Ecuación de Orr-Sommerfeld

La ecuación de Orr-Sommerfeld , en dinámica de fluidos , es una ecuación de valores propios que describe los modos lineales bidimensionales de perturbación de un flujo paralelo viscoso . La solución de las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo laminar paralelo puede volverse inestable si se satisfacen ciertas condiciones del flujo, y la ecuación de Orr-Sommerfeld determina con precisión cuáles son las condiciones para la estabilidad hidrodinámica .

La ecuación lleva el nombre de William McFadden Orr y Arnold Sommerfeld , quienes la derivaron a principios del siglo XX.

Formulación

Un diagrama esquemático del estado base del sistema. El flujo bajo investigación representa una pequeña perturbación alejada de este estado. Si bien el estado base es paralelo, la velocidad de perturbación tiene componentes en ambas direcciones.

La ecuación se obtiene resolviendo una versión linealizada de la ecuación de Navier-Stokes para el campo de velocidad de perturbación.

${\displaystyle \mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right)}$,

¿Dónde está el flujo básico o no perturbado? La velocidad de perturbación tiene la solución ondulatoria (se entiende la parte real). Utilizando este conocimiento y la representación de la función de flujo para el flujo, se obtiene la siguiente forma dimensional de la ecuación de Orr-Sommerfeld: ${\displaystyle (U(z),0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{i\alpha \rho }}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$,

donde es la viscosidad dinámica del fluido, es su densidad y es el potencial o función de corriente. En el caso de viscosidad cero ( ), la ecuación se reduce a la ecuación de Rayleigh . La ecuación se puede escribir en forma adimensional midiendo velocidades según una escala establecida por alguna velocidad característica y midiendo longitudes según la profundidad del canal . Entonces la ecuación toma la forma ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {1 \over i\alpha \,Re}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$,

dónde

${\displaystyle Re={\frac {\rho U_{0}h}{\mu }}}$

es el número de Reynolds del flujo base. Las condiciones de contorno relevantes son las condiciones de contorno sin deslizamiento en la parte superior e inferior del canal y , ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2}}$

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dz}=0}$en y en el caso donde está la función potencial. ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$

O:

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dx}=0}$en y en el caso donde está la función de flujo. ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$

El parámetro de valor propio del problema es y el vector propio es . Si la parte imaginaria de la velocidad de la onda es positiva, entonces el flujo base es inestable y la pequeña perturbación introducida en el sistema se amplifica con el tiempo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle c}$

Soluciones

Para todos los perfiles de velocidad , excepto los más simples, se requieren métodos numéricos o asintóticos para calcular las soluciones. Algunos perfiles de flujo típicos se analizan a continuación. En general, el espectro de la ecuación es discreto e infinito para un flujo acotado, mientras que para flujos ilimitados (como el flujo de capa límite ), el espectro contiene partes continuas y discretas. ^[1] ${\displaystyle U}$

El espectro del operador Orr-Sommerfeld para el flujo de Poiseuille en criticidad.

Curvas de dispersión del flujo de Poiseuille para varios números de Reynolds.

Para el flujo plano de Poiseuille , se ha demostrado que el flujo es inestable (es decir, uno o más valores propios tienen una parte imaginaria positiva) para algunos cuando y el modo neutralmente estable tiene ,. ^[2] Para ver las propiedades de estabilidad del sistema, se acostumbra trazar una curva de dispersión, es decir, un gráfico de la tasa de crecimiento en función del número de onda . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Re>Re_{c}=5772.22}$ ${\displaystyle Re=Re_{c}}$ ${\displaystyle \alpha _{c}=1.02056}$ ${\displaystyle c_{r}=0.264002}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(\alpha {c})}$ ${\displaystyle \alpha }$

La primera figura muestra el espectro de la ecuación de Orr-Sommerfeld en los valores críticos enumerados anteriormente. Esta es una gráfica de los valores propios (en la forma ) en el plano complejo. El valor propio más a la derecha es el más inestable. En los valores críticos del número de Reynolds y del número de onda, el valor propio más a la derecha es exactamente cero. Para valores más altos (más bajos) del número de Reynolds, el valor propio más a la derecha se desplaza hacia la mitad positiva (negativa) del plano complejo. Luego, una gráfica que muestra la dependencia funcional de este valor propio proporciona una imagen más completa de las propiedades de estabilidad; esto se muestra en la segunda figura. ${\displaystyle \lambda =-i\alpha {c}}$

Por otro lado, el espectro de valores propios del flujo de Couette indica estabilidad, en todos los números de Reynolds. ^[3] Sin embargo, en experimentos, se descubre que el flujo de Couette es inestable ante perturbaciones pequeñas, pero finitas, para las cuales no se aplican la teoría lineal ni la ecuación de Orr-Sommerfeld. Se ha argumentado que la no normalidad del problema de valores propios asociado con el flujo de Couette (y de hecho, Poiseuille) podría explicar la inestabilidad observada. ^[4] Es decir, las funciones propias del operador de Orr-Sommerfeld son completas pero no ortogonales. Entonces, la energía de la perturbación contiene contribuciones de todas las funciones propias de la ecuación de Orr-Sommerfeld. Incluso si la energía asociada con cada valor propio considerado por separado decae exponencialmente en el tiempo (como lo predice el análisis de Orr-Sommerfeld para el flujo de Couette), los términos cruzados que surgen de la no ortogonalidad de los valores propios pueden aumentar transitoriamente. Por tanto, la energía total aumenta transitoriamente (antes de tender asintóticamente a cero). El argumento es que si la magnitud de este crecimiento transitorio es suficientemente grande, desestabiliza el flujo laminar; sin embargo, este argumento no ha sido universalmente aceptado. ^[5]

También se ha propuesto una teoría no lineal que explica la transición, ^{[6] [7]} . Aunque esa teoría incluye un crecimiento transitorio lineal, la atención se centra en los procesos no lineales tridimensionales que se sospecha fuertemente que subyacen a la transición a la turbulencia en los flujos de corte. La teoría ha llevado a la construcción de los llamados estados estacionarios 3D completos, ondas viajeras y soluciones periódicas de las ecuaciones de Navier-Stokes que capturan muchas de las características clave de las estructuras de transición y coherentes observadas en la región cercana a la pared de corte turbulento. fluye. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13]} Aunque "solución" generalmente implica la existencia de un resultado analítico, es una práctica común en mecánica de fluidos referirse a resultados numéricos como "soluciones", independientemente de de si las soluciones aproximadas satisfacen las ecuaciones de Navier-Stokes de forma matemáticamente satisfactoria o no. Se postula que la transición a la turbulencia implica el estado dinámico del fluido que evoluciona de una solución a la siguiente. Por lo tanto, la teoría se basa en la existencia real de tales soluciones (muchas de las cuales aún no se han observado en una configuración experimental física). Esta relajación del requisito de soluciones exactas permite una gran flexibilidad, ya que las soluciones exactas son extremadamente difíciles de obtener (a diferencia de las soluciones numéricas), a expensas del rigor y (posiblemente) la corrección. Por lo tanto, aunque no es tan riguroso como los enfoques anteriores de transición, ha ganado una inmensa popularidad.

Recientemente se ha sugerido una extensión de la ecuación de Orr-Sommerfeld al flujo en medios porosos. ^[14]

Métodos matemáticos para flujos en superficie libre.

Para el flujo de Couette, es posible lograr avances matemáticos en la solución de la ecuación de Orr-Sommerfeld. En esta sección, se da una demostración de este método para el caso de flujo de superficie libre, es decir, cuando la tapa superior del canal se reemplaza por una superficie libre. En primer lugar, tenga en cuenta que es necesario modificar las condiciones de contorno superior para tener en cuenta la superficie libre. En forma adimensional, estas condiciones ahora se leen

${\displaystyle \varphi ={d\varphi \over dz}=0,}$en , ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\alpha ^{2}\varphi =0}$, en . ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {d^{3}\varphi }{dz^{3}}}+i\alpha Re\left[\left(c-U\left(z_{2}=1\right)\right){\frac {d\varphi }{dz}}+\varphi \right]-i\alpha Re\left({\frac {1}{Fr}}+{\frac {\alpha ^{2}}{We}}\right){\frac {\varphi }{c-U\left(z_{2}=1\right)}}=0,}$ ${\displaystyle \,z=1}$

La primera condición de superficie libre es la afirmación de continuidad de la tensión tangencial, mientras que la segunda condición relaciona la tensión normal con la tensión superficial. Aquí

${\displaystyle Fr={\frac {U_{0}^{2}}{gh}},\,\,\ We={\frac {\rho u_{0}^{2}h}{\sigma }}}$

son los números de Froude y Weber respectivamente.

Para el flujo de Couette , las cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación adimensional de Orr-Sommerfeld son, ^[15] ${\displaystyle U\left(z\right)=z}$

${\displaystyle \chi _{1}\left(z\right)=\sinh \left(\alpha z\right),\qquad \chi _{2}\left(z\right)=\cosh \left(\alpha z\right)}$,

${\displaystyle \chi _{3}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,}$

${\displaystyle \chi _{4}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{5i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,}$

¿Dónde está la función Airy del primer tipo? La sustitución de la solución de superposición en las cuatro condiciones de contorno da cuatro ecuaciones en las cuatro constantes desconocidas . Para que las ecuaciones tengan una solución no trivial, la condición determinante ${\displaystyle Ai\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle \varphi =\sum _{i=1}^{4}c_{i}\chi _{i}\left(z\right)}$ ${\displaystyle c_{i}}$

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}\chi _{1}\left(0\right)&\chi _{2}\left(0\right)&\chi _{3}\left(0\right)&\chi _{4}\left(0\right)\\\chi _{1}'\left(0\right)&\chi _{2}'\left(0\right)&\chi _{3}'\left(0\right)&\chi _{4}'\left(0\right)\\\Omega _{1}\left(1\right)&\Omega _{2}\left(1\right)&\Omega _{3}\left(1\right)&\Omega _{4}\left(1\right)\\\chi _{1}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{1}\left(1\right)&\chi _{2}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{2}\left(1\right)&\chi _{3}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{3}\left(1\right)&\chi _{4}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{4}\left(1\right)\end{array}}\right|=0}$

debe quedar satisfecho. Esta es una ecuación única en la incógnita c , que puede resolverse numéricamente o mediante métodos asintóticos . Se puede demostrar que para un rango de números de onda y para números de Reynolds suficientemente grandes, la tasa de crecimiento es positiva. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha c_{\text{i}}}$

Ver también

• Eventos de forzamiento gravitacional de cometas y asteroides
• onda de gravedad
• ondas de sotavento
• Ola gigante

Referencias

1. Hooper, AP; Grimshaw, R. (1996). "Crecimiento de perturbaciones bidimensionales de flujos de corte viscosos linealmente estables". Física. Fluidos . 8 (6): 1424-1432. Código bibliográfico : 1996PhFl....8.1424H. doi : 10.1063/1.868919.
2. Orszag, SA (1971). "Solución precisa de la ecuación de estabilidad de Orr-Sommerfeld". J. Mec. de fluidos. 50 (4): 689–703. Código bibliográfico : 1971JFM....50..689O. doi :10.1017/S0022112071002842. S2CID  6076327.
3. Drazin, PG ; Reid, WH (1981). Estabilidad Hidrodinámica . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521227988.
4. Trefethen, Países Bajos; Trefethen, AE; Teddy, Carolina del Sur; Driscoll, TA (1993). "Estabilidad hidrodinámica sin valores propios". Ciencia . 261 (5121): 578–584. Código Bib : 1993 Ciencia... 261.. 578T. doi : 10.1126/ciencia.261.5121.578. PMID  17758167. S2CID  18221574.
5. Waleffe, Fabián (1995). "Transición en flujos cortantes: normalidad no lineal versus linealidad no normal". Física de Fluidos . 7 (12): 3060–3066. Código bibliográfico : 1995PhFl....7.3060W. doi : 10.1063/1.868682.
6. Waleffe, Fabián (1995). "Estabilidad hidrodinámica y turbulencia: más allá de los transitorios hacia un proceso autosostenible". Estudios en Matemática Aplicada . 95 (3): 319–343. doi : 10.1002/sapm1995953319.
7. Waleffe, Fabián (1997). "Sobre un proceso autosostenible en flujos de corte". Física de Fluidos . 9 (4): 883–900. Código bibliográfico : 1997PhFl....9..883W. doi : 10.1063/1.869185.
8. Waleffe, Fabián (1998). "Estados coherentes tridimensionales en flujos cortantes planos". Cartas de revisión física . 81 (19): 4140–4143. Código bibliográfico : 1998PhRvL..81.4140W. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.4140.
9. Waleffe, Fabián (2001). "Estructuras coherentes exactas en el flujo del canal". Revista de mecánica de fluidos . 435 (1): 93-102. Código Bib : 2001JFM...435...93W. doi :10.1017/S0022112001004189. S2CID  119611288.
10. Waleffe, Fabián (2003). "Homotopía de estructuras coherentes exactas en flujos cortantes planos". Física de Fluidos . 15 (6): 1517-1534. Código bibliográfico : 2003PhFl...15.1517W. doi :10.1063/1.1566753.
11. Faisst, Holger; Eckhardt, Bruno (2003). "Ondas viajeras en el flujo de tuberías". Física. Rev. Lett . 91 (22): 224502. arXiv : nlin/0304029 . Código Bib : 2003PhRvL..91v4502F. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.224502. PMID  14683243. S2CID  37014454.
12. Wedin, H.; Kerswell, RR (2004). "Estados coherentes exactos en el flujo de tuberías". Revista de mecánica de fluidos . 508 : 333–371. Código Bib : 2004JFM...508..333W. CiteSeerX 10.1.1.139.8263 . doi :10.1017/S0022112004009346. S2CID  14240927. 
13. Hof, B.; van Doorne, CWH; Westerweel, J.; Nieuwstadt, FTM; Faisst, H.; Eckhardt, B.; Wedin, H.; Kerswell, RR; Waleffe, F. (2004). "Observación experimental de ondas viajeras no lineales en flujo de tubería turbulento". Ciencia . 305 (5690): 1594-1598. Código bibliográfico : 2004 Ciencia... 305.1594H. doi : 10.1126/ciencia.1100393. PMID  15361619. S2CID  7211017.
14. Avramenko, AA; Kuznetsov, AV; Basok, BI; Blinov, Director General (2005). "Investigación de la estabilidad de un flujo laminar en un canal de placas paralelas lleno de un medio poroso saturado de fluido". Física de Fluidos . 17 (9): 094102–094102–6. Código bibliográfico : 2005PhFl...17i4102A. doi : 10.1063/1.2041607.
15. Miesen, R.; Boersma, BJ (1995). "Estabilidad hidrodinámica de una película líquida cortada". Revista de mecánica de fluidos . 301 : 175-202. Código Bib : 1995JFM...301..175M. doi :10.1017/S0022112095003855. S2CID  120740556.

Otras lecturas

• Orr, W. M'F. (1907). "La estabilidad o inestabilidad de los movimientos estacionarios de un líquido. Parte I". Actas de la Real Academia Irlandesa . 27 : 9–68.
• Orr, W. M'F. (1907). "La estabilidad o inestabilidad de los movimientos estacionarios de un líquido. Parte II". Actas de la Real Academia Irlandesa . 27 : 69-138.
• Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". Actas del IV Congreso Internacional de Matemáticos . vol. III. Roma. págs. 116-124.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)