Óptica hamiltoniana

La óptica hamiltoniana ^[1] y la óptica lagrangiana ^[2] son ​​dos formulaciones de la óptica geométrica que comparten gran parte del formalismo matemático con la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana .

Principio de Hamilton

En física , el principio de Hamilton establece que la evolución de un sistema descrito por coordenadas generalizadas entre dos estados específicos en dos parámetros específicos σ _A y σ _B es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero) de la función de acción , o donde y es el lagrangiano . La condición es válida si y solo si se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, es decir, con . ${\displaystyle \left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta S=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

El momento se define como y las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden reescribirse como donde . $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

Un enfoque diferente para resolver este problema consiste en definir un hamiltoniano (tomando una transformada de Legendre del lagrangiano ) para el cual se puede derivar un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales observando cómo la diferencial total del lagrangiano depende del parámetro σ , las posiciones y sus derivadas relativas a σ . Esta derivación es la misma que en la mecánica hamiltoniana, solo que con el tiempo t ahora reemplazado por un parámetro general σ . Esas ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de Hamilton con . Las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange son de segundo orden. $${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

Óptica lagrangiana

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica. ^{[3] [4]} En el espacio euclidiano 3D las coordenadas generalizadas son ahora las coordenadas del espacio euclidiano .

Principio de Fermat

El principio de Fermat establece que la longitud óptica del camino seguido por la luz entre dos puntos fijos, A y B , es un punto estacionario. Puede ser un máximo, un mínimo, una constante o un punto de inflexión . En general, cuando la luz viaja, se mueve en un medio de índice de refracción variable que es un campo escalar de posición en el espacio, es decir, en el espacio euclidiano 3D . Suponiendo ahora que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , la trayectoria de un rayo de luz puede parametrizarse como comenzando en un punto y terminando en un punto . En este caso, cuando se compara con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y toman el papel de coordenadas generalizadas mientras que toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ  = x ₃ y N =2. ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

En el contexto del cálculo de variaciones, esto se puede escribir como ^[2] donde ds es un desplazamiento infinitesimal a lo largo del rayo dado por y es el lagrangiano óptico y . $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$$ ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

La longitud del camino óptico (OPL) se define como donde n es el índice de refracción local en función de la posición a lo largo del camino entre los puntos A y B. $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica utilizando el lagrangiano definido en el principio de Fermat. Las ecuaciones de Euler-Lagrange con parámetro σ  = x ₃ y N = 2 aplicadas al principio de Fermat dan como resultado con k = 1, 2 y donde L es el lagrangiano óptico y . $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

Momento óptico

El momento óptico se define como y a partir de la definición del Lagrangiano óptico esta expresión se puede reescribir como $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\textstyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$

Momento óptico

o en forma vectorial donde es un vector unitario y los ángulos α ₁ , α ₂ y α ₃ son los ángulos que p forma con los ejes x ₁ , x ₂ y x ₃ respectivamente, como se muestra en la figura "momento óptico". Por lo tanto, el momento óptico es un vector de norma donde n es el índice de refracción en el que se calcula p . El vector p apunta en la dirección de propagación de la luz. Si la luz se propaga en una óptica de índice de gradiente, la trayectoria del rayo de luz es curva y el vector p es tangente al rayo de luz. $${\displaystyle \mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$$

La expresión para la longitud del camino óptico también se puede escribir como una función del momento óptico. Teniendo en cuenta que la expresión para el lagrangiano óptico se puede reescribir como y la expresión para la longitud del camino óptico es ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\[1ex]&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} }$$

Ecuaciones de Hamilton

De manera similar a lo que ocurre en la mecánica hamiltoniana , también en óptica el hamiltoniano se define por la expresión dada anteriormente para N = 2 correspondiente a funciones y a determinar. ${\displaystyle x_{1}{\left(x_{3}\right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(x_{3}\right)}}$ $${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L}$$

Comparando esta expresión con la del lagrangiano se obtiene: ${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$ $${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$$

Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con parámetro σ  = x ₃ y k = 1,2 aplicadas a la óptica son ^{[5] [6]} con y . $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$

Aplicaciones

Se supone que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , en el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y toman el papel de coordenadas generalizadas mientras que toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ  = x ₃ y N = 2. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Refracción y reflexión

Si el plano x ₁ x ₂ separa dos medios de índice de refracción n _A por debajo y n _B por encima de él, el índice de refracción viene dado por una función escalonada y de las ecuaciones de Hamilton y por lo tanto o para k = 1, 2 . $${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$

Un rayo de luz incidente tiene un momento p _A antes de la refracción (por debajo del plano x ₁ x ₂ ) y un momento p _B después de la refracción (por encima del plano x ₁ x ₂ ). El rayo de luz forma un ángulo θ _A con el eje x ₃ (la normal a la superficie refractaria) antes de la refracción y un ángulo θ _B con el eje x ₃ después de la refracción. Como los componentes p ₁ y p ₂ del momento son constantes, solo p ₃ cambia de p _{3 A} a p _{3 B} .

Refracción

La figura "refracción" muestra la geometría de esta refracción de la cual . Como y , esta última expresión puede escribirse como que es la ley de refracción de Snell . ${\displaystyle d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}}$ $${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}}$$

En la figura "refracción", la normal a la superficie refractaria apunta en la dirección del eje x ₃ , y también del vector . Una normal unitaria a la superficie refractaria puede entonces obtenerse a partir de los momentos de los rayos entrantes y salientes mediante donde i y r son vectores unitarios en las direcciones de los rayos incidente y refractado. Además, el rayo saliente (en la dirección de ) está contenido en el plano definido por el rayo entrante (en la dirección de ) y la normal a la superficie. ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Se puede utilizar un argumento similar para la reflexión al derivar la ley de reflexión especular , solo que ahora con n _A = n _B , lo que resulta en θ _A = θ _B. Además, si i y r son vectores unitarios en las direcciones del rayo incidente y refractado respectivamente, la normal correspondiente a la superficie viene dada por la misma expresión que para la refracción, solo que con n _A = n _B $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}}$$

En forma vectorial, si i es un vector unitario que apunta en la dirección del rayo incidente y n es la normal unitaria a la superficie, la dirección r del rayo refractado viene dada por: ^[3] con $${\displaystyle \mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)}$$

Si i ⋅ n < 0 entonces se debe utilizar − n en los cálculos. Cuando , la luz sufre una reflexión interna total y la expresión para el rayo reflejado es la de reflexión: ${\displaystyle \Delta <0}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }$$

Rayos y frentes de onda

De la definición de longitud del camino óptico ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$$

Rayos y frentes de onda

con k = 1,2 donde se utilizaron las ecuaciones de Euler-Lagrange con k = 1,2. Además, a partir de la última de las ecuaciones de Hamilton y de lo anterior, combinando las ecuaciones para los componentes del momento p, se obtiene ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ ${\displaystyle H=-p_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

Como p es un vector tangente a los rayos de luz, las superficies S = Constante deben ser perpendiculares a esos rayos de luz. Estas superficies se denominan frentes de onda . La figura "rayos y frentes de onda" ilustra esta relación. También se muestra el momento óptico p , tangente a un rayo de luz y perpendicular al frente de onda.

El campo vectorial es un campo vectorial conservativo . El teorema del gradiente se puede aplicar entonces a la longitud del camino óptico (como se indicó anteriormente) lo que da como resultado y la longitud del camino óptico S calculada a lo largo de una curva C entre los puntos A y B es una función únicamente de sus puntos finales A y B y no de la forma de la curva entre ellos. En particular, si la curva es cerrada, comienza y termina en el mismo punto, o A = B, de modo que ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$ $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0}$$

Este resultado se puede aplicar a una trayectoria cerrada ABCDA como en la figura "longitud de la trayectoria óptica". $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$$

Longitud del recorrido óptico

para el segmento de curva AB el momento óptico p es perpendicular a un desplazamiento d s a lo largo de la curva AB , o . Lo mismo es cierto para el segmento CD . Para el segmento BC el momento óptico p tiene la misma dirección que el desplazamiento d s y . Para el segmento DA el momento óptico p tiene la dirección opuesta al desplazamiento d s y . Sin embargo, invirtiendo la dirección de la integración de modo que la integral se tome de A a D , d s invierte la dirección y . A partir de estas consideraciones o y la longitud del camino óptico S _BC entre los puntos B y C a lo largo del rayo que los conecta es la misma que la longitud del camino óptico S _AD entre los puntos A y D a lo largo del rayo que los conecta. La longitud del camino óptico es constante entre frentes de onda. ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds}$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$$ $${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$$

Espacio de fases

La figura "Espacio de fases 2D" muestra en la parte superior algunos rayos de luz en un espacio bidimensional. Aquí x ₂ = 0 y p ₂ = 0, por lo que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores x ₃ crecientes . En este caso y la dirección de un rayo de luz está completamente especificada por el componente p ₁ del momento, ya que p ₂ = 0. Si se da p _{1 , se puede calcular} p ₃ (dado el valor del índice de refracción n ) y, por lo tanto, p ₁ es suficiente para determinar la dirección del rayo de luz. El índice de refracción del medio en el que viaja el rayo está determinado por . ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$

Espacio de fase 2D

Por ejemplo, el rayo r _C cruza el eje x ₁ en la coordenada x _B con un momento óptico p _C , que tiene su punta en un círculo de radio n centrado en la posición x _B . La coordenada x _B y la coordenada horizontal p _{1 C} del momento p _C definen completamente el rayo r _C cuando cruza el eje x ₁ . Este rayo puede entonces definirse por un punto r _C = ( x _B , p _{1 C} ) en el espacio x ₁ p ₁ como se muestra en la parte inferior de la figura. El espacio x ₁ p ₁ se llama espacio de fases y diferentes rayos de luz pueden representarse por diferentes puntos en este espacio.

Como tal, el rayo r _D que se muestra en la parte superior está representado por un punto r _D en el espacio de fases en la parte inferior. Todos los rayos que cruzan el eje x ₁ en la coordenada x _B contenida entre los rayos r _C y r _D están representados por una línea vertical que conecta los puntos r _C y r _D en el espacio de fases. En consecuencia, todos los rayos que cruzan el eje x ₁ en la coordenada x _A contenida entre los rayos r _A y r _B están representados por una línea vertical que conecta los puntos r _A y r _B en el espacio de fases. En general, todos los rayos que cruzan el eje x ₁ entre x _L y x _R están representados por un volumen R en el espacio de fases. Los rayos en el límite ∂ R del volumen R se denominan rayos de borde. Por ejemplo, en la posición x _A del eje x ₁ , los rayos r _A y r _B son los rayos de borde ya que todos los demás rayos están contenidos entre estos dos. (Un rayo paralelo a x1 no estaría entre los dos rayos, ya que el momento no está entre los dos rayos)

En geometría tridimensional el momento óptico está dado por con . Si se dan p ₁ y p _{2 ,} p ₃ puede calcularse (dado el valor del índice de refracción n ) y por lo tanto p ₁ y p ₂ son suficientes para determinar la dirección del rayo de luz. Un rayo que viaja a lo largo del eje x ₃ está definido entonces por un punto ( x ₁ , x ₂ ) en el plano x ₁ x ₂ y una dirección ( p ₁ , p _{2 ). Entonces puede definirse por un punto en} el espacio de fases de cuatro dimensiones x ₁ x ₂ p ₁ p ₂ . ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$

Conservación de etendue

La figura "variación de volumen" muestra un volumen V limitado por un área A . Con el tiempo, si el límite A se mueve, el volumen de V puede variar. En particular, un área infinitesimal dA con una normal unitaria n que apunta hacia afuera se mueve con una velocidad v .

Variación de volumen

Esto da lugar a una variación de volumen . Utilizando el teorema de Gauss , la variación en el tiempo del volumen total V volumen en movimiento en el espacio es ${\displaystyle dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$

El término más a la derecha es una integral de volumen sobre el volumen V y el término del medio es la integral de superficie sobre el límite A del volumen V. Además, v es la velocidad con la que se mueven los puntos en V.

En óptica, la coordenada asume el papel del tiempo. En el espacio de fases, un rayo de luz se identifica por un punto que se mueve con una " velocidad " , donde el punto representa una derivada relativa a . Un conjunto de rayos de luz que se propagan en la coordenada , en la coordenada , en la coordenada y en la coordenada ocupa un volumen en el espacio de fases. En general, un gran conjunto de rayos ocupa un gran volumen en el espacio de fases al que se puede aplicar el teorema de Gauss y utilizar las ecuaciones de Hamilton o y lo que significa que el volumen del espacio de fases se conserva a medida que la luz viaja a lo largo de un sistema óptico. ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle dx_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle dp_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle dp_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$$ ${\displaystyle dV/dx_{3}=0}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}}$

El volumen que ocupa un conjunto de rayos en el espacio de fases se denomina etendue , que se conserva a medida que los rayos de luz avanzan en el sistema óptico a lo largo de la dirección x ₃ . Esto corresponde al teorema de Liouville , que también se aplica a la mecánica hamiltoniana .

Sin embargo, el significado del teorema de Liouville en mecánica es bastante diferente del teorema de conservación de la tensión. El teorema de Liouville es esencialmente de naturaleza estadística y se refiere a la evolución en el tiempo de un conjunto de sistemas mecánicos de propiedades idénticas pero con diferentes condiciones iniciales. Cada sistema está representado por un único punto en el espacio de fases y el teorema establece que la densidad media de puntos en el espacio de fases es constante en el tiempo. Un ejemplo serían las moléculas de un gas clásico perfecto en equilibrio en un recipiente. Cada punto en el espacio de fases, que en este ejemplo tiene 2N dimensiones, donde N es el número de moléculas, representa un conjunto de recipientes idénticos, un conjunto lo suficientemente grande como para permitir tomar un promedio estadístico de la densidad de puntos representativos. El teorema de Liouville establece que si todos los recipientes permanecen en equilibrio, la densidad media de puntos permanece constante. ^[3]

Óptica con y sin formación de imágenes

La figura "Conservación de la etendue" muestra a la izquierda un sistema óptico bidimensional diagramático en el que x ₂ = 0 y p ₂ = 0, por lo que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores x ₃ crecientes .

Conservación de etendue

Los rayos de luz que cruzan la abertura de entrada de la óptica en el punto x ₁ = x _I están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _B representados por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la abertura de entrada (esquina inferior derecha de la figura). Todos los rayos que cruzan la abertura de entrada están representados en el espacio de fase por una región R _I .

Además, los rayos de luz que cruzan la abertura de salida de la óptica en el punto x ₁ = x _O están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _B representados por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la abertura de salida (esquina superior derecha de la figura). Todos los rayos que cruzan la abertura de salida están representados en el espacio de fase por una región R _O .

La conservación de la etendue en el sistema óptico significa que el volumen (o área en este caso bidimensional) en el espacio de fase ocupado por R _I en la apertura de entrada debe ser el mismo que el volumen en el espacio de fase ocupado por R _O en la apertura de salida.

En la óptica de formación de imágenes, todos los rayos de luz que atraviesan la abertura de entrada en x ₁ = x _I son redirigidos por ella hacia la abertura de salida en x ₁ = x _O donde x _I = mx _O . Esto garantiza que se forme una imagen de la entrada en la salida con un aumento m . En el espacio de fases, esto significa que las líneas verticales en el espacio de fases en la entrada se transforman en líneas verticales en la salida. Ese sería el caso de la línea vertical r _A r _B en R _I transformada en la línea vertical r _A r _B en R _O .

En la óptica sin formación de imágenes , el objetivo no es formar una imagen, sino simplemente transferir toda la luz desde la abertura de entrada a la abertura de salida. Esto se logra transformando los rayos de borde ∂ R _I de R _I en rayos de borde ∂ R _O de R _O . Esto se conoce como el principio de rayos de borde .

Generalizaciones

Anteriormente se supuso que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , en el principio de Hamilton mencionado anteriormente, las coordenadas y toman el papel de coordenadas generalizadas mientras que toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ  = x ₃ y N = 2. Sin embargo, son posibles diferentes parametrizaciones de los rayos de luz, así como el uso de coordenadas generalizadas . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Parametrización general de rayos

Se puede considerar una situación más general en la que la trayectoria de un rayo de luz se parametriza como en la que σ es un parámetro general. En este caso, cuando se compara con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas , y toman el papel de coordenadas generalizadas con N = 3. La aplicación del principio de Hamilton a la óptica en este caso conduce a donde ahora y y para lo cual las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a esta forma del principio de Fermat dan como resultado con k = 1, 2, 3 y donde L es el lagrangiano óptico. También en este caso el momento óptico se define como y el hamiltoniano P se define por la expresión dada anteriormente para N = 3 correspondiente a las funciones , y a determinar. ${\displaystyle s=\left(x_{1}{\left(\sigma \right)},x_{2}{\left(\sigma \right)},x_{3}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma \\&=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L=nds/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\displaystyle x_{1}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{3}{\left(\sigma \right)}}$ $${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$$

Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con k = 1,2,3 aplicadas a la óptica son con y . $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

El lagrangiano óptico viene dado por y no depende explícitamente del parámetro σ . Por esa razón no todas las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange serán posibles para rayos de luz, ya que su derivación supone una dependencia explícita de L respecto de σ , lo que no ocurre en óptica. $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)}$$

Los componentes del momento óptico se pueden obtener de donde . La expresión para el lagrangiano se puede reescribir como $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}\end{aligned}}}$$

Comparando esta expresión para L con la del hamiltoniano P se puede concluir que $${\displaystyle P=0}$$

De las expresiones para los componentes del momento óptico se obtienen los siguientes resultados: ${\displaystyle p_{k}}$ $${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

El hamiltoniano óptico se elige como $${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

aunque se podrían hacer otras elecciones. ^{[3] [4]} Las ecuaciones de Hamilton con k = 1, 2, 3 definidas anteriormente junto con definen los posibles rayos de luz. ${\displaystyle P=0}$

Coordenadas generalizadas

Al igual que en la mecánica hamiltoniana , también es posible escribir las ecuaciones de la óptica hamiltoniana en términos de coordenadas generalizadas , momentos generalizados y P hamiltoniano como ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq_{1}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}\\{\frac {dq_{2}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}\\{\frac {dq_{3}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}\\P&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0\end{aligned}}}$$donde el momento óptico está dado por y , y son vectores unitarios . Un caso particular se obtiene cuando estos vectores forman una base ortonormal , es decir, son todos perpendiculares entre sí. En ese caso, es el coseno del ángulo que forma el momento óptico con el vector unitario . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}\\&=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}\\&=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$

Véase también

• Materiales de aprendizaje relacionados con una derivación unidimensional simple de la óptica hamiltoniana en Wikiversidad
• Mecánica hamiltoniana
• Cálculo de variaciones

Referencias

1. HA Buchdahl, Introducción a la óptica hamiltoniana , Dover Publications, 1993, ISBN  978-0486675978 .
2. Vasudevan Lakshminarayanan et al., Óptica Lagrangiana , Springer Países Bajos, 2011, ISBN 978-0792375821 . 
3. Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica sin imágenes, segunda edición. CRC Press . ISBN 978-1482206739.
4. Roland Winston et al., Óptica sin imágenes , Academic Press, 2004, ISBN 978-0127597515 . 
5. Dietrich Marcuse, Óptica de transmisión de luz , Van Nostrand Reinhold Company, Nueva York, 1972, ISBN 978-0894643057 . 
6. Rudolf Karl Luneburg, Teoría matemática de la óptica , University of California Press, Berkeley, CA, 1964, pág. 90.