Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Ecuación que explica la estructura de un cuerpo esférico de material isótropo

En astrofísica , la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff ( TOV ) restringe la estructura de un cuerpo de material isótropo con simetría esférica que se encuentra en equilibrio gravitacional estático, tal como lo modela la relatividad general . La ecuación ^[1] es

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$

Aquí, es una coordenada radial, y y son la densidad y la presión, respectivamente, del material en el radio . La cantidad , la masa total dentro de , se analiza a continuación. ${\textstyle r}$ ${\textstyle \rho (r)}$ ${\textstyle P(r)}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle m(r)}$ ${\textstyle r}$

La ecuación se obtiene resolviendo las ecuaciones de Einstein para una métrica general invariante en el tiempo y esféricamente simétrica. Para una solución a la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, esta métrica tomará la forma ^[1]

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

donde está determinado por la restricción ^[1] ${\textstyle \nu (r)}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\right){\frac {dP}{dr}}}$

Cuando se complementa con una ecuación de estado , , que relaciona la densidad con la presión, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff determina completamente la estructura de un cuerpo esféricamente simétrico de material isótropo en equilibrio. Si se descuidan los términos de orden, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se convierte en la ecuación hidrostática newtoniana , utilizada para encontrar la estructura de equilibrio de un cuerpo esféricamente simétrico de material isótropo cuando las correcciones relativistas generales no son importantes. ${\textstyle F(\rho ,P)=0}$ ${\textstyle 1/c^{2}}$

Si la ecuación se utiliza para modelar una esfera de material acotada en el vacío, la condición de presión cero y la condición deben imponerse en el límite. La segunda condición de límite se impone de modo que la métrica en el límite sea continua con la única solución estática esféricamente simétrica para las ecuaciones de campo del vacío , la métrica de Schwarzschild : ${\textstyle P(r)=0}$ ${\textstyle e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Masa total

${\textstyle m(r)}$es la masa total contenida dentro del radio , medida por el campo gravitacional percibido por un observador distante. Satisface . ^[1] ${\textstyle r}$ ${\textstyle m(0)=0}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

Aquí, nuevamente, se muestra la masa total del objeto, medida por el campo gravitacional percibido por un observador distante. Si el límite está en , la continuidad de la métrica y la definición de requieren que ${\textstyle M}$ ${\textstyle r=R}$ ${\textstyle m(r)}$

${\displaystyle M=m(R)=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr}$

Por otro lado, calcular la masa integrando la densidad del objeto sobre su volumen arrojará el valor mayor.

${\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho }{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\,dr}$

La diferencia entre estas dos cantidades,

${\displaystyle \delta M=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\right)\,dr}$

será la energía de enlace gravitacional del objeto dividida por y es negativa. ${\textstyle c^{2}}$

Derivación de la relatividad general

Supongamos un fluido perfecto, estático y esféricamente simétrico. Los componentes métricos son similares a los de la métrica de Schwarzschild : ^[2]

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

Según el supuesto de fluido perfecto, el tensor de tensión-energía es diagonal (en el sistema de coordenadas esféricas central), con valores propios de densidad de energía y presión:

${\displaystyle T_{0}^{0}=\rho c^{2}}$

y

${\displaystyle T_{i}^{j}=-P\delta _{i}^{j}}$

¿Dónde está la densidad del fluido y es la presión del fluido? ${\textstyle \rho (r)}$ ${\textstyle P(r)}$

Para continuar, resolvemos las ecuaciones de campo de Einstein:

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }}$

Consideremos primero el componente: ${\textstyle G_{00}}$

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu }}{r^{2}}}\left(1-{\frac {d}{dr}}[re^{-\lambda }]\right)}$

Integrando esta expresión de 0 a , obtenemos ${\textstyle r}$

${\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}$

donde es como se define en la sección anterior. ${\textstyle m(r)}$

A continuación, consideremos el componente. Explícitamente, tenemos ${\textstyle G_{11}}$

${\displaystyle -{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^{2}}}}$

que podemos simplificar (usando nuestra expresión para ) a ${\textstyle e^{\lambda }}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)}$

Obtenemos una segunda ecuación exigiendo continuidad del tensor de tensión-energía: . Observando que (ya que se supone que la configuración es estática) y que (ya que la configuración también es isótropa), obtenemos en particular ${\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }^{\mu }=0}$ ${\textstyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}$ ${\textstyle \partial _{\phi }P=\partial _{\theta }P=0}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\mu }T_{1}^{\mu }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}$

Reordenando los términos obtenemos: ^[3]

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}$

Esto nos da dos expresiones, ambas contienen . Eliminando , obtenemos: ${\textstyle d\nu /dr}$ ${\textstyle d\nu /dr}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right)\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$

Sacando un factor de y reordenando los factores de 2 y se obtiene la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff: ${\textstyle G/r}$ ${\textstyle c^{2}}$

Historia

Richard C. Tolman analizó métricas esféricamente simétricas en 1934 y 1939. ^{[4] [5]} La forma de la ecuación dada aquí fue derivada por J. Robert Oppenheimer y George Volkoff en su artículo de 1939, "On Massive Neutron Cores". ^[1] En este artículo, la ecuación de estado para un gas de Fermi degenerado de neutrones se utilizó para calcular un límite superior de ~0,7  masas solares para la masa gravitacional de una estrella de neutrones . Dado que esta ecuación de estado no es realista para una estrella de neutrones, esta masa límite también es incorrecta. Usando observaciones de ondas gravitacionales de fusiones de estrellas de neutrones binarias (como GW170817 ) y la información posterior de radiación electromagnética ( kilonova ), los datos sugieren que el límite máximo de masa está cerca de 2,17 masas solares . ^{[6] [7] [8] [9] [10]} Las estimaciones anteriores para este límite varían de 1,5 a 3,0 masas solares. ^[11]

Aproximación post-newtoniana

En la aproximación post-newtoniana , es decir, campos gravitacionales que se desvían ligeramente del campo newtoniano , la ecuación se puede expandir en potencias de . En otras palabras, tenemos ${\textstyle 1/c^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)+O(c^{-4}).}$

Véase también

• Portal de física

• Ecuación de la enana blanca de Chandrasekhar
• Ecuación hidrostática
• Límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
• Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein
• Fluido perfecto, estático, esférico y simétrico

Referencias

1. Oppenheimer, JR; Volkoff, GM (1939). "Sobre núcleos de neutrones masivos". Physical Review . 55 (4): 374–381. Código Bibliográfico :1939PhRv...55..374O. doi :10.1103/PhysRev.55.374.
2. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (2017). "Coordenadas y métricas para un sistema estático y esférico". Gravitación . Princeton University Press. págs. 594–595. ISBN 978-0-691-17779-3.
3. Tolman, RC (1934). Relatividad, termodinámica y cosmología . Oxford Press. págs. 243–244.
4. Tolman, RC (1934). "Efecto de la inhomogeneidad en los modelos cosmológicos" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 20 (3): 169–176. Bibcode :1934PNAS...20..169T. doi : 10.1073/pnas.20.3.169 . PMC 1076370 . PMID  16587869. 
5. Tolman, RC (1939). "Soluciones estáticas de las ecuaciones de campo de Einstein para esferas de fluido" (PDF) . Physical Review . 55 (4): 364–373. Bibcode :1939PhRv...55..364T. doi :10.1103/PhysRev.55.364.
6. Margalit, B.; Metzger, BD (1 de diciembre de 2017). "Restricción de la masa máxima de estrellas de neutrones a partir de observaciones de GW170817 con múltiples mensajeros". The Astrophysical Journal . 850 (2): L19. arXiv : 1710.05938 . Bibcode :2017ApJ...850L..19M. doi : 10.3847/2041-8213/aa991c . S2CID  119342447.
7. Shibata, M.; Fujibayashi, S.; Hotokezaka, K.; Kiuchi, K.; Kyutoku, K.; Sekiguchi, Y.; Tanaka, M. (2017-12-22). "Modelado de GW170817 basado en la relatividad numérica y sus implicaciones". Physical Review D . 96 (12): 123012. arXiv : 1710.07579 . Código Bibliográfico :2017PhRvD..96l3012S. doi :10.1103/PhysRevD.96.123012. S2CID  119206732.
8. Ruiz, M.; Shapiro, SL; Tsokaros, A. (11 de enero de 2018). "GW170817, simulaciones magnetohidrodinámicas relativistas generales y la masa máxima de la estrella de neutrones". Physical Review D . 97 (2): 021501. arXiv : 1711.00473 . Bibcode :2018PhRvD..97b1501R. doi :10.1103/PhysRevD.97.021501. PMC 6036631 . PMID  30003183. 
9. Rezzolla, L.; Most, ER; Weih, LR (9 de enero de 2018). "Uso de observaciones de ondas gravitacionales y relaciones cuasiuniversales para limitar la masa máxima de las estrellas de neutrones". Astrophysical Journal . 852 (2): L25. arXiv : 1711.00314 . Bibcode :2018ApJ...852L..25R. doi : 10.3847/2041-8213/aaa401 . S2CID  119359694.
10. "¿Qué masa puede tener una estrella de neutrones?". Universidad Goethe de Frankfurt . 15 de enero de 2018. Consultado el 19 de febrero de 2018 .
11. Bombaci, I. (1996). "La masa máxima de una estrella de neutrones". Astronomía y astrofísica . 305 : 871–877. Bibcode :1996A&A...305..871B.