Teorema de la suma de dos cuadrados

Caracterización por factores primos de sumas de dos cuadrados

Los números enteros que satisfacen el teorema de la suma de dos cuadrados son cuadrados de las posibles distancias entre los puntos de la red entera; se muestran los valores hasta 100, con

En teoría de números , el teorema de la suma de dos cuadrados relaciona la descomposición en primos de cualquier número entero n > 1 con si puede escribirse como una suma de dos cuadrados , de modo que n = a ² + b ² para algunos números enteros a , b . ^[1]

Un número entero mayor que uno puede escribirse como suma de dos cuadrados si y sólo si su descomposición prima no contiene ningún factor p ^k , donde primo y k es impar . ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$

Al escribir un número como suma de dos cuadrados, se permite que uno de los cuadrados sea cero, o que ambos sean iguales entre sí, por lo que todos los cuadrados y todos los dobles de cuadrados están incluidos en los números que se pueden representar de esta manera. Este teorema complementa el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados que dice cuándo un número primo se puede escribir como suma de dos cuadrados, ya que también cubre el caso de los números compuestos .

Un número puede tener múltiples representaciones como suma de dos cuadrados, contadas por la función suma de cuadrados ; por ejemplo, cada terna pitagórica da una segunda representación para más allá de la representación trivial . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}+0^{2}}$

Ejemplos

La descomposición en primos del número 2450 está dada por 2450 = 2  · 5 ²  · 7 ² . De los primos que aparecen en esta descomposición, 2, 5 y 7, solo 7 es congruente con 3 módulo 4. Su exponente en la descomposición, 2, es par . Por lo tanto, el teorema establece que se puede expresar como la suma de dos cuadrados. En efecto, 2450 = 7 ² + 49 ² .

La descomposición en primos del número 3430 es 2  · 5  · 7 ³ . Esta vez, el exponente de 7 en la descomposición es 3, un número impar. Por lo tanto, 3430 no se puede escribir como la suma de dos cuadrados.

Números representables

Los números que pueden representarse como sumas de dos cuadrados forman la secuencia entera ^[2]

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...

Forman el conjunto de todas las normas de los números enteros gaussianos ; ^[2] sus raíces cuadradas forman el conjunto de todas las longitudes de segmentos de línea entre pares de puntos en la red de números enteros bidimensionales .

El número de números representables en el rango de 0 a cualquier número es proporcional a , con una constante límite de proporcionalidad dada por la constante de Landau-Ramanujan , aproximadamente 0,764. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n}{\sqrt {\log n}}}}$

El producto de dos números cualesquiera que sean representables es otro número representable. Su representación puede derivarse de las representaciones de sus dos factores, utilizando la identidad de Brahmagupta-Fibonacci .

Teorema de los dos cuadrados de Jacobi

Teorema de los dos cuadrados  :  denotamos el número de divisores de como , y escribimos para el número de esos divisores con . Sea donde . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle d_{a}(n)}$ ${\displaystyle d\equiv a{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle n=2^{f}p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots q_{1}^{s_{1}}q_{2}^{s_{2}}\cdots }$ ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\bmod {4}},\ q_{i}\equiv 3{\bmod {4}}}$

Sea el número de formas en que se puede representar la suma de dos cuadrados. ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Entonces, si alguno de los exponentes es impar, si todos son pares, entonces ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ $${\displaystyle r_{2}(n)=4d(p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots )=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$$

Demostrado por Gauss usando formas cuadráticas y Jacobi usando funciones elípticas . ^[4] Una prueba elemental se basa en la factorización única de los números enteros gaussianos . ^[4] Hirschhorn da una prueba corta derivada del triple producto de Jacobi . ^[5]

Véase también

• Teorema de los tres cuadrados de Legendre
• Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
• Función suma de cuadrados
• Identidad de Brahmagupta-Fibonacci

Referencias

1. Dudley, Underwood (1969). "Sumas de dos cuadrados". Teoría elemental de números . WH Freeman and Company. págs. 135-139.
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001481 (Números que son la suma de 2 cuadrados)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
3. Rebák, Örs (2020). "Generalización de una identidad de Ramanujan". The American Mathematical Monthly . 127 (1): 80–83. arXiv : 1612.08307 . doi :10.1080/00029890.2020.1668716. MR  4043992.
4. Grosswald, Emil (1985). Representaciones de números enteros como sumas de cuadrados . Nueva York, Berlín, Heidelberg [etc.]: Springer. pp. 15–19. ISBN 978-3-540-96126-0.
5. Hirschhorn, Michael (1985). "Una prueba simple del teorema de los dos cuadrados de Jacobi" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 92 : 579–580.