El panal tetraédrico-octaédrico , panal cúbico alternado es un mosaico (o panal ) de relleno de espacio cuasi regular en 3 espacios euclidianos . Se compone de octaedros y tetraedros regulares alternados en una proporción de 1:2.
Otros nombres incluyen celulación medio cúbica , celulación medio cúbica o celulación disfenoidal tetragonal . John Horton Conway llama a este panal tetraedro y a su dual dodecaedro .
R. Buckminster Fuller combina las dos palabras oct aedro y tet rahedron en octet truss, un romboedro que consta de un octaedro (o dos pirámides cuadradas) y dos tetraedros opuestos.
Es transitivo por vértice con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice . Es transitivo de aristas con 2 tetraedros y 2 octaedros alternados en cada arista.
Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no queden espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ("plano") ordinario, como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo finito uniforme se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Es parte de una familia infinita de panales uniformes llamados panales hipercúbicos alternados , formados como una alternancia de un panal hipercúbico y estando compuestos por facetas demihipercubos y politopos cruzados . También forma parte de otra familia infinita de panales uniformes llamados panales simpléticos .
En este caso de 3 espacios, el panal cúbico se alterna, reduciendo las celdas cúbicas a tetraedros, y los vértices eliminados crean vacíos octaédricos. Como tal, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli extendido h{4,3,4} que contiene la mitad de los vértices del panal cúbico {4,3,4}.
Hay un panal similar llamado panal tetraédrico-octaédrico giratorio que tiene capas giradas 60 grados, por lo que la mitad de los bordes tienen tetraedros y octaedros vecinos en lugar de alternados.
Se puede duplicar la simetría del panal tetraédrico-octaédrico colocando tetraedros en las celdas octaédricas, creando un panal no uniforme que consta de tetraedros y octaedros (como antiprismas triangulares). Su figura de vértice es un tetraedro triakis truncado de orden 3 . Este panal es el dual del panal tetraédrico truncado de triakis , con células tetraédricas truncadas de triakis .
Para un panal cúbico alternado , con aristas paralelas a los ejes y con longitud de arista 1, las coordenadas cartesianas de los vértices son: (Para todos los valores integrales: i , j , k con i + j + k par )
Hay dos construcciones reflectantes y muchas cúbicas alveolares alternadas ; ejemplos:
El panal cúbico alternado se puede cortar en secciones, donde se crean nuevas caras cuadradas desde el interior del octaedro. Cada rebanada contendrá pirámides cuadradas orientadas hacia arriba y hacia abajo y tetraedros asentados en sus bordes. Una segunda dirección de corte no necesita caras nuevas e incluye alternancia tetraédrica y octaédrica. Este panal de losa es un panal escaliforme en lugar de uniforme porque tiene células no uniformes.
El panal cúbico alternado se puede proyectar ortogonalmente en el mosaico cuadrado plano mediante una operación de plegado geométrico que mapea un par de espejos entre sí. La proyección del panal cúbico alternado crea dos copias desplazadas de la disposición del vértice del mosaico cuadrado del plano:
Su disposición de vértices representa una red A 3 o una red D 3 . [2] [3] Esta red se conoce como red cúbica centrada en las caras en cristalografía y también se conoce como red cúbica compacta, ya que sus vértices son los centros de un empaquetado cercano con esferas iguales que logra el promedio más alto posible. densidad. El panal tetraédrico-octaédrico es el caso tridimensional de un panal simpléctico . Su celda de Voronoi es un dodecaedro rómbico , la figura dual del vértice del cuboctaedro para el panal tet-oct.
El d+
3El embalaje se puede construir mediante la unión de dos celosías D 3 (o A 3 ). El d+
norteEl embalaje es sólo una celosía para dimensiones pares. El número de besos es 2 2 =4, (2 n-1 para n<8, 240 para n=8 y 2n(n-1) para n>8). [4]
∪La A*
3o D*
3celosía (también llamada A4
3o D4
3) puede construirse mediante la unión de las cuatro redes A 3 , y es idéntica a la disposición de los vértices del panal tetraédrico disfenoide , panal dual del panal cúbico bitruncado uniforme : [5] También es el panal cúbico centrado en el cuerpo , la unión de Dos panales cúbicos en posiciones duales.
∪
∪
∪= dual de
=
∪.El número del beso de la D.*
3La red es 8 [6] y su teselación de Voronoi es un panal cúbico bitruncado ,
, que contiene todas las células de Voronoi octaédricas truncadas ,. [7]
El [4,3,4],, el grupo Coxeter genera 15 permutaciones de panales uniformes, 9 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal teseractico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
El [4,3 1,1 ],, el grupo Coxeter genera 9 permutaciones de panales uniformes, 4 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [8] construidos por el grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal cúbico cántico , la celulación cúbica cántica o el panal medio cúbico truncado es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por octaedros truncados , cuboctaedros y tetraedros truncados en una proporción de 1:1:2. Su figura de vértice es una pirámide rectangular .
John Horton Conway llama a este panal tetraoctaedro truncado y a su doble octaedro medio achatado .
Tiene dos construcciones uniformes diferentes. La construcción se puede ver con tetraedros truncados de colores alternativos .
Está relacionado con el panal cúbico cantelado . Los rombicuboctaedros se reducen a octaedros truncados y los cubos se reducen a tetraedros truncados.
El panal cúbico rúnico o la celulación cúbica rúnica es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos y tetraedros en una proporción de 1:1:2. Su figura de vértice es un tronco triangular , con un tetraedro en un extremo, un cubo en el extremo opuesto y tres rombicuboctaedros alrededor de los lados trapezoidales.
John Horton Conway llama a este panal trilo 3-RCO y a su doble cuarto cubille .
El dual de un panal cúbico rúnico se llama cuarto de cubille , con diagrama de Coxeter. 
, con caras en 2 de 4 hiperplanos del dominio fundamental de simetría , [4,3 1,1 ].
Las celdas se pueden ver como 1/4 del cubo disecado , usando 4 vértices y el centro. Existen cuatro celdas alrededor de 6 bordes y 3 celdas alrededor de 3 bordes.
Está relacionado con el panal cúbico runcinado , con una cuarta parte de los cubos alternados en tetraedros y la otra mitad expandidos en rombicuboctaedros.
Este panal se puede dividir en planos de mosaico cuadrados truncados , utilizando los centros octágonos de los rombicuboctaedros, creando cúpulas cuadradas . Este panal escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter.
, y símbolo s 3 {2,4,4}, con simetría de notación coxeter [2 + ,4,4].
.El panal cúbico runcicantic o la celulación cúbica runcicantic es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cuboctaedros truncados , cubos truncados y tetraedros truncados en una proporción de 1:1:2, con una figura de vértice esfenoidal reflejada . Está relacionado con el panal cúbico runcicantelado .
John Horton Conway llama a este panal f-tCO-trille y a su doble mitad piramidal .
El panal cúbico dual al runcitruncado se llama media piramidilla , con diagrama de Coxeter. . Las caras existen en 3 de 4 hiperplanos del [4,3 1,1 ], grupo de Coxeter.
Las celdas son pirámides irregulares y pueden verse como 1/12 de un cubo o 1/24 de un dodecaedro rómbico , cada una definida con tres esquinas y el centro del cubo.
Existe un apeiroedro sesgado uniforme relacionado con la misma disposición de vértices , pero se eliminan los triángulos y los cuadrados. Puede verse como tetraedros truncados y cubos truncados aumentados juntos.
El panal tetraédrico-octaédrico giratorio o el panal cúbico alternado giratorio es una teselación (o panal ) que llena el espacio en 3 espacios euclidianos formados por octaedros y tetraedros en una proporción de 1:2.
Tiene vértice uniforme con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice.
No es uniforme en los bordes . Todas las aristas tienen 2 tetraedros y 2 octaedros, pero algunas son alternas y otras están pareadas.
Se pueden ver como capas reflectantes de esta capa alveolar:
Esta es una versión menos simétrica de otro panal, el panal tetraédrico-octaédrico, en el que cada borde está rodeado por tetraedros y octaedros alternos. Se puede considerar que ambos consisten en capas de una célula de espesor, dentro de las cuales los dos tipos de células se alternan estrictamente. Debido a que las caras en los planos que separan estas capas forman un patrón regular de triángulos , las capas adyacentes se pueden colocar de manera que cada octaedro en una capa se encuentre con un tetraedro en la siguiente capa, o de modo que cada celda se encuentre con una celda de su propio tipo (la El límite de la capa se convierte así en un plano de reflexión ). Esta última forma se llama girada .
La figura de vértice se llama ortobicúpola triangular , en comparación con el panal tetraédrico-octaédrico cuya figura de vértice cuboctaedro en una simetría inferior se llama girobicúpola triangular , por lo que el uso del prefijo giroscopio se invierte.
La geometría también se puede construir con una operación de alternancia aplicada a un panal prismático hexagonal . Las celdas del prisma hexagonal se convierten en octaedros y los huecos crean bipirámides triangulares que se pueden dividir en pares de tetraedros de este panal. Este panal con bipirámides se denomina panal ditetraédrico-octaédrico . Hay 3 diagramas de Coxeter-Dynkin , que pueden verse como 1, 2 o 3 colores de octaedros:
El panal cúbico alternado giroelongado o la celulación antiprismática triangular alargada es una teselación (o panal ) que llena el espacio en 3 espacios euclidianos . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1:2:2.
Es transitivo por vértices con 3 octaedros, 4 tetraedros y 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
El panal cúbico alargado y alternado tiene la misma disposición de celdas en cada vértice, pero la disposición general es diferente. En la forma alargada , cada prisma se encuentra con un tetraedro en una de sus caras triangulares y con un octaedro en la otra; en la forma giroelongada , el prisma se encuentra con el mismo tipo de deltaedro en cada extremo.
El panal cúbico alternado alargado o la celulación giroprismática triangular alargada es una teselación (o panal ) que llena el espacio en 3 espacios euclidianos . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1:2:2.
Es transitivo por vértices con 3 octaedros, 4 tetraedros y 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice. Cada prisma se encuentra con un octaedro en un extremo y un tetraedro en el otro.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Tiene una forma giratoria llamada panal cúbico alternado giroelongado con la misma disposición de celdas en cada vértice.
