Problema del círculo de Gauss

¿Cuántos puntos reticulares enteros hay en un círculo?

Un círculo de radio 5 centrado en el origen tiene un área de 25 π , aproximadamente 78,54, pero contiene 81 puntos enteros, por lo que el error al estimar su área contando los puntos de la cuadrícula es de aproximadamente 2,46. Para un círculo con un radio ligeramente menor, el área es casi la misma, pero el círculo contiene solo 69 puntos, lo que produce un error mayor de aproximadamente 9,54. El problema del círculo de Gauss se ocupa de limitar este error de manera más general, como una función del radio del círculo.

En matemáticas , el problema del círculo de Gauss es el problema de determinar cuántos puntos enteros de la red hay en un círculo centrado en el origen y con radio . Este número se aproxima por el área del círculo, por lo que el problema real es acotar con precisión el término de error que describe cómo el número de puntos difiere del área. El primer avance en una solución lo realizó Carl Friedrich Gauss , de ahí su nombre. ${\displaystyle r}$

El problema

Consideremos un círculo en con centro en el origen y radio . El problema del círculo de Gauss pregunta cuántos puntos hay dentro de este círculo de la forma donde y son ambos números enteros. Dado que la ecuación de este círculo está dada en coordenadas cartesianas por , la pregunta es equivalente a preguntar cuántos pares de números enteros m y n hay tales que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Si la respuesta para un dado se denota por entonces la siguiente lista muestra los primeros valores de para un entero entre 0 y 12 seguido de la lista de valores redondeados al entero más cercano: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N(r)}$ ${\displaystyle N(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (secuencia A000328 en la OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (secuencia A075726 en la OEIS )

Límites de una solución y conjetura

${\displaystyle N(r)}$es aproximadamente , el área dentro de un círculo de radio . Esto se debe a que, en promedio, cada cuadrado unitario contiene un punto reticular. Por lo tanto, el número real de puntos reticulares en el círculo es aproximadamente igual a su área, . Por lo tanto, se debería esperar que ${\displaystyle \pi r^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

para algún término de error de valor absoluto relativamente pequeño. Encontrar un límite superior correcto para es, por tanto, la forma que ha tomado el problema. Nótese que no tiene que ser un entero. Después de que uno tiene En estos lugares aumenta en después de lo cual disminuye (a una tasa de ) hasta la próxima vez que aumenta. ${\displaystyle E(r)}$ ${\displaystyle \mid E(r)\mid }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N(4)=49}$ ${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$ ${\displaystyle E(r)}$ ${\displaystyle 8,4,8,12}$ ${\displaystyle 2\pi r}$

Gauss logró demostrar ^[1] que

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Hardy ^[2] y, de forma independiente, Landau encontraron un límite inferior al demostrar que

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

utilizando la notación o minúscula . Se conjetura ^[3] que el límite correcto es

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Al escribir , los límites actuales son ${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

con el límite inferior de Hardy y Landau en 1915, y el límite superior demostrado por Martin Huxley en 2000. ^[4]

Formas exactas

El valor de puede darse mediante varias series. En términos de una suma que involucra la función base, puede expresarse como: ^[5] ${\displaystyle N(r)}$

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Esta es una consecuencia del teorema de los dos cuadrados de Jacobi , que se deduce casi inmediatamente del triple producto de Jacobi . ^[6]

Una suma mucho más simple aparece si la función suma de cuadrados se define como el número de formas de escribir el número como la suma de dos cuadrados. Entonces ^[1] ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Los avances más recientes se basan en la siguiente identidad, descubierta por primera vez por Hardy: ^[7]

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

donde denota la función de Bessel de primer tipo con orden 1. ${\displaystyle J_{1}}$

Generalizaciones

Aunque el problema original pide puntos enteros en la red de un círculo, no hay razón para no considerar otras formas, por ejemplo cónicas ; de hecho, el problema del divisor de Dirichlet es el problema equivalente donde el círculo se reemplaza por la hipérbola rectangular . ^[3] De manera similar, se podría extender la pregunta de dos dimensiones a dimensiones superiores y pedir puntos enteros dentro de una esfera u otros objetos. Existe una extensa literatura sobre estos problemas. Si uno ignora la geometría y simplemente considera el problema como uno algebraico de desigualdades diofánticas , entonces se podrían aumentar los exponentes que aparecen en el problema de cuadrados a cubos, o más.

El planímetro de puntos es un dispositivo físico para estimar el área de formas geométricas basándose en el mismo principio. Consiste en una cuadrícula de puntos impresa en una hoja transparente; el área de una forma geométrica se puede estimar como el producto del número de puntos en la forma por el área de un cuadrado de la cuadrícula. ^[8]

El problema del círculo primitivo

Otra generalización es calcular el número de soluciones enteras coprimas para la desigualdad. ${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}$

Este problema se conoce como el problema del círculo primitivo , ya que implica la búsqueda de soluciones primitivas al problema del círculo original. ^[9] Puede entenderse intuitivamente como la cuestión de cuántos árboles dentro de una distancia de r son visibles en el huerto de Euclides , que se encuentran en el origen. Si se denota el número de tales soluciones, entonces los valores de para tomar valores enteros pequeños son ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle r}$

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (secuencia A175341 en la OEIS ).

Utilizando las mismas ideas que el problema habitual del círculo de Gauss y el hecho de que la probabilidad de que dos números enteros sean coprimos es , es relativamente sencillo demostrar que ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$

Al igual que con el problema del círculo habitual, la parte problemática del problema del círculo primitivo es reducir el exponente en el término de error. En la actualidad, el exponente mejor conocido es si se supone la hipótesis de Riemann . ^[9] Sin asumir la hipótesis de Riemann, el mejor límite superior conocido actualmente es ${\displaystyle 221/304+\varepsilon }$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$

para una constante positiva . ^[9] En particular, actualmente no se conoce ningún límite en el término de error de la forma para cualquier que no asuma la hipótesis de Riemann. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r^{1-\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Notas

1. Hardy, GH (1959). Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra (3.ª ed.). Nueva York: Chelsea Publishing Company. pág. 67. MR  0106147.
2. Hardy, GH (1915). "Sobre la expresión de un número como la suma de dos cuadrados". Quarterly Journal of Mathematics . 46 : 263–283.
3. Guy, Richard K. (2004). "F1: Problema de puntos reticulares de Gauss". Problemas sin resolver en teoría de números . Libros de problemas de matemáticas. Vol. 1 (3.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 365–367. doi :10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN 0-387-20860-7.Señor 2076335  .
4. Huxley, MN (2002). "Puntos enteros, sumas exponenciales y la función zeta de Riemann". En Bennett, MA; Berndt, BC; Boston, N.; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Teoría de números para el milenio, II: Documentos de la conferencia celebrada en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Urbana, IL, 21-26 de mayo de 2000. Natick, Massachusetts: AK Peters. págs. 275-290. MR  1956254.
5. Hilbert, D .; Cohn-Vossen, S. (1952). Geometría e imaginación . Nueva York, NY: Chelsea Publishing Company. págs. 37-38. MR  0046650.
6. Hirschhorn, Michael D. (2000). "Fracciones parciales y cuatro teoremas clásicos de la teoría de números". The American Mathematical Monthly . 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 . doi :10.2307/2589321. JSTOR  2589321. 
7. Landau, Edmund (1927). Vorlesungen über Zahlentheorie . vol. 2. Verlag S. Hirzel. pag. 189.
8. Steinhaus, Hugo . "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) . Przegląd Matematyczno-Fizyczny (en polaco). 2 (1–2): 24–29.
9. Wu, Jie (2002). "Sobre el problema del círculo primitivo". Monatshefte für Mathematik . 135 (1): 69–81. doi :10.1007/s006050200006. SEÑOR  1894296. S2CID  119451320.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El problema del círculo de Gauss". MundoMatemático .
• Grant Sanderson, "Pi escondido en regularidades primos", 3Blue1Brown