Propagador

Function in quantum field theory showing probability amplitudes of moving particles

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos , el propagador es una función que especifica la amplitud de probabilidad de que una partícula viaje de un lugar a otro en un período de tiempo determinado, o que viaje con una cierta energía y momento. En los diagramas de Feynman , que sirven para calcular la tasa de colisiones en la teoría cuántica de campos , las partículas virtuales contribuyen con su propagador a la tasa del evento de dispersión descrito por el diagrama respectivo. Los propagadores también pueden verse como el inverso del operador de onda apropiado para la partícula y, por lo tanto, a menudo se denominan funciones de Green (causales) (llamadas " causales " para distinguirlas de la función de Green laplaciana elíptica). ^{[1] [2]}

Propagadores no relativistas

En la mecánica cuántica no relativista, el propagador da la amplitud de probabilidad para que una partícula viaje desde un punto espacial (x') en un tiempo (t') a otro punto espacial (x) en un tiempo posterior (t).

Consideremos un sistema con hamiltoniano H. La función de Green G ( solución fundamental ) para la ecuación de Schrödinger es una función

${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$

satisfactorio

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),}$

donde H _x denota el hamiltoniano escrito en términos de las coordenadas x , δ ( x ) denota la función delta de Dirac , Θ( t ) es la función escalón de Heaviside y K ( x , t  ; x′ , t′ ) es el núcleo del operador diferencial de Schrödinger anterior entre paréntesis grandes. El término propagador se utiliza a veces en este contexto para referirse a G y, a veces, a K. Este artículo utilizará el término para referirse a K (véase el principio de Duhamel ).

Este propagador también puede escribirse como la amplitud de transición.

${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },}$

donde Û ( t , t′ ) es el operador unitario de evolución temporal para el sistema que toma estados en el tiempo t′ a estados en el tiempo t . Nótese la condición inicial impuesta por . ${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')}$

El propagador mecánico cuántico también se puede encontrar utilizando una integral de trayectoria :

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t'}^{t}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],}$

donde las condiciones de contorno de la integral de trayectoria incluyen q ( t ) = x , q ( t′ ) = x′ . Aquí L denota el lagrangiano del sistema. Las trayectorias que se suman se mueven solo hacia adelante en el tiempo y se integran con la diferencial que sigue la trayectoria en el tiempo. ${\displaystyle D[q(t)]}$

En la mecánica cuántica no relativista , el propagador permite hallar la función de onda de un sistema, dada una función de onda inicial y un intervalo de tiempo. La nueva función de onda se especifica mediante la ecuación

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.}$

Si K ( x , t ; x ′, t ′) solo depende de la diferencia x − x′ , se trata de una convolución de la función de onda inicial y el propagador.

Ejemplos básicos: propagador de partículas libres y oscilador armónico

Para un sistema invariante en el tiempo, el propagador solo depende de la diferencia de tiempo t − t ′ , por lo que puede reescribirse como $${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}$$

El propagador de una partícula libre unidimensional , obtenible a partir, por ejemplo, de la integral de trayectoria , es entonces

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.}$

De manera similar, el propagador de un oscilador armónico cuántico unidimensional es el núcleo de Mehler , ^{[3] [4]}

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).}$

Este último puede obtenerse a partir del resultado de partícula libre anterior al hacer uso de la identidad del grupo de Lie SU(1,1) de van Kortryk, ^[5] válida para operadores y que satisface la relación de Heisenberg . $${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$

Para el caso N -dimensional, el propagador se puede obtener simplemente mediante el producto $${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}$$

Propagadores relativistas

En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos, los propagadores son invariantes respecto de Lorentz y proporcionan la amplitud necesaria para que una partícula viaje entre dos eventos espaciotemporales .

Propagador escalar

En la teoría cuántica de campos, la teoría de un campo escalar libre (o no interactuante) es un ejemplo útil y sencillo que sirve para ilustrar los conceptos necesarios para teorías más complicadas. Describe partículas de espín cero . Hay varios posibles propagadores de la teoría de campos escalares libres. A continuación, describiremos los más comunes.

Espacio de posición

Los propagadores del espacio de posición son funciones de Green para la ecuación de Klein–Gordon . Esto significa que son funciones G ( x , y ) que satisfacen donde $${\displaystyle \left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),}$$

• x, y son dos puntos en el espacio-tiempo de Minkowski ,
• ${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$es el operador d'Alembertiano que actúa sobre las coordenadas x ,
• δ ( x − y ) es la función delta de Dirac .

(Como es habitual en los cálculos de la teoría cuántica de campos relativista , utilizamos unidades donde la velocidad de la luz c y la constante de Planck reducida ħ se establecen en la unidad).

Limitaremos nuestra atención al espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones . Podemos realizar una transformada de Fourier de la ecuación para el propagador, obteniendo $${\displaystyle \left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.}$$

Esta ecuación se puede invertir en el sentido de distribuciones , observando que la ecuación xf ( x ) = 1 tiene la solución (véase el teorema de Sokhotski-Plemelj ) con ε implicando el límite a cero. A continuación, analizamos la elección correcta del signo que surge de los requisitos de causalidad. $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

La solución es

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},}$

¿Dónde está el producto interno de 4 vectores ? $${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$$

Las diferentes opciones para deformar el contorno de integración en la expresión anterior dan lugar a diversas formas del propagador. La elección del contorno suele expresarse en términos de la integral. ${\displaystyle p_{0}}$

El integrando tiene entonces dos polos, por lo que diferentes opciones de cómo evitar esto conducen a diferentes propagadores. $${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$$

Propagadores causales

Propagador retardado

Un contorno que se extiende en el sentido de las agujas del reloj sobre ambos polos da como resultado el propagador retardado causal . Este es cero si xy es similar al espacio o y es hacia el futuro de x , por lo que es cero si x ⁰ < y ⁰ .

Esta elección de contorno equivale a calcular el límite , $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Aquí está la función escalonada de Heaviside , es el tiempo propio de x a y , y es una función de Bessel de primera especie . El propagador es distinto de cero solo si , es decir, y precede causalmente a x , lo que, para el espacio-tiempo de Minkowski, significa $${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle y\prec x}$

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$y ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

Esta expresión se puede relacionar con el valor esperado de vacío del conmutador del operador de campo escalar libre, donde es el conmutador . $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}$$ $${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$$

Propagador avanzado

Un contorno que va en sentido antihorario bajo ambos polos da el propagador causal avanzado . Este es cero si xy es espacial o si y está al pasado de x , por lo que es cero si x ⁰ > y ⁰ .

Esta elección de contorno equivale a calcular el límite ^[6] $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Esta expresión también se puede expresar en términos del valor esperado de vacío del conmutador del campo escalar libre. En este caso, $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

Propagador de Feynman

Un contorno que pasa por debajo del polo izquierdo y por encima del polo derecho da como resultado el propagador de Feynman , introducido por Richard Feynman en 1948. ^[7]

Esta elección de contorno equivale a calcular el límite ^[8] $${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

Aquí, H ₁ ⁽¹⁾ es una función de Hankel y K ₁ es una función de Bessel modificada .

Esta expresión se puede derivar directamente de la teoría de campos como el valor esperado del vacío del producto ordenado en el tiempo del campo escalar libre, es decir, el producto siempre tomado de manera que el orden temporal de los puntos del espacio-tiempo sea el mismo. $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Esta expresión es invariante de Lorentz , siempre que los operadores de campo conmuten entre sí cuando los puntos x e y estén separados por un intervalo espacial .

La derivación habitual es insertar un conjunto completo de estados de momento de partículas individuales entre los campos con normalización covariante de Lorentz, y luego demostrar que las funciones Θ que proporcionan el ordenamiento temporal causal pueden obtenerse mediante una integral de contorno a lo largo del eje de energía, si el integrando es como el anterior (de ahí la parte imaginaria infinitesimal), para mover el polo fuera de la línea real.

El propagador también puede derivarse utilizando la formulación de integral de trayectoria de la teoría cuántica.

Propagador de Dirac

Introducido por Paul Dirac en 1938. ^{[9] [10]}

Propagador espacial de momento

La transformada de Fourier de los propagadores del espacio de posición puede considerarse como propagadores en el espacio de momento . Estos adoptan una forma mucho más simple que los propagadores del espacio de posición.

A menudo se escriben con un término ε explícito , aunque se entiende que esto es un recordatorio sobre qué contorno de integración es apropiado (ver arriba). Este término ε se incluye para incorporar condiciones de contorno y causalidad (ver abajo).

Para un momento p de 4 momentos , los propagadores causales y de Feynman en el espacio de momento son:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Para los cálculos del diagrama de Feynman, generalmente es conveniente escribirlos con un factor general adicional de i (las convenciones varían).

¿Más rápido que la luz?

El propagador de Feynman tiene algunas propiedades que parecen desconcertantes a primera vista. En particular, a diferencia del conmutador, el propagador es distinto de cero fuera del cono de luz , aunque disminuye rápidamente en intervalos de tipo espacial. Interpretado como una amplitud del movimiento de partículas, esto se traduce en que la partícula virtual viaja más rápido que la luz. No resulta inmediatamente obvio cómo se puede conciliar esto con la causalidad: ¿podemos usar partículas virtuales más rápidas que la luz para enviar mensajes más rápidos que la luz?

La respuesta es no: mientras que en la mecánica clásica los intervalos a lo largo de los cuales pueden viajar las partículas y los efectos causales son los mismos, esto ya no es cierto en la teoría cuántica de campos, donde son los conmutadores los que determinan qué operadores pueden afectarse entre sí.

Entonces, ¿qué representa la parte espacial del propagador? En la teoría cuántica de campos, el vacío es un participante activo, y los números de partículas y los valores de campo están relacionados por un principio de incertidumbre ; los valores de campo son inciertos incluso para un número de partículas cero . Existe una amplitud de probabilidad distinta de cero para encontrar una fluctuación significativa en el valor de vacío del campo Φ( x ) si uno lo mide localmente (o, para ser más precisos, si uno mide un operador obtenido promediando el campo sobre una región pequeña). Además, la dinámica de los campos tiende a favorecer las fluctuaciones correlacionadas espacialmente hasta cierto punto. El producto ordenado en el tiempo distinto de cero para campos separados espacialmente mide entonces simplemente la amplitud para una correlación no local en estas fluctuaciones de vacío, análoga a una correlación EPR . De hecho, el propagador a menudo se denomina función de correlación de dos puntos para el campo libre .

Dado que, según los postulados de la teoría cuántica de campos, todos los operadores observables conmutan entre sí con una separación similar a la del espacio, los mensajes no pueden enviarse a través de estas correlaciones, como tampoco pueden enviarse a través de cualquier otra correlación EPR; las correlaciones están en variables aleatorias.

En lo que respecta a las partículas virtuales, el propagador en una separación similar al espacio puede considerarse como un medio para calcular la amplitud necesaria para crear un par de partículas virtuales y antipartículas que finalmente desaparecen en el vacío, o para detectar un par virtual que emerge del vacío. En el lenguaje de Feynman , tales procesos de creación y aniquilación son equivalentes a una partícula virtual que se desplaza hacia atrás y hacia adelante a través del tiempo, lo que puede llevarla fuera del cono de luz. Sin embargo, no se permite ninguna señal de retorno en el tiempo.

Explicación usando límites

Esto se puede hacer más claro escribiendo el propagador en la siguiente forma para una partícula sin masa: $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

Esta es la definición habitual pero normalizada por un factor de . En ese caso, la regla es que solo se toma el límite al final de un cálculo. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

Se ve que y Por lo tanto, esto significa que una única partícula sin masa siempre permanecerá en el cono de luz. También se muestra que la probabilidad total de un fotón en cualquier momento debe normalizarse por el recíproco del siguiente factor: Vemos que las partes fuera del cono de luz generalmente son cero en el límite y solo son importantes en los diagramas de Feynman. $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$

Propagadores en los diagramas de Feynman

El uso más común del propagador es el cálculo de amplitudes de probabilidad para interacciones de partículas mediante diagramas de Feynman . Estos cálculos se llevan a cabo habitualmente en el espacio de momento. En general, la amplitud obtiene un factor del propagador para cada línea interna , es decir, cada línea que no represente una partícula entrante o saliente en el estado inicial o final. También obtendrá un factor proporcional a, y similar en forma a, un término de interacción en el Lagrangiano de la teoría para cada vértice interno donde se encuentran las líneas. Estas prescripciones se conocen como reglas de Feynman .

Las líneas internas corresponden a partículas virtuales. Como el propagador no se anula para combinaciones de energía y momento que no permiten las ecuaciones clásicas de movimiento, decimos que se permite que las partículas virtuales estén fuera de la capa . De hecho, como el propagador se obtiene invirtiendo la ecuación de onda, en general, tendrá singularidades en la capa.

La energía transportada por la partícula en el propagador puede incluso ser negativa . Esto puede interpretarse simplemente como el caso en el que, en lugar de que una partícula vaya en una dirección, su antipartícula va en la dirección opuesta y, por lo tanto, transporta un flujo opuesto de energía positiva. El propagador abarca ambas posibilidades. Esto significa que hay que tener cuidado con los signos negativos en el caso de los fermiones , cuyos propagadores ni siquiera son funciones de la energía y el momento (véase más abajo).

Las partículas virtuales conservan energía y momento. Sin embargo, dado que pueden estar fuera de su capa, siempre que el diagrama contenga un bucle cerrado , las energías y los momentos de las partículas virtuales que participan en el bucle estarán parcialmente libres de restricciones, ya que un cambio en una cantidad para una partícula en el bucle puede equilibrarse con un cambio igual y opuesto en otra. Por lo tanto, cada bucle en un diagrama de Feynman requiere una integral sobre un continuo de posibles energías y momentos. En general, estas integrales de productos de propagadores pueden divergir, una situación que debe manejarse mediante el proceso de renormalización .

Otras teorías

Girar1 ⁄ 2

Si la partícula tiene espín , su propagador es en general algo más complicado, ya que involucrará los índices de espín o polarización de la partícula. La ecuación diferencial que satisface el propagador para una partícula con espín 1 ⁄ 2 está dada por ^[11]

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

donde I ₄ es la matriz unitaria en cuatro dimensiones y empleando la notación de barra de Feynman . Esta es la ecuación de Dirac para una fuente de función delta en el espacio-tiempo. Usando la representación del momento, la ecuación se convierte en $${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

donde en el lado derecho se utiliza una representación integral de la función delta de cuatro dimensiones. Por lo tanto

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

Al multiplicar desde la izquierda con (eliminando las matrices unitarias de la notación) y utilizando las propiedades de las matrices gamma , $${\displaystyle (\not p+m)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

Se ha descubierto que el propagador del espacio de momento utilizado en los diagramas de Feynman para un campo de Dirac que representa al electrón en la electrodinámica cuántica tiene la forma

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

El iε de abajo es una prescripción de cómo manejar los polos en el plano complejo p ₀ . Produce automáticamente el contorno de integración de Feynman al desplazar los polos apropiadamente. A veces se escribe

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

para abreviar. Debe recordarse que esta expresión es simplemente una notación abreviada para ( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹ . "Uno sobre matriz" no tiene sentido de otra manera. En el espacio de posición uno tiene $${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

Esto está relacionado con el propagador de Feynman por

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

dónde . ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Giro 1

El propagador de un bosón de norma en una teoría de norma depende de la elección de la convención para fijar la norma. Para la norma utilizada por Feynman y Stueckelberg , el propagador de un fotón es

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

La forma general con parámetro de calibre λ , hasta el signo general y el factor de , se lee ${\displaystyle i}$

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

El propagador de un campo vectorial masivo se puede derivar del lagrangiano de Stueckelberg. La forma general con parámetro de calibración λ , hasta el signo general y el factor de , se lee ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

Con estas formas generales se obtienen los propagadores en gauge unitario para λ = 0 , el propagador en gauge de Feynman o 't Hooft para λ = 1 y en gauge de Landau o Lorenz para λ = ∞ . También hay otras notaciones donde el parámetro gauge es el inverso de λ , usualmente denotado ξ (ver R _ξ gauges ). El nombre del propagador, sin embargo, se refiere a su forma final y no necesariamente al valor del parámetro gauge.

Calibre unitario:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Indicador Feynman ('t Hooft):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Calibre Landau (Lorenz):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Propagador de gravitones

El propagador de gravitones para el espacio de Minkowski en la relatividad general es ^[12] donde es el número de dimensiones del espacio-tiempo, es el operador de proyección de espín-2 transversal y sin traza y es un multiplete escalar de espín-0 . El propagador de gravitones para el espacio (Anti) de Sitter es donde es la constante de Hubble . Nótese que al tomar el límite y , el propagador AdS se reduce al propagador de Minkowski. ^[13] $${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$ $${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to 0}$ ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$

Funciones singulares relacionadas

Los propagadores escalares son funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon. Existen funciones singulares relacionadas que son importantes en la teoría cuántica de campos . Seguimos la notación de Bjorken y Drell. ^[14] Véase también Bogolyubov y Shirkov (Apéndice A). ^[15] Estas funciones se definen de forma más sencilla en términos del valor esperado en vacío de los productos de los operadores de campo.

Soluciones a la ecuación de Klein-Gordon

Función de Pauli-Jordan

El conmutador de dos operadores de campo escalares define la función Pauli - Jordan mediante ^{[16] [14]} ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

con

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

Esto satisface

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

y es cero si . ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

Partes de frecuencia positiva y negativa (propagadores de corte)

Podemos definir las partes de frecuencia positiva y negativa de , a veces llamadas propagadores de corte, de una manera relativistamente invariante. ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

Esto nos permite definir la parte de frecuencia positiva:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

y la parte de frecuencia negativa:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

Estos satisfacen ^[14]

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

y

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

Función auxiliar

El anticonmutador de dos operadores de campo escalares define la función por ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

con

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

Esto satisface ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

Funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon

Los propagadores retardados, avanzados y de Feynman definidos anteriormente son todas funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon.

Se relacionan con las funciones singulares por ^[14]

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (x^{0}-y^{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (y^{0}-x^{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x^{0}-y^{0})\,\Delta (x-y)}$

¿Dónde está el signo de ? ${\displaystyle \varepsilon (x^{0}-y^{0})}$ ${\displaystyle x^{0}-y^{0}}$

Véase también

• Campo fuente
• Fórmula de reducción de LSZ

Notas

1. Las matemáticas de las EDP y la ecuación de onda, pág. 32, Michael P. Lamoureux, Universidad de Calgary, Escuela de verano de imágenes sísmicas, 7 al 11 de agosto de 2006, Calgary.
2. Cap.: 9 Funciones de Green, pág. 6., J Peacock, CURSO DE CONFERENCIAS SOBRE ANÁLISIS DE FOURIER: CONFERENCIA 15.
3. EU Condon, "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , (1937) 158–164.
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References

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Enlaces externos

• Tres métodos para calcular el propagador de Feynman