Radián

Unidad de ángulo derivada del SI

El radián , denotado por el símbolo rad , es la unidad de ángulo en el Sistema Internacional de Unidades (SI) y es la unidad estándar de medida angular utilizada en muchas áreas de las matemáticas . Se define de tal manera que un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco que es igual en longitud al radio. ^[2] La unidad era anteriormente una unidad suplementaria del SI y actualmente es una unidad derivada del SI adimensional , ^[2] definida en el SI como 1 rad = 1 ^[3] y expresada en términos de la unidad base del SI metro (m) como rad = m/m . ^[4] Los ángulos sin unidades explícitamente especificadas generalmente se asumen que se miden en radianes, especialmente en la escritura matemática. ^[5]

Definición

Un radián se define como el ángulo subtendido desde el centro de un círculo que intercepta un arco de longitud igual al radio del círculo. ^[6] De manera más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir, , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un ángulo recto mide exactamente radianes. ^[7] ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Una revolución completa , expresada como un ángulo en radianes, es la longitud de la circunferencia dividida por el radio, que es , o 2 π . Por lo tanto, 2 π  radianes es igual a 360 grados. La relación 2 π rad = 360° se puede derivar utilizando la fórmula para la longitud del arco , . Dado que el radián es la medida de un ángulo que está subtendido por un arco de una longitud igual al radio del círculo, . Esto se puede simplificar aún más a . Multiplicando ambos lados por 360° se obtiene 360° = 2 π rad . ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$ ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$

Símbolo de unidad

La Oficina Internacional de Pesos y Medidas ^[7] y la Organización Internacional de Normalización ^[8] especifican rad como el símbolo del radián. Los símbolos alternativos que se utilizaban en 1909 eran ^c (la letra c en superíndice, por "medida circular"), la letra r o un superíndice ^{R [1]} , pero estas variantes se utilizan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un símbolo de grado (°) o un radio (r). Por lo tanto, un ángulo de 1,2 radianes se escribiría hoy como 1,2 rad; las notaciones arcaicas podrían incluir 1,2 r, 1,2 ^rad , 1,2 ^c o 1,2 ^R.

En la escritura matemática, el símbolo "rad" se omite a menudo. Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se supone que se trata de radianes y, cuando se trata de grados, se utiliza el signo de grado ° .

Análisis dimensional

El ángulo plano puede definirse como θ = s / r , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un radián SI corresponde al ángulo expresado en radianes para el cual s = r , por lo tanto, 1 radián SI = 1 m/m = 1. ^[9] Sin embargo, rad solo se debe utilizar para expresar ángulos, no para expresar razones de longitudes en general. ^[7] Un cálculo similar que utiliza el área de un sector circular θ = 2 A / r ² da 1 radián SI como 1 m ² /m ² = 1. ^[10] El hecho clave es que el radián SI es una unidad adimensional igual a 1 . En SI 2019, el radián SI se define en consecuencia como 1 rad = 1 . ^[11] Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de rad = 1 . ^{[4] [12]}

Giacomo Prando escribe que "la situación actual conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de ecuaciones físicas". ^[13] Por ejemplo, un objeto que cuelga de una cuerda desde una polea se elevará o descenderá en y = rθ centímetros, donde r es el radio de la polea en centímetros y θ es el ángulo en el que gira la polea en radianes. Al multiplicar r por θ, la unidad radián no aparece en el resultado. De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que gira, ω = v / r , los radianes aparecen en las unidades de ω pero no en el lado derecho. ^[14] Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica". ^[15] Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar los radianes durante el análisis dimensional y agregar o quitar radianes en unidades según la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". ^[16]

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radián debería aparecer explícitamente en cantidades solo cuando se obtendrían valores numéricos diferentes al utilizar otras medidas de ángulos, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad/s), aceleración angular (rad/s ² ) y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de torque (N⋅m) y momento angular (kg⋅m ² /s). ^[17]

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como unidad base de medida para una cantidad base (y dimensión) de "ángulo plano". ^{[18] [19] [20]} La revisión de las propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , π r ² . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares". ^[21] Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impida su uso generalizado. ^[20]

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante η igual a 1 radián inverso (1 rad ⁻¹ ) de una manera similar a la introducción de la constante ε ₀ . ^{[21] [a]} Con este cambio la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, s = rθ , se modifica para convertirse en s = ηrθ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo θ se convierte en: ^{[20] [22]} donde es el ángulo en radianes. La función en mayúsculas Sin es la función "completa" que toma un argumento con una dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas, ^[22] mientras que sin es la función tradicional en números puros que asume que su argumento es un número adimensional en radianes. ^[23] El símbolo en mayúsculas se puede denotar si está claro que se refiere a la forma completa. ^{[20] [24]} $${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

El SI actual puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades natural donde se supone que se cumple la ecuación η = 1 , o de manera similar, 1 rad = 1. Esta convención de radianes permite la omisión de η en fórmulas matemáticas. ^[25]

La definición del radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. ^[26] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades angulares con una plane_angledimensión, ^[27] y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión angular. ^{[28] [29]}

Conversiones

Entre grados

Como se indicó, un radián es igual a . Por lo tanto, para convertir de radianes a grados, se multiplica por . ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$ ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$

${\displaystyle {\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

Por el contrario, para convertir de grados a radianes, multiplique por . ${\displaystyle {\pi }/{180}{\text{ rad}}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Los radianes se pueden convertir a vueltas (una vuelta es el ángulo correspondiente a una revolución) dividiendo el número de radianes por 2 π .

Entre gradianes

Una revolución son radianes, lo que equivale a una vuelta , que por definición son 400 gradianes (400 gones o 400 ^g ). Para convertir de radianes a gradianes, multiplique por , y para convertir de gradianes a radianes, multiplique por . Por ejemplo, ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$ ${\displaystyle \pi /200{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

Uso

Matemáticas

Algunos ángulos comunes, medidos en radianes. Todos los polígonos grandes de este diagrama son polígonos regulares .

En cálculo y en la mayoría de las demás ramas de las matemáticas más allá de la geometría práctica , los ángulos se miden en radianes. Esto se debe a que los radianes tienen una naturalidad matemática que conduce a una formulación más elegante de algunos resultados importantes.

Los resultados de un análisis que involucra funciones trigonométricas se pueden expresar de manera elegante cuando los argumentos de las funciones se expresan en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes conduce a la fórmula del límite simple

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

que es la base de muchas otras identidades en matemáticas, incluyendo

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Debido a estas y otras propiedades, las funciones trigonométricas aparecen en soluciones de problemas matemáticos que no están obviamente relacionados con los significados geométricos de las funciones (por ejemplo, las soluciones de la ecuación diferencial , la evaluación de la integral , etc.). En todos esos casos, es apropiado que los argumentos de las funciones se traten como números (adimensionales), sin ninguna referencia a los ángulos. ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

Las funciones trigonométricas de los ángulos también tienen desarrollos en serie simples y elegantes cuando se utilizan radianes. Por ejemplo, cuando x es el ángulo expresado en radianes, la serie de Taylor para sen  x se convierte en:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Si y fuera el ángulo x pero expresado en grados, es decir y = π x / 180 , entonces la serie contendría factores desordenados que involucran potencias de π /180:

${\displaystyle \sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

En un espíritu similar, si hay ángulos involucrados, las relaciones matemáticamente importantes entre las funciones seno y coseno y la función exponencial (ver, por ejemplo, la fórmula de Euler ) pueden enunciarse elegantemente cuando los argumentos de las funciones son ángulos expresados ​​en radianes (y de manera confusa en caso contrario). De manera más general, en la teoría de números complejos, los argumentos de estas funciones son números (adimensionales, posiblemente complejos), sin ninguna referencia a ángulos físicos.

Física

El radián se utiliza ampliamente en física cuando se requieren mediciones angulares. Por ejemplo, la velocidad angular se expresa normalmente en la unidad radián por segundo (rad/s). Una revolución por segundo corresponde a 2 π radianes por segundo.

De manera similar, la unidad utilizada para la aceleración angular suele ser radianes por segundo (rad/s2 ⁾ .

Para fines de análisis dimensional , las unidades de velocidad angular y aceleración angular son s ⁻¹ y s ⁻² respectivamente.

De la misma manera, la diferencia de ángulo de fase de dos ondas también se puede expresar utilizando el radián como unidad. Por ejemplo, si la diferencia de ángulo de fase de dos ondas es ( n ⋅2 π ) radianes, donde n es un entero, se considera que están en fase , mientras que si la diferencia de ángulo de fase de dos ondas es ( n ⋅2 π + π ) radianes, con n un entero, se considera que están en antifase.

Una unidad de radián recíproco o radián inverso (rad ^-1 ) está involucrada en unidades derivadas como metro por radián (para longitud de onda angular ) o newton-metro por radián (para rigidez torsional).

Prefijos y variantes

Los prefijos métricos para los submúltiplos se utilizan con radianes. Un milirradián (mrad) es una milésima parte de un radián (0,001 rad), es decir, 1 rad = 10 ³ mrad . Hay 2 π × 1000 milirradianes (≈ 6283,185 mrad) en un círculo. Por lo tanto, un milirradián es justo debajo de ⁠1/6283⁠ del ángulo subtendido por un círculo completo. Esta unidad de medida angular de un círculo es de uso común por parte de los fabricantes de miras telescópicas que utilizan la medición de distancia (estadiamétrica) en retículas . La divergencia de los rayos láser también se mide habitualmente en milirradianes.

El milímetro angular es una aproximación del milirradián utilizado por la OTAN y otras organizaciones militares en artillería y puntería . Cada milímetro angular representa1/6400⁠ de un círculo y es ⁠15/8⁠ % o 1,875 % más pequeño que el milirradián. Para los ángulos pequeños que se encuentran típicamente en el trabajo de puntería, la conveniencia de usar el número 6400 en el cálculo supera los pequeños errores matemáticos que introduce. En el pasado, otros sistemas de artillería han utilizado diferentes aproximaciones para ⁠1/2000 π⁠ ; por ejemplo, Suecia utilizó el ⁠1/6300⁠ streck y la URSS utilizaron ⁠1/6000Al estar basado en el milirradián, el mil de la OTAN subtiende aproximadamente 1 m en un rango de 1000 m (en ángulos tan pequeños, la curvatura es insignificante) .

Los prefijos más pequeños que mili- son útiles para medir ángulos extremadamente pequeños. Microradianes (μrad,10 ⁻⁶  rad ) y nanoradianes (nrad,10 ⁻⁹  rad ) se utilizan en astronomía y también se pueden utilizar para medir la calidad del haz de láseres con divergencia ultrabaja. Más común es el segundo de arco , que esπ/648.000rad (  alrededor de 4,8481 microradianes).

Historia

Antes del siglo XX

La idea de medir los ángulos por la longitud del arco fue utilizada por los matemáticos bastante temprano. Por ejemplo, al-Kashi (c. 1400) utilizó las llamadas partes de diámetro como unidades, donde una parte de diámetro era1/60⁠ radián. También utilizaban subunidades sexagesimales de la parte del diámetro. ^[30] Newton en 1672 habló de "la cantidad angular del movimiento circular de un cuerpo", pero la utilizó sólo como medida relativa para desarrollar un algoritmo astronómico. ^[31]

El concepto de la medida en radianes se atribuye normalmente a Roger Cotes , quien murió en 1716. En 1722, su primo Robert Smith había recopilado y publicado los escritos matemáticos de Cotes en un libro, Harmonia mensurarum . ^[32] En un capítulo de comentarios editoriales, Smith dio lo que probablemente sea el primer cálculo publicado de un radián en grados, citando una nota de Cotes que no ha sobrevivido. Smith describió el radián en todo menos en el nombre - "Ahora este número es igual a 180 grados como el radio de un círculo a la semicircunferencia , esto es como 1 a 3,141592653589" -, y reconoció su naturalidad como unidad de medida angular. ^{[33] [34]}

En 1765, Leonhard Euler adoptó implícitamente el radián como unidad de ángulo. ^[31] Específicamente, Euler definió la velocidad angular como "La velocidad angular en el movimiento rotacional es la velocidad de ese punto, cuya distancia desde el eje de giro se expresa por uno". ^[35] Euler fue probablemente el primero en adoptar esta convención, conocida como la convención del radián, que da la fórmula simple para la velocidad angular ω = v / r . Como se discutió en § Análisis dimensional , la convención del radián ha sido ampliamente adoptada, mientras que las formulaciones dimensionalmente consistentes requieren la inserción de una constante dimensional, por ejemplo ω = v /( ηr ) . ^[25]

Antes de que el término radián se generalizara, la unidad se denominaba comúnmente medida circular de un ángulo. ^[36] El término radián apareció impreso por primera vez el 5 de junio de 1873, en las preguntas de examen formuladas por James Thomson (hermano de Lord Kelvin ) en el Queen's College de Belfast . Había utilizado el término ya en 1871, mientras que en 1869, Thomas Muir , entonces de la Universidad de St Andrews , vaciló entre los términos rad , radial y radián . En 1874, después de una consulta con James Thomson, Muir adoptó radián . ^{[37] [38] [39]} El nombre radián no fue adoptado universalmente durante algún tiempo después de esto. La trigonometría de la Escuela de Longmans todavía llamaba radián medida circular cuando se publicó en 1890. ^[40]

En 1893, Alexander Macfarlane escribió: "El verdadero argumento analítico para las razones circulares no es la razón del arco al radio, sino la razón del doble del área de un sector al cuadrado del radio". ^[41] Por alguna razón, el artículo fue retirado de las actas publicadas del congreso matemático celebrado en relación con la Exposición Colombina Mundial en Chicago (reconocido en la página 167), y publicado de forma privada en sus Papers on Space Analysis (1894). Macfarlane llegó a esta idea o razones de áreas mientras consideraba la base para el ángulo hiperbólico que se define de manera análoga. ^[42]

Como unidad del SI

Como escribe Paul Quincey et al., "el estatus de los ángulos dentro del Sistema Internacional de Unidades (SI) ha sido durante mucho tiempo una fuente de controversia y confusión". ^[43] En 1960, la CGPM estableció el SI y el radián fue clasificado como una "unidad suplementaria" junto con el estereorradián . Esta clase especial fue considerada oficialmente "como unidades base o como unidades derivadas", ya que la CGPM no pudo llegar a una decisión sobre si el radián era una unidad base o una unidad derivada. ^[44] Richard Nelson escribe: "Esta ambigüedad [en la clasificación de las unidades suplementarias] provocó una discusión animada sobre su interpretación correcta". ^[45] En mayo de 1980, el Comité Consultivo de Unidades (CCU) consideró una propuesta para convertir a los radianes en una unidad base del SI, utilizando una constante α ₀ = 1 rad , ^{[46] [25]} pero la rechazó para evitar una alteración de la práctica actual. ^[25]

En octubre de 1980 la CGPM decidió que las unidades suplementarias eran unidades derivadas adimensionales para las cuales la CGPM permitía la libertad de usarlas o no en expresiones para unidades derivadas del SI, ^[45] sobre la base de que "[no existe ningún formalismo] que sea al mismo tiempo coherente y conveniente y en el cual las magnitudes ángulo plano y ángulo sólido puedan ser consideradas como magnitudes base" y que "[la posibilidad de tratar al radián y al estereorradián como unidades base del SI] compromete la coherencia interna del SI basado en sólo siete unidades base". ^[47] En 1995 la CGPM eliminó la clase de unidades suplementarias y definió al radián y al estereorradián como "unidades derivadas adimensionales, cuyos nombres y símbolos pueden, pero no necesitan, ser usados ​​en expresiones para otras unidades derivadas del SI, según sea conveniente". ^[48] ​​En un artículo de 2019, Mikhail Kalinin criticó la decisión de la CGPM de 1980 por "infundada" y afirmó que la decisión de la CGPM de 1995 utilizó argumentos inconsistentes e introdujo "numerosas discrepancias, inconsistencias y contradicciones en la redacción de la SI". ^[49]

En la reunión de 2013 de la CCU, Peter Mohr hizo una presentación sobre las supuestas inconsistencias que surgen de definir el radián como una unidad adimensional en lugar de una unidad base. El presidente de la CCU, Ian M. Mills, declaró que se trataba de un "problema formidable" y se creó el Grupo de trabajo de la CCU sobre ángulos y magnitudes adimensionales en el SI . ^[50] La CCU se reunió en 2021, pero no llegó a un consenso. Un pequeño número de miembros argumentó firmemente que el radián debería ser una unidad base, pero la mayoría consideró que el statu quo era aceptable o que el cambio causaría más problemas de los que resolvería. Se creó un grupo de trabajo para "revisar el uso histórico de las unidades complementarias del SI y considerar si la reintroducción sería beneficiosa", entre otras actividades. ^{[51] [52]}

Véase también

• Frecuencia angular
• Minuto y segundo de arco
• Estereorradián , un análogo de mayor dimensión del radián que mide el ángulo sólido.
• Trigonometría

Notas

1. Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), la notación (Romain 1962) y las constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ _C (Quincey 2021) y (Mohr et al. 2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Referencias

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2. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "La CGPM decidió interpretar las unidades suplementarias del SI, a saber, el radián y el estereorradián, como unidades derivadas adimensionales".
3. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, pág. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r, por lo tanto 1 rad = 1".
4. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, pág. 137.
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7. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, pág. 151.
8. "ISO 80000-3:2006 Cantidades y unidades: espacio y tiempo". 17 de enero de 2017.
9. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r "
10. Quincey 2016, p. 844: "Además, como se alude en Mohr y Phillips 2015, el radián se puede definir en términos del área A de un sector ( A = ⁠1/2⁠ θ r ² ), en cuyo caso tiene las unidades m ² ⋅m ⁻² ."
11. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 rad = 1 ."
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Enlaces externos

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