Ecuación de Sylvester

En matemáticas , en el campo de la teoría de control , una ecuación de Sylvester es una ecuación matricial de la forma: ^[1]

${\displaystyle AX+XB=C.}$

Recibe su nombre del matemático inglés James Joseph Sylvester . Entonces, dadas las matrices A , B y C , el problema es encontrar las posibles matrices X que obedecen a esta ecuación. Se supone que todas las matrices tienen coeficientes en los números complejos . Para que la ecuación tenga sentido, las matrices deben tener tamaños apropiados, por ejemplo, todas podrían ser matrices cuadradas del mismo tamaño. Pero, de manera más general, A y B deben ser matrices cuadradas de tamaños n y m respectivamente, y luego X y C tienen ambas n filas y m columnas.

Una ecuación de Sylvester tiene una solución única para X exactamente cuando no hay valores propios comunes de A y − B . De manera más general, la ecuación AX  +  XB  =  C se ha considerado como una ecuación de operadores acotados en un espacio de Banach (posiblemente de dimensión infinita) . En este caso, la condición para la unicidad de una solución X es casi la misma: existe una solución única X exactamente cuando los espectros de A y − B son disjuntos . ^[2]

Existencia y unicidad de las soluciones

Usando la notación del producto de Kronecker y el operador de vectorización , podemos reescribir la ecuación de Sylvester en la forma ${\displaystyle \operatorname {vec} }$

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

donde es de dimensión , es de dimensión , de dimensión y es la matriz identidad . En esta forma, la ecuación puede verse como un sistema lineal de dimensión . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\!\times \!n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m\!\times \!m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\!\times \!m}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle mn\times mn}$

Teorema. Dadas las matrices y , la ecuación de Sylvester tiene una solución única para cualquier si y solo si y no comparten ningún valor propio. ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$ ${\displaystyle AX+XB=C}$ ${\displaystyle X\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$

Demostración. La ecuación es un sistema lineal con incógnitas y el mismo número de ecuaciones. Por lo tanto, es únicamente resoluble para cualquier ecuación dada si y solo si la ecuación homogénea admite solo la solución trivial . ${\displaystyle AX+XB=C}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AX+XB=0}$ ${\displaystyle 0}$

(i) Supongamos que y no comparten ningún valor propio. Sea una solución de la ecuación homogénea mencionada anteriormente. Entonces , que puede elevarse a para cada uno por inducción matemática. En consecuencia, para cualquier polinomio . En particular, sea el polinomio característico de . Entonces debido al teorema de Cayley-Hamilton ; mientras tanto, el teorema de aplicación espectral nos dice donde denota el espectro de una matriz. Como y no comparten ningún valor propio, no contiene cero y, por lo tanto, no es singular. Por lo tanto, como se deseaba. Esto prueba la parte "si" del teorema. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AX=X(-B)}$ ${\displaystyle A^{k}X=X(-B)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle p(A)X=Xp(-B)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(A)=0}$ ${\displaystyle \sigma (p(-B))=p(\sigma (-B)),}$ ${\displaystyle \sigma (\cdot )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle p(\sigma (-B))}$ ${\displaystyle p(-B)}$ ${\displaystyle X=0}$

(ii) Supongamos ahora que y comparten un valor propio . Sea un vector propio derecho correspondiente para , un vector propio izquierdo correspondiente para , y . Entonces , y Por lo tanto es una solución no trivial para la ecuación homogénea antes mencionada, lo que justifica la parte "sólo si" del teorema. QED ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle X=u{v}^{*}}$ ${\displaystyle X\neq 0}$ ${\displaystyle AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.}$ ${\displaystyle X}$

Como alternativa al teorema de mapeo espectral , la no singularidad de en la parte (i) de la prueba también se puede demostrar mediante la identidad de Bézout para polinomios coprimos. Sea el polinomio característico de . Puesto que y no comparten ningún valor propio, y son coprimos. Por lo tanto, existen polinomios y tales que . Por el teorema de Cayley-Hamilton , . Por lo tanto , lo que implica que es no singular. ${\displaystyle p(-B)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1}$ ${\displaystyle q(-B)=0}$ ${\displaystyle p(-B)f(-B)=I}$ ${\displaystyle p(-B)}$

El teorema sigue siendo válido para matrices reales con la salvedad de que se deben tener en cuenta sus valores propios complejos. La prueba de la parte "si" sigue siendo aplicable; para la parte "solo si", observe que tanto y satisfacen la ecuación homogénea , y no pueden ser cero simultáneamente. ${\displaystyle \mathrm {Re} (uv^{*})}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (uv^{*})}$ ${\displaystyle AX+XB=0}$

Regla de remoción de Roth

Dadas dos matrices complejas cuadradas A y B , de tamaño n y m , y una matriz C de tamaño n por m , entonces uno puede preguntar cuándo las siguientes dos matrices cuadradas de tamaño n  +  m son similares entre sí: y . La respuesta es que estas dos matrices son similares exactamente cuando existe una matriz X tal que AX  −  XB  =  C . En otras palabras, X es una solución a una ecuación de Sylvester. Esto se conoce como regla de remoción de Roth . ^[4] ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$

Se puede comprobar fácilmente una dirección: si AX  −  XB  =  C entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$

La regla de eliminación de Roth no se generaliza a operadores acotados de dimensión infinita en un espacio de Banach. ^[5] Sin embargo, la regla de eliminación de Roth se generaliza a los sistemas de ecuaciones de Sylvester. ^[6]

Soluciones numéricas

Un algoritmo clásico para la solución numérica de la ecuación de Sylvester es el algoritmo de Bartels–Stewart , que consiste en transformar y en forma de Schur mediante un algoritmo QR , y luego resolver el sistema triangular resultante mediante sustitución hacia atrás . Este algoritmo, cuyo costo computacional son operaciones aritméticas, ^{[ cita requerida ]} es utilizado, entre otros, por LAPACK y la función en GNU Octave . ^[7] Véase también la función en ese lenguaje. ^{[8] [9]} En algunas aplicaciones específicas de procesamiento de imágenes, la ecuación de Sylvester derivada tiene una solución en forma cerrada. ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$lyapsylvester

Véase también

• Ecuación de Lyapunov , un caso especial de la ecuación de Sylvester
• Ecuación algebraica de Riccati

Notas

1. Esta ecuación también se escribe comúnmente en la forma equivalente de AX  −  XB  =  C .
2. Bhatia y Rosenthal, 1997
3. Sin embargo, no se recomienda reescribir la ecuación en esta forma para la solución numérica ya que esta versión es costosa de resolver y puede estar mal condicionada .
4. Gerrish, F; Ward, AGB (noviembre de 1998). "Ecuación matricial de Sylvester y regla de eliminación de Roth". The Mathematical Gazette . 82 (495): 423–430. doi :10.2307/3619888. JSTOR  3619888. S2CID  126229881.
5. Bhatia y Rosenthal, pág. 3
6. Dmytryshyn, Andrii; Kågström, Bo (2015). "Ecuaciones matriciales acopladas de tipo Sylvester y diagonalización de bloques". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 36 (2): 580–593. CiteSeerX 10.1.1.710.6894 . doi :10.1137/151005907. 
7. "Referencia de función: Lyap".
8. "Funciones de una matriz (GNU Octave (versión 4.4.1))".
9. El sylcomando está obsoleto desde GNU Octave versión 4.0
10. Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). "Fusión rápida de imágenes multibanda basada en la resolución de una ecuación de Sylvester". IEEE . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Bibcode :2015ITIP...24.4109W. doi :10.1109/TIP.2015.2458572. PMID  26208345. S2CID  665111.

Referencias

• Sylvester, J. (1884). "Sobre las ecuaciones en matrices ". CR Acad. Ciencia. París . 99 (2): 67–71, 115–116. ${\displaystyle px=xq}$
• Bartels, RH; Stewart, GW (1972). "Solución de la ecuación matricial A X + X B = C {\displaystyle AX+XB=C}". Comm. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145/361573.361582 . S2CID  12957010.
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). "¿Cómo y por qué resolver la ecuación del operador  ?". Bull. London Math. Soc. 29 (1): 1–21. doi :10.1112/S0024609396001828. S2CID  122259404. ${\displaystyle AX-XB=Y}$
• Dmytryshyn, Andrii; Kågström, Bo (2015). "Ecuaciones matriciales acopladas de tipo Sylvester y diagonalización de bloques". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 36 (2): 580–593. CiteSeerX  10.1.1.710.6894 . doi :10.1137/151005907.
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. (2011). "Soluciones simultáneas de ecuaciones de Sylvester y matrices idempotentes que separan el espectro conjunto". Linear Algebra Appl. 435 (9): 2097–2109. doi : 10.1016/j.laa.2010.09.034 .
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). "Fusión rápida de imágenes multibanda basada en la resolución de una ecuación de Sylvester". IEEE Transactions on Image Processing . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Bibcode :2015ITIP...24.4109W. doi :10.1109/TIP.2015.2458572. PMID  26208345. S2CID  665111.
• Birkhoff y MacLane. Un estudio del álgebra moderna . Macmillan. págs. 213, 299.

Enlaces externos

• Solucionador en línea para matrices de cualquier tamaño. Archivado el 9 de julio de 2013 en Wayback Machine.
• Función de Mathematica para resolver la ecuación de Sylvester
• Función MATLAB para resolver la ecuación de Sylvester