Lógica probabilística

La lógica probabilística (también lógica de probabilidad y razonamiento probabilístico ) implica el uso de la probabilidad y la lógica para tratar situaciones inciertas. La lógica probabilística extiende las tablas de verdad lógicas tradicionales con expresiones probabilísticas. Una dificultad de las lógicas probabilísticas es su tendencia a multiplicar las complejidades computacionales de sus componentes probabilísticos y lógicos. Otras dificultades incluyen la posibilidad de resultados contraintuitivos, como en el caso de la fusión de creencias en la teoría de Dempster-Shafer . La confianza en las fuentes y la incertidumbre epistémica sobre las probabilidades que proporcionan, como se define en la lógica subjetiva , son elementos adicionales a considerar. La necesidad de tratar con una amplia variedad de contextos y cuestiones ha dado lugar a muchas propuestas diferentes.

Trasfondo lógico

Existen numerosas propuestas de lógicas probabilísticas. A grandes rasgos, se pueden clasificar en dos clases diferentes: aquellas lógicas que intentan hacer una extensión probabilística de la implicación lógica , como las redes lógicas de Markov , y aquellas que intentan abordar los problemas de incertidumbre y falta de evidencia (lógicas probatorias).

Que el concepto de probabilidad puede tener diferentes significados se puede entender si se observa que, a pesar de la matematización de la probabilidad en la Ilustración , la teoría matemática de la probabilidad sigue, hasta el día de hoy, en absoluto utilizada en los tribunales penales, cuando se evalúa la "probabilidad" de culpabilidad de un sospechoso de ser criminal. ^[1]

Más precisamente, en la lógica probatoria, es necesario distinguir la verdad objetiva de una afirmación de nuestra decisión sobre la verdad de esa afirmación, que a su vez debe distinguirse de nuestra confianza en su verdad: así, la culpabilidad real de un sospechoso no es necesariamente la misma que la decisión del juez sobre la culpabilidad, que a su vez no es lo mismo que asignar una probabilidad numérica a la comisión del delito y decidir si está por encima de un umbral numérico de culpabilidad. El veredicto sobre un solo sospechoso puede ser culpable o inocente con cierta incertidumbre, de la misma manera que el lanzamiento de una moneda puede predecirse como cara o cruz con cierta incertidumbre. Dado un gran conjunto de sospechosos, un cierto porcentaje puede ser culpable, de la misma manera que la probabilidad de que salga "cara" es la mitad. Sin embargo, es incorrecto aplicar esta ley de promedios a un solo criminal (o a un solo lanzamiento de moneda): el criminal no es más "un poco culpable" que predecir que un solo lanzamiento de moneda saldrá "un poco cara y un poco cruz": simplemente no estamos seguros de cuál de los dos es. Expresar la incertidumbre como probabilidad numérica puede ser aceptable cuando se realizan mediciones científicas de cantidades físicas, pero es simplemente un modelo matemático de la incertidumbre que percibimos en el contexto del razonamiento y la lógica de "sentido común". Al igual que en el razonamiento judicial, el objetivo de emplear la inferencia incierta es reunir evidencia para fortalecer la confianza de una proposición, en lugar de realizar algún tipo de implicación probabilística.

Contexto histórico

Históricamente, los intentos de cuantificar el razonamiento probabilístico se remontan a la antigüedad. Hubo un interés particularmente fuerte a partir del siglo XII, con el trabajo de los escolásticos , con la invención de la prueba a medias (de modo que dos pruebas a medias son suficientes para demostrar la culpabilidad), la elucidación de la certeza moral (certeza suficiente para actuar, pero menos que la certeza absoluta), el desarrollo del probabilismo católico (la idea de que siempre es seguro seguir las reglas establecidas de la doctrina o la opinión de los expertos, incluso cuando son menos probables), el razonamiento basado en casos de la casuística y el escándalo del laxismo (según el cual el probabilismo se utilizó para respaldar casi cualquier afirmación, siendo posible encontrar una opinión experta en apoyo de casi cualquier proposición). ^[1]

Propuestas modernas

A continuación se muestra una lista de propuestas de extensiones probabilísticas y evidenciales para la lógica clásica y de predicados .

• El término " lógica probabilística " fue utilizado por primera vez por Jon Von Neumann en una serie de conferencias de Cal Tech en 1952 y 1956 en el artículo "Lógica probabilística y la síntesis de organismos confiables a partir de componentes no confiables", y posteriormente en un artículo de Nils Nilsson publicado en 1986, donde los valores de verdad de las oraciones son probabilidades . ^[2] La generalización semántica propuesta induce una implicación lógica probabilística, que se reduce a una implicación lógica ordinaria cuando las probabilidades de todas las oraciones son 0 o 1. Esta generalización se aplica a cualquier sistema lógico para el cual se pueda establecer la consistencia de un conjunto finito de oraciones.
• El concepto central en la teoría de la lógica subjetiva ^[3] son ​​las opiniones sobre algunas de las variables proposicionales involucradas en las oraciones lógicas dadas. Una opinión binomial se aplica a una sola proposición y se representa como una extensión tridimensional de un solo valor de probabilidad para expresar la incertidumbre probabilística y epistémica sobre la verdad de la proposición. Para el cálculo de opiniones derivadas basadas en una estructura de opiniones de argumentos, la teoría propone operadores respectivos para varios conectivos lógicos, como por ejemplo la multiplicación ( AND ), la comultiplicación ( OR ), la división (UN-AND) y la codivisión (UN-OR) de opiniones, ^[4] la deducción condicional ( MP ) y la abducción ( MT )., ^[5] así como el teorema de Bayes . ^[6]
• El formalismo de razonamiento aproximado propuesto por la lógica difusa se puede utilizar para obtener una lógica en la que los modelos son las distribuciones de probabilidad y las teorías son las envolventes inferiores. ^[7] En tal lógica, la cuestión de la consistencia de la información disponible está estrictamente relacionada con la de la coherencia de la asignación probabilística parcial y, por lo tanto, con los fenómenos del libro holandés .
• Las redes lógicas de Markov implementan una forma de inferencia incierta basada en el principio de máxima entropía (la idea de que las probabilidades deben asignarse de tal manera que se maximice la entropía, en analogía con la forma en que las cadenas de Markov asignan probabilidades a las transiciones de máquinas de estados finitos ).
• Los sistemas como las redes lógicas probabilísticas (PLN) de Ben Goertzel añaden una clasificación de confianza explícita, así como una probabilidad a los átomos y las oraciones. Las reglas de deducción e inducción incorporan esta incertidumbre, evitando así las dificultades de los enfoques puramente bayesianos de la lógica (incluida la lógica de Markov), al tiempo que evitan las paradojas de la teoría de Dempster-Shafer . La implementación de PLN intenta utilizar y generalizar algoritmos de programación lógica , sujetos a estas extensiones.
• En el campo de la argumentación probabilística , se han propuesto varios marcos formales. El marco de "etiquetas probabilísticas", ^[8] por ejemplo, se refiere a espacios de probabilidad donde un espacio muestral es un conjunto de etiquetas de grafos de argumentación . En el marco de los "sistemas de argumentación probabilística" ^{[9] [10]} las probabilidades no están directamente asociadas a argumentos u oraciones lógicas. En cambio, se supone que un subconjunto particular de las variables involucradas en las oraciones define un espacio de probabilidad sobre la sub- σ-álgebra correspondiente . Esto induce dos medidas de probabilidad distintas con respecto a , que se denominan grado de apoyo y grado de posibilidad , respectivamente. Los grados de apoyo pueden considerarse probabilidades no aditivas de demostrabilidad , que generalizan los conceptos de implicación lógica ordinaria (para ) y probabilidades posteriores clásicas (para ). Matemáticamente, esta visión es compatible con la teoría de Dempster-Shafer . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\{\}}$ ${\displaystyle V=W}$
• La teoría del razonamiento evidencial ^{[11] también define} probabilidades no aditivas de probabilidad (o probabilidades epistémicas ) como una noción general tanto para la implicación lógica (demostrabilidad) como para la probabilidad . La idea es ampliar la lógica proposicional estándar considerando un operador epistémico K que representa el estado de conocimiento que un agente racional tiene sobre el mundo. Luego, las probabilidades se definen sobre el universo epistémico resultante K p de todas las oraciones proposicionales p , y se argumenta que esta es la mejor información disponible para un analista. Desde este punto de vista, la teoría de Dempster-Shafer parece ser una forma generalizada de razonamiento probabilístico.

Véase también

• Aprendizaje relacional estadístico
• Inferencia bayesiana , redes bayesianas , probabilidad bayesiana
• Teorema de Cox
• Teoría de Dempster-Shafer
• Desigualdades de Fréchet
• Lógica difusa
• Probabilidad imprecisa
• Lógica , lógica deductiva , lógica no monótona
• Teoría de la posibilidad
• Probabilismo , Prueba a medias , Escolasticismo
• Base de datos probabilística
• Lógica blanda probabilística
• Probabilidad , teoría de la probabilidad
• Argumentación probabilística
• Causalidad probabilística
• Prueba probabilística
• Evidencia científica
• Lógica subjetiva
• Inferencia incierta
• Probabilidades superiores e inferiores

Referencias

1. James Franklin, La ciencia de la conjetura: evidencia y probabilidad antes de Pascal , 2001 The Johns Hopkins Press, ISBN  0-8018-7109-3 .
2. Nilsson, NJ, 1986, "Lógica probabilística", Inteligencia Artificial 28(1): 71-87.
3. A. Jøsang. Lógica subjetiva: un formalismo para razonar en condiciones de incertidumbre . Springer Verlag, 2016
4. Jøsang, A. y McAnally, D., 2004, "Multiplicación y comultiplicación de creencias", International Journal of Approximate Reasoning , 38(1), pp.19-51, 2004
5. Jøsang, A., 2008, "Razonamiento condicional con lógica subjetiva", Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing , 15(1), págs. 5-38, 2008
6. A. Jøsang. Generalización del teorema de Bayes en lógica subjetiva. Conferencia internacional IEEE 2016 sobre fusión e integración de múltiples sensores para sistemas inteligentes (MFI 2016) , Baden-Baden, Alemania, 2016.
7. Gerla, G., 1994, "Inferencias en lógica de probabilidad", Inteligencia Artificial 70(1–2):33–52.
8. Riveret, R.; Baroni, P.; Gao, Y.; Governatori, G.; Rotolo, A.; Sartor, G. (2018), "Un marco de etiquetado para la argumentación probabilística", Anales de matemáticas e inteligencia artificial, 83: 221–287.
9. Kohlas, J., y Monney, PA, 1995. Una teoría matemática de indicios. Un enfoque a la teoría de la evidencia de Dempster-Shafer . Vol. 425 en Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer Verlag.
10. Haenni, R, 2005, "Hacia una teoría unificadora del razonamiento lógico y probabilístico", ISIPTA'05, 4º Simposio internacional sobre probabilidades imprecisas y sus aplicaciones: 193-202. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2006-06-18 . Consultado el 2006-06-18 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
11. Ruspini, EH, Lowrance, J., y Strat, T., 1992, "Comprensión del razonamiento evidencial", International Journal of Approximate Reasoning , 6(3): 401-424.

Lectura adicional

• Adams, EW, 1998. Una introducción a la lógica de probabilidad . Publicaciones CSLI (Univ. of Chicago Press).
• Bacchus, F., 1990. "Representación y razonamiento con conocimiento probabilístico. Un enfoque lógico de las probabilidades". The MIT Press.
• Carnap, R. , 1950. Fundamentos lógicos de la probabilidad . University of Chicago Press.
• Chuaqui, R. , 1991. Verdad, posibilidad y probabilidad: nuevos fundamentos lógicos de probabilidad e inferencia estadística . Número 166 en Estudios de Matemáticas. Holanda Septentrional.
• Haenni, H., Romeyn, JW, Wheeler, G. y Williamson, J. 2011. Lógicas probabilísticas y redes probabilísticas , Springer.
• Hájek, A., 2001, "Probabilidad, lógica y lógica de probabilidad", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell.
• Jaynes, E., 1998, "Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia", pdf y Cambridge University Press 2003.
• Kyburg, HE , 1970. Probabilidad y lógica inductiva Macmillan.
• Kyburg, HE, 1974. Los fundamentos lógicos de la inferencia estadística , Dordrecht: Reidel.
• Kyburg, HE y CM Teng, 2001. Inferencia incierta , Cambridge: Cambridge University Press.
• Romeiyn, JW, 2005. Lógica inductiva bayesiana . Tesis doctoral, Facultad de Filosofía, Universidad de Groningen, Países Bajos. [1]
• Williamson, J., 2002, "Probability Logic", en D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach y J. Woods, eds., Handbook of the Logic of Argument and Inference: the Turn Toward the Practical . Elsevier: 397–424.

Enlaces externos

• Progicnet: lógica probabilística y redes probabilísticas
• Demostraciones de lógica subjetiva
• La Sociedad de Probabilidad Imprecisa