ecuación integral

Ecuaciones con función desconocida bajo signo integral

En matemáticas , las ecuaciones integrales son ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo integral . ^[1] En notación matemática, las ecuaciones integrales pueden expresarse de la forma:

$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0}$$

operador integralu. ^[1]ecuaciones diferenciales^[1]ecuación integral ${\displaystyle I^{i}(u)}$

$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0}$$

operador diferenciali^[1][1][1]las ecuaciones de Maxwell,^[2]la función de Greenla teoría de Fredholm ${\displaystyle D^{i}(u)}$

Clasificación y descripción general

Existen varios métodos de clasificación para ecuaciones integrales. Algunas clasificaciones estándar incluyen distinciones entre lineal y no lineal; homogéneo y no homogéneo; Fredholm y Volterra; primer orden, segundo orden y tercer orden; y ecuaciones integrales singulares y regulares. ^[1] Estas distinciones generalmente se basan en alguna propiedad fundamental como la consideración de la linealidad de la ecuación o la homogeneidad de la ecuación. ^[1] Estos comentarios se concretan a través de las siguientes definiciones y ejemplos:

Linealidad

Lineal : una ecuación integral es lineal si la función desconocida u(x) y sus integrales aparecen lineales en la ecuación. ^[1] Por lo tanto, un ejemplo de ecuación lineal sería: ^[1]

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

u(x)f(x)K(x,t)Kernelλvalor propioálgebra lineal^[1]

No lineal : una ecuación integral es no lineal si la función desconocida u(x) o cualquiera de sus integrales aparecen no lineales en la ecuación. ^[1] Por lo tanto, ejemplos de ecuaciones no lineales serían la ecuación anterior si reemplazamos u(t) con , como por ejemplo: ${\displaystyle u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}}$

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt}$$

^[3][3]

• Ecuaciones integrales de Volterra no lineales del segundo tipo que tienen la forma general: donde F es una función conocida. ^[3] ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,}$
• Ecuaciones integrales de Fredholm no lineales de segundo tipo que tienen la forma general: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)}$
• Un tipo especial de ecuaciones integrales de Fredholm no lineales del segundo tipo viene dado por la forma: , que tiene dos subclases especiales: ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy}$
  • Ecuación de Urysohn: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy}$
  • Ecuación de Hammerstein: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy}$

Puede encontrar más información sobre la ecuación de Hammerstein y las diferentes versiones de la ecuación de Hammerstein en la sección de Hammerstein a continuación.

Ubicación de la ecuación desconocida

Primer tipo : Una ecuación integral se llama ecuación integral de primer tipo si la función desconocida aparece solo bajo el signo integral. ^[3] Un ejemplo sería: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$

Segundo tipo : Una ecuación integral se llama ecuación integral de segundo tipo si la función desconocida también aparece fuera de la integral. ^[3]

Tercer tipo : Una ecuación integral se llama ecuación integral de tercer tipo si es una ecuación integral lineal de la siguiente forma: ^[3]

$${\displaystyle g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)}$$

g(t)[a,b] ^{[4] [5]}g(t)(a,b)^[6]

Límites de la integración

Fredholm : Una ecuación integral se llama ecuación integral de Fredholm si ambos límites de integración en todas las integrales son fijos y constantes. ^[1] Un ejemplo sería que la integral se toma sobre un subconjunto fijo de . ^[3] Por lo tanto, los siguientes dos ejemplos son ecuaciones de Fredholm: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Ecuación de Fredholm del primer tipo: . ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Ecuación de Fredholm del segundo tipo: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Tenga en cuenta que podemos expresar ecuaciones integrales como las anteriores también utilizando la notación de operador integral. ^[7] Por ejemplo, podemos definir el operador integral de Fredholm como:

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.}$$

^[7]

$${\displaystyle y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).}$$

Volterra : Una ecuación integral se llama ecuación integral de Volterra si al menos uno de los límites de integración es una variable. ^[1] Por lo tanto, la integral se toma en un dominio que varía con la variable de integración. ^[3] Ejemplos de ecuaciones de Volterra serían: ^[1]

• Ecuación integral de Volterrarra de primer tipo: ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Ecuación integral de Volterrarra de segundo tipo: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Al igual que con las ecuaciones de Fredholm, podemos adoptar nuevamente la notación de operador. Así, podemos definir el operador integral lineal de Volterra , de la siguiente manera: ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$

$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$

K(t,s)^[3][3] ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$

$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$

${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle t\in I}$

$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).}$$

Volterra-Fredholm^[3]

$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$

^[3][3] ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$

^[7][7] ${\displaystyle [a,b]=I}$

Homogeneidad

Homogénea : Una ecuación integral se llama homogénea si la función conocida es idénticamente cero. ^[1] ${\displaystyle f}$

No homogénea : una ecuación integral se llama no homogénea si la función conocida es distinta de cero. ^[1] ${\displaystyle f}$

Regularidad

Regular : una ecuación integral se llama regular si las integrales utilizadas son todas integrales propias. ^[7]

Singular o débilmente singular : Una ecuación integral se llama singular o débilmente singular si la integral es una integral impropia. ^[7] Esto podría deberse a que al menos uno de los límites de integración es infinito o a que el núcleo se vuelve ilimitado, es decir, infinito, en al menos un punto del intervalo o dominio sobre el cual se está integrando. ^[1]

Los ejemplos incluyen: ^[1]

$${\displaystyle F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx}$$

$${\displaystyle L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx}$$

u(x)^[1][1] ${\displaystyle K(x,t)=e^{-i\lambda x}}$ ${\displaystyle K(x,t)=e^{-\lambda x}}$

$${\displaystyle x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.}$$

^[7]

$${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy}$$

Fuertemente singular^[7]

Ecuaciones integrales diferenciales

Una ecuación integro-diferencial , como su nombre indica, combina operadores diferenciales e integrales en una sola ecuación. ^[1] Hay muchas versiones que incluyen la ecuación integrodiferencial de Volterra y las ecuaciones de tipo retardo como se definen a continuación. ^[3] Por ejemplo, utilizando el operador Volterra como se define anteriormente, la ecuación integrodiferencial de Volterra se puede escribir como: ^[3]

$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)}$$

^[3] ${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)}$

$${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds}$$

^[3]

$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).}$$

Ecuaciones integrales de Volterra

Teoremas de unicidad y existencia en 1D.

La solución a una ecuación integral lineal de Volterra de primer tipo, dada por la ecuación:

$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$

^[3][3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$

$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$

K(t,s)^[3] ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$

Teorema  :  suponga que satisface y para algunos. Entonces, para cualquiera con la ecuación integral anterior tiene una solución única en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)}$ ${\displaystyle \vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0}$ ${\displaystyle t\in I.}$ ${\displaystyle g\in C^{1}(I)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$

La solución a una ecuación integral lineal de Volterra de segundo tipo, dada por la ecuación: ^[3]

$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)}$$

^[3]

Teorema  :  Sea y denote el núcleo resolutivo asociado con . Entonces, para cualquier , la ecuación integral de Volterra de segundo tipo tiene una solución única y esta solución viene dada por: . ${\displaystyle K\in C(D)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g\in C(I)}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$

Ecuaciones integrales de Volterra en ℝ 2

Una ecuación integral de Volterra del segundo tipo se puede expresar de la siguiente manera: ^[3]

$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$

^[3][3] ${\displaystyle (x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]}$ ${\displaystyle g\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle K\in C(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}}$ ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$

$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$

K^[3] ${\displaystyle R}$

Teoremas de unicidad y existencia de las ecuaciones de Fredhom-Volterra

Como se definió anteriormente, una VFIE tiene la forma:

$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$

^[3][3] ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$

KK^[3][3] ${\displaystyle K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )}$

Teorema  :  si el VFIE lineal dado por: con satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle (t,x)\in I\times \Omega }$

• ${\displaystyle g\in C(I\times \Omega )}$, y
• ${\displaystyle K\in C(D\times \Omega ^{2})}$dónde y ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}=\Omega \times \Omega }$

Entonces el VFIE tiene una solución única dada por donde se llama Núcleo Resolvente y está dada por el límite de la serie de Neumann para el Núcleo y resuelve las ecuaciones resolutivas: ${\displaystyle u\in C(I\times \Omega )}$ ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle R\in C(D\times \Omega ^{2})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv}$

Ecuaciones especiales de Volterra

Un tipo especial de ecuación de Volterra que se utiliza en diversas aplicaciones se define a continuación: ^[3]

$${\displaystyle y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)}$$

g(t) ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (V_{\alpha }t)}$

$${\displaystyle (V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds}$$

^[3] ${\displaystyle (0\leq \alpha <1)}$

Conversión de IVP a ecuaciones integrales

En la siguiente sección, damos un ejemplo de cómo convertir un problema de valor inicial (IVP) en una ecuación integral. Existen múltiples motivaciones para hacerlo, entre ellas que las ecuaciones integrales a menudo pueden resolverse más fácilmente y son más adecuadas para demostrar teoremas de existencia y unicidad. ^[7]

Wazwaz proporcionó el siguiente ejemplo en las páginas 1 y 2 de su libro. ^[1] Examinamos el PIV dado por la ecuación:

$${\displaystyle u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0}$$

$${\displaystyle u(0)=1}$$

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos:

$${\displaystyle \int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

y por el teorema fundamental del cálculo, obtenemos:

$${\displaystyle u(x)-u(0)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

Reordenando la ecuación anterior, obtenemos la ecuación integral:

$${\displaystyle u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

que es una ecuación integral de Volterra de la forma:

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

donde K(x,t) se llama núcleo y es igual a 2t , y f(x)=1 . ^[1]

Solución de series de potencias para ecuaciones integrales.

En muchos casos, si el Kernel de la ecuación integral es de la forma K ( xt ) y existe la transformada de Mellin de K ( t ) , podemos encontrar la solución de la ecuación integral.

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)\,f(t)\,dt}$

en forma de serie de potencias

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}}$

dónde

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }K(t)\,t^{n}\,dt}$

son la transformada Z de la función g ( s ) , y M ( n + 1) es la transformada de Mellin del Kernel.

solución numérica

Vale la pena señalar que las ecuaciones integrales a menudo no tienen una solución analítica y deben resolverse numéricamente. Un ejemplo de esto es evaluar la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE) o la ecuación integral del campo magnético (MFIE) sobre un objeto de forma arbitraria en un problema de dispersión electromagnética.

Un método para resolver numéricamente requiere discretizar variables y reemplazar la integral por una regla de cuadratura.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.}$

Entonces tenemos un sistema con n ecuaciones y n variables. Resolviéndolo obtenemos el valor de las n variables .

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).}$

Ecuaciones integrales como generalización de ecuaciones de valores propios.

Ciertas ecuaciones integrales lineales homogéneas pueden verse como el límite continuo de las ecuaciones de valores propios . Usando notación de índice , una ecuación de valor propio se puede escribir como

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

donde M = [ M _i,j ] es una matriz, v es uno de sus vectores propios y λ es el valor propio asociado.

Tomando el límite continuo, es decir, reemplazando los índices discretos i y j con variables continuas x e y , se obtiene

${\displaystyle \int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),}$

donde la suma sobre j ha sido reemplazada por una integral sobre y y la matriz M y el vector v han sido reemplazados por el núcleo K ( x , y ) y la función propia φ ( y ) . (Los límites de la integral son fijos, de manera análoga a los límites de la suma sobre j .) Esto da una ecuación de Fredholm lineal homogénea del segundo tipo.

En general, K ( x , y ) puede ser una distribución , en lugar de una función en sentido estricto. Si la distribución K tiene apoyo sólo en el punto x = y , entonces la ecuación integral se reduce a una ecuación de función propia diferencial .

En general, las ecuaciones integrales de Volterra y Fredholm pueden surgir de una única ecuación diferencial, dependiendo de qué tipo de condiciones se apliquen en el límite del dominio de su solución.

Ecuaciones integrales de Wiener-Hopf

$${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .}$$

Ecuaciones de Hammerstein

Una ecuación de Hammerstein es una ecuación integral de Volterra no lineal de primer tipo de la forma: ^[3]

$${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.}$$

^[3]

$${\displaystyle G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$

$${\displaystyle g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.}$$

^[3]

$${\displaystyle ({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$

K^[3][3] ${\displaystyle G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)}$$

G^[3]

$${\displaystyle G(s,y)=y+H(s,y)}$$

^[3]

$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds}$$

^[3]

Teorema  :  suponga que la ecuación semilineal de Hammerstein tiene una solución única y es una función continua de Lipschitz. Entonces, la solución de esta ecuación se puede escribir en la forma: donde denota la solución única de la parte lineal de la ecuación anterior y viene dada por: con denota el núcleo resolutivo. ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds}$ ${\displaystyle y_{l}(t)}$ ${\displaystyle y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$ ${\displaystyle R(t,s)}$

También podemos escribir la ecuación de Hammerstein usando un operador diferente llamado operador de Niemytzki, u operador de sustitución, definido de la siguiente manera: ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

$${\displaystyle ({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))}$$

^[3]

Aplicaciones

Las ecuaciones integrales son importantes en muchas aplicaciones. Los problemas en los que se encuentran ecuaciones integrales incluyen la transferencia radiativa y la oscilación de una cuerda, membrana o eje. Los problemas de oscilación también se pueden resolver como ecuaciones diferenciales .

• Ciencia actuarial (teoría de la ruina ^[8] )
• Electromagnetismo computacional
  • Método del elemento límite
• Problemas inversos
  • Ecuación de Marchenko ( transformación de dispersión inversa )
• Precios de opciones bajo difusión de salto ^[9]
• Transferencia radiativa
• Teoría de la renovación ^[10]
• Viscoelasticidad
• Mecánica de fluidos ^{[11] [12]}

Ver también

• Ecuación diferencial
• Ecuación integro-diferencial
• teoría de la ruina
• Ecuación integral de Volterra

Bibliografía

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• Burton, TA Volterra Ecuaciones integrales y diferenciales. Elsevier, 2005. ^[14]
• Capítulo 7 It Mod 14-02-05 - Facultad de Ingeniería Ira A. Fulton. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf. ^[15]
• Corduneanu, C. Ecuaciones y aplicaciones integrales. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2008. ^[16]
• Hackbusch, Wolfgang. Teoría de Ecuaciones Integrales y Tratamiento Numérico. Birkhäuser, 1995. ^[7]
• Hochstadt, Harry. Ecuaciones integrales. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989. ^[17]
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• Pipkin, AC Un curso sobre ecuaciones integrales. Springer-Verlag, 1991. ^[21]
• Polëiìanin AD y Alexander V. Manzhirov. Manual de ecuaciones integrales. Chapman y Hall/CRC, 2008. ^[22]
• Wazwaz, Abdul-Majid. Un primer curso de ecuaciones integrales. Científico mundial, 2015. ^[1]

Referencias

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3. Brunner, Hermann (2004). "Métodos de colocación para ecuaciones diferenciales funcionales integrales y relacionadas de Volterra ". Prensa de la Universidad de Cambridge.
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7. Hackbusch, Wolfgang (1995). Teoría de Ecuaciones Integrales y Tratamiento Numérico . Birkhauser.
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9. Sachs, EW; Strauss, Alaska (1 de noviembre de 2008). "Solución eficiente de una ecuación integrodiferencial parcial en finanzas". Matemática Numérica Aplicada . 58 (11): 1687-1703. doi :10.1016/j.apnum.2007.11.002. ISSN  0168-9274.
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20. Jerri, Abdul J. Introducción a las ecuaciones integrales con aplicaciones. ISBN 0-9673301-1-4. OCLC  852490911.
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Otras lecturas

• Kendall E. Atkinson La solución numérica de ecuaciones integrales de segundo tipo . Monografías de Cambridge sobre matemáticas aplicadas y computacionales, 1997.
• George Arfken y Hans Weber. Métodos matemáticos para físicos . Harcourt/Prensa académica, 2000.
• Harry Bateman (1910) Historia y estado actual de la teoría de ecuaciones integrales, Informe de la Asociación Británica .
• Andrei D. Polyanin y Alexander V. Manzhirov Manual de ecuaciones integrales . Prensa CRC, Boca Ratón, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 . 
• ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno Biblioteca Matemática de Cambridge.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problemas y ejercicios de ecuaciones integrales , Mir Publishers, Moscú, 1971
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Capítulo 19. Ecuaciones integrales y teoría inversa". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

enlaces externos

• Ecuaciones integrales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones integrales: índice en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Ecuación integral", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones integrales ( MIT OpenCourseWare )