Ecuaciones primitivas

Ecuaciones para aproximar el flujo atmosférico global

Las ecuaciones primitivas son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que se utilizan para aproximar el flujo atmosférico global y se utilizan en la mayoría de los modelos atmosféricos . Consisten en tres conjuntos principales de ecuaciones de equilibrio:

1. Una ecuación de continuidad : Representa la conservación de la masa.
2. Conservación del momento : consiste en una forma de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el flujo hidrodinámico en la superficie de una esfera bajo el supuesto de que el movimiento vertical es mucho menor que el movimiento horizontal (hidrostasis) y que la profundidad de la capa de fluido es pequeña en comparación con el radio de la esfera.
3. Una ecuación de energía térmica : relaciona la temperatura general del sistema con las fuentes y sumideros de calor.

Las ecuaciones primitivas pueden linealizarse para obtener las ecuaciones de marea de Laplace , un problema de valores propios a partir del cual puede determinarse la solución analítica de la estructura latitudinal del flujo.

En general, casi todas las formas de las ecuaciones primitivas relacionan las cinco variables u , v , ω, T , W y su evolución en el espacio y el tiempo.

Las ecuaciones fueron escritas por primera vez por Vilhelm Bjerknes . ^[1]

Definiciones

• ${\displaystyle u}$es la velocidad zonal (velocidad en la dirección este-oeste tangente a la esfera)
• ${\displaystyle v}$es la velocidad meridional (velocidad en la dirección norte-sur tangente a la esfera)
• ${\displaystyle \omega }$es la velocidad vertical en coordenadas isobáricas
• ${\displaystyle T}$¿es la temperatura?
• ${\displaystyle \Phi }$es el geopotencial
• ${\displaystyle f}$es el término correspondiente a la fuerza de Coriolis , y es igual a , donde es la velocidad de rotación angular de la Tierra ( radianes por hora sideral), y es la latitud ${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2\pi /24}$ ${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle R}$¿es la constante del gas?
• ${\displaystyle p}$es la presión
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad
• ${\displaystyle c_{p}}$es el calor específico en una superficie de presión constante
• ${\displaystyle J}$es el flujo de calor por unidad de tiempo por unidad de masa
• ${\displaystyle W}$es el agua precipitable
• ${\displaystyle \Pi }$es la función Exner
• ${\displaystyle \theta }$es la temperatura potencial
• ${\displaystyle \eta }$es la vorticidad absoluta

Fuerzas que causan el movimiento atmosférico

Las fuerzas que provocan el movimiento atmosférico incluyen la fuerza del gradiente de presión , la gravedad y la fricción viscosa . Juntas, crean las fuerzas que aceleran nuestra atmósfera.

La fuerza del gradiente de presión provoca una aceleración que obliga al aire a pasar de las regiones de alta presión a las de baja presión. Matemáticamente, esto se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.}$

La fuerza gravitacional acelera los objetos a aproximadamente 9,8 m/s2 ^directamente hacia el centro de la Tierra.

La fuerza debida a la fricción viscosa se puede aproximar como:

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).}$

Utilizando la segunda ley de Newton, estas fuerzas (a las que se hace referencia en las ecuaciones anteriores como las aceleraciones debidas a estas fuerzas) pueden sumarse para producir una ecuación de movimiento que describe este sistema. Esta ecuación puede escribirse en la forma:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}.\,}$

Por lo tanto, para completar el sistema de ecuaciones y obtener 6 ecuaciones y 6 variables:

• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0}$
• ${\displaystyle p=nT.}$

donde n es la densidad numérica en mol, y T:=RT es el valor equivalente de temperatura en Joule/mol.

Formas de las ecuaciones primitivas

La forma precisa de las ecuaciones primitivas depende del sistema de coordenadas verticales elegido, como las coordenadas de presión, las coordenadas de presión logarítmica o las coordenadas sigma . Además, las variables de velocidad, temperatura y geopotencial pueden descomponerse en componentes de media y perturbación mediante la descomposición de Reynolds .

Coordenada de presión en el plano tangencial cartesiano vertical

En esta forma, se selecciona la presión como la coordenada vertical y las coordenadas horizontales se escriben para el plano tangencial cartesiano (es decir, un plano tangente a algún punto de la superficie de la Tierra). Esta forma no tiene en cuenta la curvatura de la Tierra, pero es útil para visualizar algunos de los procesos físicos involucrados en la formulación de las ecuaciones debido a su relativa simplicidad.

Nótese que las derivadas temporales con D mayúscula son derivadas materiales . Cinco ecuaciones con cinco incógnitas componen el sistema.

• Las ecuaciones del momento no viscoso (sin fricción):

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}}$

• la ecuación hidrostática , un caso especial de la ecuación del momento vertical en el que la aceleración vertical se considera insignificante:

${\displaystyle 0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}}$

• la ecuación de continuidad , que conecta la divergencia/convergencia horizontal con el movimiento vertical bajo la aproximación hidrostática ( ): ${\displaystyle dp=-\rho \,d\Phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$

• y la ecuación de energía termodinámica, una consecuencia de la primera ley de la termodinámica

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}}$

Cuando se incluye una declaración sobre la conservación de la sustancia vapor de agua, estas seis ecuaciones forman la base para cualquier esquema de predicción numérica del tiempo.

Ecuaciones primitivas utilizando el sistema de coordenadas sigma, proyección estereográfica polar

Según el Manual n.º 1 del Servicio Meteorológico Nacional: Productos de fax , las ecuaciones primitivas se pueden simplificar en las siguientes ecuaciones:

• Viento zonal:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}}$

• Viento meridional:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}}$

• Temperatura:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}}$

El primer término es igual al cambio de temperatura debido a la radiación solar entrante y la radiación de onda larga saliente, que cambia con el tiempo a lo largo del día. El segundo, tercer y cuarto términos se deben a la advección. Además, la variable T con subíndice es el cambio de temperatura en ese plano. Cada T es en realidad diferente y está relacionada con su plano respectivo. Esto se divide por la distancia entre los puntos de la cuadrícula para obtener el cambio de temperatura con el cambio de distancia. Cuando se multiplica por la velocidad del viento en ese plano, las unidades kelvin por metro y metros por segundo dan kelvin por segundo. La suma de todos los cambios de temperatura debidos a los movimientos en las direcciones x , y y z da el cambio total de temperatura con el tiempo.

• Agua precipitable:

${\displaystyle {\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}}$

Esta ecuación y notación funcionan de forma muy similar a la ecuación de la temperatura. Esta ecuación describe el movimiento del agua de un lugar a otro en un punto sin tener en cuenta el agua que cambia de forma. Dentro de un sistema determinado, el cambio total del agua con el tiempo es cero. Sin embargo, se permite que las concentraciones se muevan con el viento.

• Espesor de presión:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}}$

Estas simplificaciones hacen que sea mucho más fácil entender lo que está sucediendo en el modelo. Factores como la temperatura (temperatura potencial), el agua precipitable y, en cierta medida, el espesor de la presión simplemente se mueven de un punto de la cuadrícula a otro con el viento. El viento se pronostica de forma ligeramente diferente. Se utilizan el geopotencial, el calor específico, la función Exner π y el cambio en la coordenada sigma.

Solución a las ecuaciones primitivas linealizadas

La solución analítica de las ecuaciones primitivas linealizadas implica una oscilación sinusoidal en el tiempo y la longitud, modulada por coeficientes relacionados con la altura y la latitud.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}}$

donde s y son el número de onda zonal y la frecuencia angular , respectivamente. La solución representa las ondas atmosféricas y las mareas . ${\displaystyle \sigma }$

Cuando los coeficientes se separan en sus componentes de altura y latitud, la dependencia de la altura toma la forma de ondas propagadas o evanescentes (dependiendo de las condiciones), mientras que la dependencia de la latitud está dada por las funciones de Hough .

Esta solución analítica sólo es posible cuando las ecuaciones primitivas se linealizan y simplifican. Lamentablemente, muchas de estas simplificaciones (es decir, ausencia de disipación, atmósfera isotérmica) no corresponden a las condiciones de la atmósfera real. Como resultado, a menudo se calcula una solución numérica que tiene en cuenta estos factores utilizando modelos de circulación general y modelos climáticos .

Véase también

• Fórmula barométrica
• Modelo climático
• Ecuaciones de Euler
• Dinámica de fluidos
• Modelo de circulación general
• Predicción numérica del tiempo

Referencias

1. Antes de 1955: modelos numéricos y prehistoria de los AGCM

• Beniston, Martin. De la turbulencia al clima: investigaciones numéricas de la atmósfera con una jerarquía de modelos. Berlín: Springer, 1998. ISBN  3-540-63495-9
• Firth, Robert. Construcción y precisión de cuadrículas de modelos meteorológicos de mesoescala y microescala. LSMSA, 2006.
• Thompson, Philip. Análisis numérico del tiempo y predicción. Nueva York: The Macmillan Company, 1961.
• Pielke, Roger A. Modelado meteorológico de mesoescala. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6 
• Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Administración Nacional Oceánica y Atmosférica, Servicio Meteorológico Nacional. Manual del Servicio Meteorológico Nacional n.º 1: Productos de fax. Washington, DC: Departamento de Comercio, 1979.

Enlaces externos

Servicio Meteorológico Nacional – Sitio de capacitación e investigación colaborativa de NCSU, Revisión de las ecuaciones primitivas.