Buchdahl, HA (15 de noviembre de 1959). "Esferas de fluidos relativistas generales". Physical Review . 116 (4): 1027–1034. doi :10.1103/PhysRev.116.1027.
2. Grøn, Øyvind (2016). "Celebrando el centenario de las soluciones de Schwarzschild". American Journal of Physics . 84 (537). doi :10.1119/1.4944031. hdl : 10642/4278 .
3. Cardoso, Vitor; Pani, Paolo (2019). "Prueba de la naturaleza de los objetos compactos oscuros: un informe de situación". Living Reviews in Relativity . 22 (1). arXiv : 1904.05363 . doi : 10.1007/s41114-019-0020-4 .
4. Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2.
5. Ivanov, Boiko (2002). "Límites máximos del corrimiento al rojo de la superficie de estrellas anisotrópicas". Physical Review D . 65 (10): 14011. arXiv : gr-qc/0201090 . doi :10.1103/PhysRevD.65.104011.
6. Barraco, Daniel; Hamity, Victor; Gleiser, Reinaldo (2003). "Reexaminando las esferas anisotrópicas en la relatividad general". Physical Review D . 67 (6): 064003. doi :10.1103/PhysRevD.67.064003.
7. Klenk, Jürgen (1998). "Propiedades geométricas de estrellas rotatorias en relatividad general". Gravedad clásica y cuántica . 15 (10): 3203. doi :10.1088/0264-9381/15/10/021.
8. Rituparno, Goswami; Maharaj, Sunil; Nzioki, Anne Marie (2015). "Límite de Buchdahl-Bondi en gravedad modificada: acumulación de masa efectiva adicional en estrellas compactas relativistas". Physical Review D . 92 (6): 064002. doi :10.1103/10.1103/PhysRevD.92.064002.
9. Feng, W.-X.; Geng, C.-Q.; Luo, L.-W. (2019). "El límite de estabilidad de Buchdahl en la gravedad de Born-Infeld inspirada en Eddington". Chinese Physics C . 43 (8): 083107. arXiv : 1810.06753 . doi :10.1088/1674-1137/43/8/083107.