Espacios de posición y momento

Espacios físicos que representan posición y momento, duales de transformada de Fourier

En física y geometría , existen dos espacios vectoriales estrechamente relacionados , generalmente tridimensionales pero en general de cualquier dimensión finita. El espacio de posición (también espacio real o espacio de coordenadas ) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio euclidiano , y tiene dimensiones de longitud ; un vector de posición define un punto en el espacio. (Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo, trazará un camino, la trayectoria de una partícula). El espacio de momento es el conjunto de todos los vectores de momento p que puede tener un sistema físico; el vector de momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa][longitud][tiempo] ⁻¹ .

Matemáticamente, la dualidad entre posición y momento es un ejemplo de dualidad de Pontryagin . En particular, si se da una función en el espacio de posición, f ( r ), entonces su transformada de Fourier obtiene la función en el espacio de momento, φ ( p ). Por el contrario, la transformada de Fourier inversa de una función en el espacio de momento es una función en el espacio de posición.

Estas cantidades e ideas trascienden toda la física clásica y cuántica, y un sistema físico puede describirse utilizando las posiciones de las partículas constituyentes o sus momentos; ambas formulaciones proporcionan de manera equivalente la misma información sobre el sistema en consideración. Otra cantidad es útil para definir en el contexto de las ondas . El vector de onda k (o simplemente " k -vector") tiene dimensiones de longitud recíproca , lo que lo convierte en un análogo de la frecuencia angular ω que tiene dimensiones de tiempo recíproco . El conjunto de todos los vectores de onda es el espacio k . Por lo general, r es más intuitivo y más simple que k , aunque lo inverso también puede ser cierto, como en la física del estado sólido .

La mecánica cuántica proporciona dos ejemplos fundamentales de la dualidad entre posición y momento: el principio de incertidumbre de Heisenberg Δ x Δ p ≥ ħ /2, que establece que la posición y el momento no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria, y la relación de De Broglie p = ħ k , que establece que el momento y el vector de onda de una partícula libre son proporcionales entre sí. ^{[1] [2]} En este contexto, cuando no hay ambigüedades, los términos " momento " y "vector de onda" se utilizan indistintamente. Sin embargo, la relación de De Broglie no es cierta en un cristal. ^[3]

Mecánica clásica

Mecánica lagrangiana

En la mecánica lagrangiana , la ecuación lagrangiana L ( q , d q / dt , t ) se encuentra en el espacio de configuración , donde q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) es una n - tupla de las coordenadas generalizadas . Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(Un punto sobre el eje indica una derivada temporal ). Al introducir la definición de momento canónico para cada coordenada generalizada, las ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

El lagrangiano también se puede expresar en el espacio de momento , ^[4] L ′( p , d p / dt , t ), donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) es una n -tupla de los momentos generalizados. Se realiza una transformación de Legendre para cambiar las variables en la diferencial total del lagrangiano del espacio de coordenadas generalizado; donde la definición de momento generalizado y las ecuaciones de Euler-Lagrange han reemplazado las derivadas parciales de L . La regla del producto para diferenciales ^{[nb 1]} permite el intercambio de diferenciales en las coordenadas y velocidades generalizadas por las diferenciales en los momentos generalizados y sus derivadas temporales, que después de la sustitución se simplifican y reorganizan a $${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$ $${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$ $${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

Ahora bien, la diferencial total del espacio de momento lagrangiano L ′ es , por lo que, por comparación de las diferenciales de los lagrangianos, los momentos y sus derivadas temporales, el espacio de momento lagrangiano L ′ y las coordenadas generalizadas derivadas de L ′ son respectivamente $${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$ $${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange del espacio de momento $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

La ventaja de la transformación de Legendre es que la relación entre las funciones nuevas y antiguas y sus variables se obtiene en el proceso. Tanto la forma de coordenadas como la forma de momento de la ecuación son equivalentes y contienen la misma información sobre la dinámica del sistema. Esta forma puede ser más útil cuando el momento o el momento angular entran en el lagrangiano.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , a diferencia de la mecánica lagrangiana que utiliza todas las coordenadas o los momentos, las ecuaciones hamiltonianas de movimiento colocan las coordenadas y los momentos en pie de igualdad. Para un sistema con hamiltoniano H ( q , p , t ), las ecuaciones son $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , una partícula se describe mediante un estado cuántico . Este estado cuántico se puede representar como una superposición de estados base . En principio, uno es libre de elegir el conjunto de estados base, siempre que abarquen el espacio de estados . Si uno elige las funciones propias (generalizadas) del operador de posición como un conjunto de funciones base, se habla de un estado como una función de onda ψ ( r ) en el espacio de posición . La familiar ecuación de Schrödinger en términos de la posición r es un ejemplo de mecánica cuántica en la representación de la posición. ^[5]

Al elegir las funciones propias de un operador diferente como un conjunto de funciones base, se puede llegar a varias representaciones diferentes del mismo estado. Si se eligen las funciones propias del operador de momento como un conjunto de funciones base, se dice que la función de onda resultante es la función de onda en el espacio de momento . ^[5] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

Una característica de la mecánica cuántica es que los espacios de fases pueden ser de distintos tipos: de variable discreta, de rotor y de variable continua. La siguiente tabla resume algunas relaciones implicadas en los tres tipos de espacios de fases. ^[6]

Comparación y resumen de las relaciones entre variables conjugadas en espacios de fase de variable discreta (DV), de rotor (ROT) y de variable continua (CV) (tomado de arXiv:1709.04460). La mayoría de los espacios de fase físicamente relevantes consisten en combinaciones de estos tres. Cada espacio de fase consiste en posición y momento, cuyos posibles valores se toman de un grupo abeliano localmente compacto y su dual. Un estado mecánico cuántico se puede representar completamente en términos de cualquiera de las dos variables, y la transformación utilizada para pasar de los espacios de posición y momento es, en cada uno de los tres casos, una variante de la transformada de Fourier. La tabla utiliza la notación bra-ket, así como la terminología matemática que describe las relaciones de conmutación canónicas (CCR).

Relación recíproca

La representación del momento de una función de onda y la relación de De Broglie están estrechamente relacionadas con el teorema de inversión de Fourier y el concepto de dominio de frecuencia . Dado que una partícula libre tiene una frecuencia espacial proporcional al momento , describir la partícula como una suma de componentes de frecuencia es equivalente a describirla como la transformada de Fourier de una función de onda (suficientemente agradable) en el espacio del momento. ^[2] ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle p=|\mathbf {p} |=\hbar k}$

Espacio de posición

Supongamos que tenemos una función de onda tridimensional en el espacio de posición ψ ( r ) , entonces podemos escribir esta función como una suma ponderada de funciones base ortogonales ψ _j ( r ) : o, en el caso continuo, como una integral. Está claro que si especificamos el conjunto de funciones , digamos como el conjunto de funciones propias del operador de momento, la función contiene toda la información necesaria para reconstruir ψ ( r ) y, por lo tanto, es una descripción alternativa para el estado . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi }$

En la representación de coordenadas, el operador de momento se da por ^[7] (ver cálculo matricial para la notación del denominador) con el dominio apropiado . Las funciones propias son y los valores propios ħ k . Por lo tanto , y vemos que la representación del momento está relacionada con la representación de la posición mediante una transformada de Fourier. ^[8] $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

Espacio de momento

Por el contrario, una función de onda tridimensional en el espacio de momento se puede expresar como una suma ponderada de funciones de base ortogonales , o como una integral, ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

En la representación del momento, el operador de posición viene dado por ^[9] con funciones propias y valores propios r . Por lo tanto, se puede realizar una descomposición similar de en términos de las funciones propias de este operador, que resulta ser la transformada de Fourier inversa, ^[8] $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

Equivalencia unitaria

Los operadores de posición y momento son unitariamente equivalentes , y el operador unitario se da explícitamente mediante la transformada de Fourier, es decir, una rotación de un cuarto de ciclo en el espacio de fases, generada por el hamiltoniano del oscilador. Por lo tanto, tienen el mismo espectro . En lenguaje físico, p actuando sobre funciones de onda del espacio de momento es lo mismo que r actuando sobre funciones de onda del espacio de posición (bajo la imagen de la transformada de Fourier).

Espacio recíproco y cristales

Para un electrón (u otra partícula ) en un cristal, su valor de k se relaciona casi siempre con su momento cristalino , no con su momento normal. Por lo tanto, k y p no son simplemente proporcionales , sino que desempeñan papeles diferentes. Véase la teoría de perturbación k·p para un ejemplo. El momento cristalino es como una envolvente de onda que describe cómo varía la onda de una celda unitaria a la siguiente, pero no da ninguna información sobre cómo varía la onda dentro de cada celda unitaria.

Cuando k se relaciona con el momento del cristal en lugar del momento verdadero, el concepto de k -espacio sigue siendo significativo y extremadamente útil, pero difiere en varios aspectos del k -espacio no cristalino analizado anteriormente. Por ejemplo, en el k -espacio de un cristal, hay un conjunto infinito de puntos llamado red recíproca que son "equivalentes" a k = 0 (esto es análogo al aliasing ). Del mismo modo, la " primera zona de Brillouin " es un volumen finito del k -espacio, de modo que cada k posible es "equivalente" a exactamente un punto en esta región.

Véase también

• Espacio de fases
• Espacio recíproco
• Espacio de configuración
• Transformada de Fourier fraccionaria

Notas

1. Para dos funciones u y v , la diferencial del producto es d ( uv ) = udv + vdu .

1. Ballentine 1998, pág. 102.
2. Hall 2013, pág. 60.
3. Eisberg y Resnick 1985, pág. 58.
4. Hand, Louis N; Finch, Janet D (1998). Mecánica analítica. pág. 190. ISBN 978-0-521-57572-0.
5. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (Serie de esquemas de Schaum) (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-162358-2.
6. Albert, Victor V; Pascazio, Saverio; Devoret, Michel H (2017). "Espacios de fase generales: desde variables discretas hasta límites de rotor y continuo". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . doi :10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID  119290497.
7. Ballentine 1998, pág. 98.
8. R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
9. Ballentine 1998, pág. 127.

Referencias

• Ballentine, Leslie E (1998). Mecánica cuántica . WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/3142. ISBN 978-981-02-2707-4.
• Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Hall, BC (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 267. Springer. Bibcode :2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.