Principio de Hamilton

Formulación del principio de acción estacionaria

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunas). El camino que sigue el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[1]

En física , el principio de Hamilton es la formulación de William Rowan Hamilton del principio de acción estacionaria . Afirma que la dinámica de un sistema físico está determinada por un problema variacional para un funcional basado en una única función, la lagrangiana , que puede contener toda la información física relativa al sistema y las fuerzas que actúan sobre él. El problema variacional es equivalente a las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema físico y permite su derivación. Aunque se formuló originalmente para la mecánica clásica , el principio de Hamilton también se aplica a campos clásicos como los campos electromagnético y gravitacional , y desempeña un papel importante en la mecánica cuántica , la teoría cuántica de campos y las teorías de criticidad.

Formulación matemática

El principio de Hamilton establece que la verdadera evolución q ( t ) de un sistema descrito por N coordenadas generalizadas q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) entre dos estados especificados q ₁ = q ( t ₁ ) y q ₂ = q ( t ₂ ) en dos tiempos especificados t ₁ y t ₂ es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero) de la función de acción donde es la función lagrangiana para el sistema. En otras palabras, cualquier perturbación de primer orden de la verdadera evolución resulta en (como máximo) cambios de segundo orden en . La acción es una función , es decir, algo que toma como entrada una función y devuelve un solo número, un escalar . En términos de análisis funcional , el principio de Hamilton establece que la verdadera evolución de un sistema físico es una solución de la ecuación funcional $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt}$$ ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Principio de Hamilton

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.}$

Es decir, el sistema toma un camino en el espacio de configuración para el cual la acción es estacionaria, con condiciones de contorno fijas al principio y al final del camino.

Ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas de la integral de acción

Exigir que la trayectoria verdadera q ( t ) sea un punto estacionario de la función de acción es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales para q ( t ) (las ecuaciones de Euler-Lagrange ), que pueden derivarse de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Sea q ( t ) la verdadera evolución del sistema entre dos estados especificados q ₁ = q ( t ₁ ) y q ₂ = q ( t ₂ ) en dos tiempos especificados t ₁ y t ₂ , y sea ε ( t ) una pequeña perturbación que es cero en los puntos finales de la trayectoria. $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$

Para primer orden en la perturbación ε ( t ) , el cambio en el funcional de acción sería donde hemos expandido el Lagrangiano L a primer orden en la perturbación ε ( t ) . ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

Aplicando la integración por partes al último término se obtiene $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

Las condiciones de contorno hacen que el primer término desaparezca. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

El principio de Hamilton exige que este cambio de primer orden sea cero para todas las posibles perturbaciones ε ( t ) , es decir, la trayectoria verdadera es un punto estacionario de la función de acción (ya sea un mínimo, un máximo o un punto de silla). Este requisito se puede satisfacer si y solo si ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0}$

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema variacional.

Momentos canónicos y constantes de movimiento

El momento conjugado p _k para una coordenada generalizada q _k se define mediante la ecuación $${\displaystyle p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.}$$

Un caso especial importante de la ecuación de Euler-Lagrange ocurre cuando L no contiene una coordenada generalizada q _k explícitamente, es decir, el momento conjugado es una constante del movimiento . $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,}$$

En tales casos, la coordenada q _k se denomina coordenada cíclica . Por ejemplo, si utilizamos las coordenadas polares t , r , θ para describir el movimiento plano de una partícula, y si L no depende de θ , el momento conjugado es el momento angular conservado.

Ejemplo: Partícula libre en coordenadas polares

Algunos ejemplos triviales ayudan a apreciar el uso del principio de acción a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Una partícula libre (masa m y velocidad v ) en el espacio euclidiano se mueve en línea recta. Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, esto se puede mostrar en coordenadas polares de la siguiente manera. En ausencia de un potencial, el lagrangiano es simplemente igual a la energía cinética en coordenadas ortonormales ( x , y ), donde el punto representa la diferenciación con respecto al parámetro de la curva (generalmente el tiempo, t ). Por lo tanto, al aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0}$$

Y lo mismo ocurre con y . Por lo tanto, la formulación de Euler-Lagrange se puede utilizar para derivar las leyes de Newton.

En coordenadas polares ( r , φ ) la energía cinética y, por lo tanto, el lagrangiano se convierte en $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$$

Los componentes radiales r y φ de las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten, respectivamente $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$$

recordando que r también depende del tiempo y la regla del producto es necesaria para calcular la derivada del tiempo total . ${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$

La solución de estas dos ecuaciones viene dada por para un conjunto de constantes a , b , c , d determinadas por condiciones iniciales. Por lo tanto, la solución es una línea recta dada en coordenadas polares: a es la velocidad, c es la distancia del punto de aproximación más cercano al origen y d es el ángulo de movimiento. $${\displaystyle r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}}$$ $${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d}$$

Se aplica a cuerpos deformables

El principio de Hamilton es un principio variacional importante en elastodinámica . A diferencia de un sistema compuesto de cuerpos rígidos, los cuerpos deformables tienen un número infinito de grados de libertad y ocupan regiones continuas del espacio; en consecuencia, el estado del sistema se describe utilizando funciones continuas de espacio y tiempo. El principio de Hamilton extendido para tales cuerpos está dado por donde T es la energía cinética, U es la energía elástica, W _e es el trabajo realizado por cargas externas sobre el cuerpo y t ₁ , t ₂ los tiempos inicial y final. Si el sistema es conservativo, el trabajo realizado por fuerzas externas puede derivarse de un potencial escalar V . En este caso, esto se llama principio de Hamilton y es invariante bajo transformaciones de coordenadas. $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0}$$ $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.}$$

Comparación con el principio de Maupertuis

El principio de Hamilton y el principio de Maupertuis se confunden a veces y ambos se han denominado principio de mínima acción . Se diferencian en tres aspectos importantes:

• su definición de la acción ...
  El principio de Maupertuis utiliza una integral sobre las coordenadas generalizadas conocida como acción abreviada o acción reducida donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _N ) son los momentos conjugados definidos anteriormente. Por el contrario, el principio de Hamilton utiliza , la integral del lagrangiano sobre el tiempo. $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• la solución que ellos determinen...
  El principio de Hamilton determina la trayectoria q ( t ) en función del tiempo, mientras que el principio de Maupertuis determina únicamente la forma de la trayectoria en las coordenadas generalizadas. Por ejemplo, el principio de Maupertuis determina la forma de la elipse en la que se mueve una partícula bajo la influencia de una fuerza central de inverso del cuadrado, como la gravedad , pero no describe per se cómo se mueve la partícula a lo largo de esa trayectoria. (Sin embargo, esta parametrización del tiempo puede determinarse a partir de la propia trayectoria en cálculos posteriores utilizando la conservación de la energía ). Por el contrario, el principio de Hamilton especifica directamente el movimiento a lo largo de la elipse en función del tiempo.
• ...y las restricciones a la variación.
  El principio de Maupertuis requiere que se den los dos estados finales q ₁ y q _{2 y que se conserve la energía a lo largo de cada trayectoria (la misma energía para cada trayectoria). Esto obliga a que también varíen los tiempos finales. Por el contrario, el principio de Hamilton no requiere la conservación de la energía, pero sí requiere que se especifiquen los tiempos finales} t ₁ y t ₂ , así como los estados finales q ₁ y q ₂ .

Principio de acción para los campos

Teoría clásica de campos

El principio de acción puede extenderse para obtener las ecuaciones de movimiento para campos , como el campo electromagnético o la gravedad .

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert restringida por un principio variacional .

La trayectoria de un cuerpo en un campo gravitatorio (es decir, caída libre en el espacio-tiempo, una llamada geodésica) se puede encontrar utilizando el principio de acción.

Mecánica cuántica y teoría cuántica de campos

En mecánica cuántica , el sistema no sigue un único camino cuya acción es estacionaria, sino que el comportamiento del sistema depende de todos los caminos imaginables y del valor de su acción. La acción correspondiente a los distintos caminos se utiliza para calcular la integral de caminos , que da las amplitudes de probabilidad de los distintos resultados.

Aunque en mecánica clásica es equivalente a las leyes de Newton , el principio de acción es más adecuado para generalizaciones y desempeña un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física. En particular, se aprecia plenamente y se entiende mejor en la mecánica cuántica . La formulación de la mecánica cuántica mediante la integral de trayectorias de Richard Feynman se basa en un principio de acción estacionaria, utilizando integrales de trayectorias. Las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar como condiciones de acción estacionaria.

Véase también

• Mecánica analítica
• Espacio de configuración
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Espacio de fases
• Geodésicas como flujos hamiltonianos

Referencias

1. R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. pág. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.

• WR Hamilton, "Sobre un método general en dinámica", Philosophical Transactions of the Royal Society Parte II (1834) págs. 247–308; Parte I (1835) págs. 95–144. ( De la colección Sir William Rowan Hamilton (1805–1865): Mathematical Papers editada por David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irlanda. (2000); también reseñada como Sobre un método general en dinámica )
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2.ª ed., Addison Wesley, págs. 35–69.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda), págs. 2–4.  
• Arnold VI. (1989) Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2.ª ed., Springer Verlag, págs. 59–61.
• Cassel, Kevin W.: Métodos variacionales con aplicaciones en ciencia e ingeniería, Cambridge University Press, 2013.
• Bedford A.: Principio de Hamilton en mecánica de medios continuos. Pitman, 1985. Springer 2001, ISBN 978-3-030-90305-3 ISBN 978-3-030-90306-0 (libro electrónico), https://doi.org/10.1007/978-3-030-90306-0