Duración (finanzas)

Plazo ponderado de los flujos de efectivo futuros

En finanzas , la duración de un activo financiero que consta de flujos de efectivo fijos , como un bono , es el promedio ponderado de los tiempos hasta que se reciben esos flujos de efectivo fijos. Cuando el precio de un activo se considera en función del rendimiento , la duración también mide la sensibilidad del precio al rendimiento, la tasa de cambio del precio con respecto al rendimiento o el cambio porcentual en el precio para un cambio paralelo en los rendimientos. ^{[1] [2] [3]}

El doble uso de la palabra "duración", como tiempo promedio ponderado hasta el reembolso y como cambio porcentual en el precio, a menudo causa confusión. En sentido estricto, duración Macaulay es el nombre que se le da al tiempo promedio ponderado hasta que se reciben los flujos de efectivo y se mide en años. Duración modificada es el nombre que se le da a la sensibilidad del precio. Es (-1) veces la tasa de cambio en el precio de un bono en función del cambio en su rendimiento. ^[4]

Ambas medidas se denominan "duración" y tienen el mismo (o casi el mismo) valor numérico, pero es importante tener en cuenta las distinciones conceptuales entre ellas. ^[5] La duración de Macaulay es una medida de tiempo con unidades en años y realmente tiene sentido sólo para un instrumento con flujos de efectivo fijos. Para un bono estándar, la duración de Macaulay estará entre 0 y el vencimiento del bono. Es igual al vencimiento si y sólo si el bono es un bono cupón cero .

La duración modificada, por otro lado, es una derivada matemática (tasa de cambio) del precio y mide la tasa porcentual de cambio del precio con respecto al rendimiento. (La sensibilidad al precio con respecto a los rendimientos también se puede medir en términos absolutos ( dólar o euro , etc.), y la sensibilidad absoluta a menudo se denomina duración del dólar (euro), DV01, BPV o riesgo delta (δ o Δ). ). El concepto de duración modificada puede aplicarse a instrumentos sensibles a las tasas de interés con flujos de efectivo no fijos y, por lo tanto, puede aplicarse a una gama más amplia de instrumentos que la duración de Macaulay. La duración modificada se utiliza con más frecuencia que la duración de Macaulay en las finanzas modernas. ^[6]

Para el uso diario, la igualdad (o casi igualdad) de los valores de Macaulay y la duración modificada pueden ser una ayuda útil para la intuición. ^[7] Por ejemplo, un bono con cupón estándar a diez años tendrá una duración Macaulay de algo, pero no dramáticamente, menos de 10 años y de esto, podemos inferir que la duración modificada (sensibilidad al precio) también será algo, pero no dramáticamente, menor. del 10%. De manera similar, un bono con cupón a dos años tendrá una duración Macaulay algo inferior a 2 años y una duración modificada algo inferior al 2%. ^[7]

Duración de Macaulay

La duración de Macaulay , llamada así por Frederick Macaulay quien introdujo el concepto, es el vencimiento promedio ponderado de los flujos de efectivo , en el que el momento de recepción de cada pago se pondera por el valor presente de ese pago. El denominador es la suma de los pesos, que es precisamente el precio del bono. ^[8] Considere algún conjunto de flujos de efectivo fijos. El valor presente de estos flujos de efectivo es:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}}$

La duración de Macaulay se define como: ^{[1] [2] [3] [9]}

(1)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de efectivo,
• ${\displaystyle PV_{i}}$es el valor presente del enésimo pago en efectivo de un activo , ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se reciba el décimo pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor presente de todos los pagos futuros en efectivo del activo.

En la segunda expresión, el término fraccionario es la relación entre el flujo de caja y el PV total. Estos términos suman 1,0 y sirven como ponderaciones para un promedio ponderado. Por lo tanto, la expresión general es un promedio ponderado del tiempo hasta los pagos del flujo de efectivo, siendo el peso la proporción del valor presente del activo debido al flujo de efectivo . ${\displaystyle PV_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {PV_{i}}{V}}}$ ${\displaystyle i}$

Para un conjunto de flujos de efectivo fijos totalmente positivos, el promedio ponderado estará entre 0 (el tiempo mínimo), o más precisamente (el tiempo hasta el primer pago) y el momento del flujo de efectivo final. La duración de Macaulay será igual al vencimiento final si y sólo si hay un solo pago al vencimiento. En símbolos, si los flujos de efectivo son, en orden, , entonces: ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle (t_{1},...,t_{n})}$

${\displaystyle t_{1}\leq {\text{Macaulay duration}}\leq t_{n},}$

siendo las desigualdades estrictas a menos que tenga un único flujo de caja. En términos de bonos estándar (para los cuales los flujos de efectivo son fijos y positivos), esto significa que la duración de Macaulay será igual al vencimiento del bono sólo para un bono de cupón cero.

La duración de Macaulay tiene la interpretación esquemática que se muestra en la figura 1.

Fig. 1: Duración de Macaulay

Esto representa el bono que se analiza en el ejemplo siguiente: vencimiento a dos años con un cupón del 20 % y un rendimiento compuesto continuamente del 3,9605 %. Los círculos representan el valor actual de los pagos, siendo los pagos de cupones cada vez más pequeños a medida que se alejan en el futuro, y el pago final grande que incluye tanto el pago del cupón como el reembolso final del principal. Si estos círculos se colocaran en una barra de equilibrio, el punto de apoyo (centro de equilibrio) de la barra representaría la distancia promedio ponderada (tiempo hasta el pago), que en este caso es 1,78 años.

Para la mayoría de los cálculos prácticos, la duración de Macaulay se calcula utilizando el rendimiento al vencimiento para calcular : ${\displaystyle PV(i)}$

(2)      ${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}$

(3)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de efectivo,
• ${\displaystyle PV_{i}}$es el valor presente del enésimo pago en efectivo de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle CF_{i}}$es el flujo de efectivo del enésimo pago de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$es el rendimiento al vencimiento (compuesto continuamente) de un activo,
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se reciba el décimo pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor presente de todos los pagos en efectivo desde el activo hasta su vencimiento.

Macaulay dio dos medidas alternativas:

• La expresión (1) es la duración de Fisher-Weil que utiliza precios de bonos cupón cero como factores de descuento, y
• Expresión (3) que utiliza el rendimiento del bono hasta el vencimiento para calcular los factores de descuento.

La diferencia clave entre las dos duraciones es que la duración de Fisher-Weil permite la posibilidad de una curva de rendimiento inclinada, mientras que la segunda forma se basa en un valor constante del rendimiento , que no varía según el plazo de pago. ^[10] Con el uso de computadoras, se pueden calcular ambas formas, pero la expresión (3), suponiendo un rendimiento constante, se usa más ampliamente debido a la aplicación a la duración modificada. ^[11] ${\displaystyle y}$

Duración versus vida promedio ponderada

Las similitudes en los valores y definiciones de la duración de Macaulay versus la vida promedio ponderada pueden llevar a confundir el propósito y el cálculo de ambos. ^[12] Por ejemplo, un bono de tasa fija a 5 años con interés únicamente tendría una vida promedio ponderada de 5 y una duración Macaulay que debería ser muy cercana. Las hipotecas se comportan de manera similar. Las diferencias entre los dos son las siguientes:

1. La duración de Macaulay solo mide los flujos de efectivo de período fijo, la vida promedio ponderada tiene en cuenta todos los flujos de efectivo principales, ya sean fijos o flotantes. Por lo tanto, para las hipotecas ARM híbridas de período fijo, a efectos de modelado, todo el período fijo finaliza en la fecha del último pago fijo o el mes anterior al reinicio. ^[13]
2. La duración de Macaulay descuenta todos los flujos de efectivo al costo de capital correspondiente. Vida Promedio Ponderado no descuenta. ^[14]
3. La duración de Macaulay utiliza tanto el capital como los intereses al ponderar los flujos de efectivo. La vida promedio ponderada solo utiliza capital. ^[13]

Duración modificada

A diferencia de la duración de Macaulay, la duración modificada (a veces abreviada MD) es una medida de sensibilidad al precio, definida como la derivada porcentual del precio con respecto al rendimiento (la derivada logarítmica del precio del bono con respecto al rendimiento). ^[15] La duración modificada se aplica cuando un bono u otro activo se considera en función del rendimiento. En este caso se puede medir la derivada logarítmica con respecto al rendimiento: ^[16]

${\displaystyle ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}}$

Cuando el rendimiento se expresa continuamente compuesto, la duración de Macaulay y la duración modificada son numéricamente iguales. ^[17] Para ver esto, si tomamos la derivada del precio o valor presente, expresión (2), con respecto al rendimiento continuamente compuesto vemos que: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,}$

En otras palabras, para rendimientos expresados ​​continuamente compuestos,

${\displaystyle ModD=MacD}$. ^[1]

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de efectivo,
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se reciba el décimo pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor presente de todos los pagos en efectivo del activo.

Compuesto periódicamente

En los mercados financieros, los rendimientos generalmente se expresan periódicamente (por ejemplo, anualmente o semestralmente) en lugar de capitalizarse continuamente. ^[18] Entonces la expresión (2) se convierte en:

${\displaystyle V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

${\displaystyle MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

Para encontrar la duración modificada, cuando tomamos la derivada del valor con respecto al rendimiento periódicamente compuesto encontramos ^[19] ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}}$

Reorganizar (dividir ambos lados por -V ) da:

${\displaystyle {\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD}$

cuál es la conocida relación entre duración modificada y duración Macaulay:

${\displaystyle ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de efectivo,
• ${\displaystyle k}$es la frecuencia de capitalización por año (1 para anual, 2 para semestral, 12 para mensual, 52 para semanal, etc.),
• ${\displaystyle CF_{i}}$es el flujo de efectivo del enésimo pago de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se reciba el décimo pago (por ejemplo, un semestre de dos años estaría representado por un índice de 0,5, 1,0, 1,5 y 2,0), ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• ${\displaystyle y_{k}}$es el rendimiento al vencimiento de un activo, compuesto periódicamente
• ${\displaystyle V}$es el valor presente de todos los pagos en efectivo del activo.

Esto da la conocida relación entre la duración de Macaulay y la duración modificada citada anteriormente. Cabe recordar que, aunque la duración de Macaulay y la duración modificada están estrechamente relacionadas, son conceptualmente distintas. La duración de Macaulay es un tiempo promedio ponderado hasta el reembolso (medido en unidades de tiempo, como años), mientras que la duración modificada es una medida de sensibilidad al precio cuando el precio se trata como una función del rendimiento, el cambio porcentual en el precio con respecto al rendimiento.

Unidades

La duración de Macaulay se mide en años.

La duración modificada se mide como el cambio porcentual en el precio por unidad ( punto porcentual ) de cambio en el rendimiento por año (por ejemplo, el rendimiento va del 8% anual (y = 0,08) al 9% anual (y = 0,09)). Esto le dará a la duración modificada un valor numérico cercano a la duración de Macaulay (e igual cuando las tasas se capitalizan continuamente).

Formalmente, la duración modificada es una semielasticidad , el cambio porcentual en el precio por un cambio unitario en el rendimiento, en lugar de una elasticidad , que es un cambio porcentual en la producción por un cambio porcentual en el insumo. La duración modificada es una tasa de cambio, el cambio porcentual en el precio por cambio en el rendimiento.

Flujos de efectivo no fijos

La duración modificada se puede extender a instrumentos con flujos de efectivo no fijos, mientras que la duración de Macaulay se aplica solo a instrumentos con flujos de efectivo fijos. La duración modificada se define como la derivada logarítmica del precio con respecto al rendimiento, y dicha definición se aplicará a los instrumentos que dependen de los rendimientos, sean o no fijos los flujos de efectivo.

Cambios de rendimiento finitos

La duración modificada se define anteriormente como una derivada (ya que el término se relaciona con el cálculo) y, por lo tanto, se basa en cambios infinitesimales. La duración modificada también es útil como medida de la sensibilidad del precio de mercado de un bono a movimientos finitos de las tasas de interés (es decir, el rendimiento). Para un pequeño cambio en el rendimiento, , ${\displaystyle \Delta y}$

${\displaystyle ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y}$

Por lo tanto, la duración modificada es aproximadamente igual al cambio porcentual en el precio para un cambio finito dado en el rendimiento. Por lo tanto, un bono a 15 años con una duración Macaulay de 7 años tendría una duración modificada de aproximadamente 7 años y su valor caería aproximadamente un 7% si la tasa de interés aumentara en un punto porcentual (digamos del 7% al 8%). ^[20]

Duración de Fisher-Weil

La duración de Fisher-Weil es un refinamiento de la duración de Macaulay que tiene en cuenta la estructura temporal de las tasas de interés. La duración de Fisher-Weil calcula los valores presentes de los flujos de efectivo relevantes (más estrictamente) utilizando el rendimiento del cupón cero para cada vencimiento respectivo. ^[21]

Duración de la tasa clave

Las duraciones de las tasas clave (también llamadas DV01 parciales o duraciones parciales) son una extensión natural de la duración total modificada para medir la sensibilidad a los cambios de diferentes partes de la curva de rendimiento. Las duraciones de las tasas clave podrían definirse, por ejemplo, con respecto a las tasas cupón cero con vencimiento '1M', '3M', '6M', '1Y', '2Y', '3Y', '5Y', '7Y'. , '10A', '15A', '20A', '25A', '30A'. Thomas Ho (1992) ^[22] introdujo el término duración del tipo clave. Reitano cubrió modelos de curvas de rendimiento multifactoriales ya en 1991 ^[23] y volvió a abordar el tema en una revisión reciente. ^[24]

Las duraciones de las tasas clave requieren que valoremos un instrumento a partir de una curva de rendimiento y requieren construir una curva de rendimiento. La metodología original de Ho se basaba en valorar instrumentos a partir de una curva de rendimiento cero o al contado y utilizaba interpolación lineal entre "tipos clave", pero la idea es aplicable a curvas de rendimiento basadas en tipos a plazo, tipos a la par, etc. Surgen muchos problemas técnicos para las duraciones de las tasas clave (DV01 parciales) que no surgen para la duración total modificada estándar debido a la dependencia de las duraciones de las tasas clave del tipo específico de curva de rendimiento utilizada para valorar los instrumentos (ver Coleman, 2011 ^{[ 3]} ).

Fórmulas de bonos

Para un bono estándar con pagos fijos semestrales, la fórmula cerrada de duración del bono es: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)}$

• FV = valor nominal
• C = pago de cupón por período (semestral)
• i = tasa de descuento por período (semestral)
• a = fracción de un período restante hasta el próximo pago del cupón
• m = número de períodos de cupón completos hasta el vencimiento
• P = precio del bono (valor actual de los flujos de efectivo descontados con la tasa i )

Para un bono con frecuencia de cupón pero un número entero de períodos (de modo que no hay un período de pago fraccionado), la fórmula se simplifica a: ^[25] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k}$

dónde

• y = Rendimiento (por año, en porcentaje),
• c = Cupón (por año, en forma decimal),
• m = Número de períodos del cupón.

Ejemplo 1

Considere un bono a dos años con un valor nominal de $100, un cupón semestral del 20% y un rendimiento compuesto semestral del 4%. El PV total será:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}}$

${\displaystyle =9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462}$

La duración de Macaulay es entonces

${\displaystyle {\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}}$.

La fórmula simple anterior da (y/k =.04/2=.02, c/k = 20/2 = 10):

${\displaystyle {\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}}$

La duración modificada, medida como cambio porcentual en el precio por cambio de un punto porcentual en el rendimiento, es:

${\displaystyle {\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742}$(% de cambio en el precio por cada cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

El DV01, medido como el cambio en dólares del precio de un bono nominal de 100 dólares por un cambio de un punto porcentual en el rendimiento, es

${\displaystyle {\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27}$($ por cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

donde la división por 100 se debe a que la duración modificada es el cambio porcentual.

Ejemplo 2

Considere un bono con un valor nominal de $1000, una tasa de cupón del 5% y un rendimiento anual del 6,5%, con vencimiento en 5 años. ^[26] Los pasos para calcular la duración son los siguientes:

1. Estima el valor del bono. Los cupones serán de $50 en los años 1, 2, 3 y 4. Luego, en el año 5, el bono pagará cupón y principal, por un total de $1050. Descontando al valor presente al 6,5%, el valor del bono es $937,66. El detalle es el siguiente:

Año 1: $50 / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Año 2: $50 / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Año 3: $50 / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Año 4: $50 / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Año 5: $1050 / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Multiplique el momento en que se recibe cada flujo de efectivo por su valor presente.

Año 1: 1 * $46,95 = 46,95

Año 2: 2 * $44,08 = 88,17

Año 3: 3 * $41,39 = 124,18

Año 4: 4 * $38,87 = 155,46

Año 5: 5 * 766,37 = 3831,87

TOTAL: 4246,63

3. Compare el total del paso 2 con el valor del bono (paso 1)

Duración de Macaulay: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Duración del dinero

Elduración del dinero , ovalor en puntos básicos o BloombergRiesgo ^{[ cita requerida ]}, también llamadoduración en dólares oDV01 en Estados Unidos, se define como negativo de la derivada del valor respecto del rendimiento:

${\displaystyle D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.}$^{[ cita necesaria ]}

de modo que sea el producto de la duración modificada y el precio (valor):

${\displaystyle D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100}$($ por cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

o

${\displaystyle D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000}$($ por cambio de 1 punto básico en el rendimiento)

El DV01 es análogo al delta en la fijación de precios de derivados (uno de los "griegos" ): es la relación entre un cambio de precio en la producción (dólares) y un cambio unitario en los insumos (un punto básico de rendimiento). La duración en dólares o DV01 es el cambio de precio en dólares, no en porcentaje. Da la variación en dólares del valor de un bono por unidad de cambio en el rendimiento. A menudo se mide por 1 punto básico: DV01 es la abreviatura de "valor en dólares de un 01" (o 1 punto básico). También se utiliza el nombre BPV ( valor en puntos básicos ) o "Riesgo" de Bloomberg, que a menudo se aplica al cambio del dólar por un valor nominal de 100 dólares por un cambio de 100 puntos básicos en los rendimientos, dando las mismas unidades que la duración. A veces se utiliza PV01 (valor actual de un 01), aunque PV01 se refiere con mayor precisión al valor de una anualidad de un dólar o un punto básico. (Para un bono a la par y una curva de rendimiento plana , el DV01, derivado del precio frente al rendimiento, y el PV01, valor de una anualidad de un dólar, en realidad tendrán el mismo valor. ^{[ cita necesaria ]} ) DV01 o duración en dólares se puede utilizar para instrumentos con valor inicial cero, como los swaps de tasas de interés , donde los cambios porcentuales y la duración modificada son menos útiles.

Aplicación al valor en riesgo (VaR)

La duración en dólares se utiliza comúnmente para el cálculo del valor en riesgo (VaR). Para ilustrar aplicaciones a la gestión de riesgos de cartera, considere una cartera de valores que dependen de las tasas de interés como factores de riesgo, y supongamos que ${\displaystyle D_{\$}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

${\displaystyle V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}$

denota el valor de dicha cartera. Entonces el vector de exposición tiene componentes ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})}$

${\displaystyle \omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.}$

En consecuencia, el cambio en el valor de la cartera se puede aproximar como

${\displaystyle \Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),}$

es decir, un componente que sea lineal en las variaciones de la tasa de interés más un término de error que sea al menos cuadrático. Esta fórmula se puede utilizar para calcular el VaR de la cartera ignorando los términos de orden superior. Normalmente los términos cúbicos o superiores se truncan. Los términos cuadráticos, cuando se incluyen, se pueden expresar en términos de convexidad de bonos (multivariada). Se pueden hacer suposiciones sobre la distribución conjunta de las tasas de interés y luego calcular el VaR mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos especiales (por ejemplo, distribución gaussiana suponiendo una aproximación lineal), incluso analíticamente. La fórmula también se puede utilizar para calcular el DV01 de la cartera (ver más abajo) y se puede generalizar para incluir factores de riesgo más allá de las tasas de interés.

Riesgo – duración como sensibilidad a la tasa de interés

El uso principal de la duración (duración modificada) es medir la sensibilidad o exposición a las tasas de interés. Pensar en el riesgo en términos de tasas de interés o rendimientos es muy útil porque ayuda a normalizar instrumentos que de otro modo serían dispares. Consideremos, por ejemplo, los siguientes cuatro instrumentos, cada uno con un vencimiento final de 10 años:

Los cuatro tienen un vencimiento a 10 años, pero la sensibilidad a las tasas de interés, y por ende al riesgo, será diferente: el cupón cero tiene la sensibilidad más alta y la anualidad la más baja. ^{[ cita necesaria ]}

Consideremos primero una inversión de 100 dólares en cada uno, lo que tiene sentido para los tres bonos (el bono con cupón, la anualidad, el bono con cupón cero; no tiene sentido para el swap de tipos de interés para el que no hay inversión inicial). La duración modificada es una medida útil para comparar la sensibilidad a las tasas de interés entre los tres. El bono cupón cero tendrá la mayor sensibilidad, variando a una tasa del 9,76% por cada 100 puntos básicos de cambio en el rendimiento. Esto significa que si los rendimientos suben del 5% al ​​5,01% (un aumento de 1 pb), el precio debería caer aproximadamente un 0,0976% o un cambio en el precio de 61,0271 dólares por 100 dólares nocionales a aproximadamente 60,968 dólares. Los 100 dólares invertidos originalmente se reducirán a aproximadamente 99,90 dólares. La anualidad tiene la sensibilidad más baja, aproximadamente la mitad que la del bono cupón cero, con una duración modificada del 4,72%.

Alternativamente, podríamos considerar $100 nocionales de cada uno de los instrumentos. En este caso, el BPV o DV01 (valor en dólares de un 01 o duración en dólares) es la medida más natural. El BPV en la tabla es el cambio en dólares en el precio de $100 nocionales para un cambio de 100 pb en los rendimientos. El BPV tendrá sentido para el swap de tipos de interés (para el que no se define la duración modificada) así como para los tres bonos.

La duración modificada mide el tamaño de la sensibilidad a la tasa de interés. A veces podemos engañarnos al pensar que mide a qué parte de la curva de rendimiento es sensible el instrumento. Después de todo, la duración modificada (% de cambio en el precio) es casi la misma cifra que la duración de Macaulay (una especie de promedio ponderado de años hasta el vencimiento). Por ejemplo, la anualidad anterior tiene una duración Macaulay de 4,8 años y podríamos pensar que es sensible al rendimiento a 5 años. Pero tiene flujos de efectivo a 10 años y, por lo tanto, será sensible a los rendimientos a 10 años. Si queremos medir la sensibilidad a partes de la curva de rendimiento, debemos considerar las duraciones de las tasas clave.

Para los bonos con flujos de efectivo fijos, un cambio de precio puede provenir de dos fuentes:

1. El paso del tiempo (convergencia hacia la par). Por supuesto, esto es totalmente predecible y, por tanto, no supone ningún riesgo.
2. Un cambio en el rendimiento. Esto puede deberse a un cambio en el rendimiento de referencia y/o a un cambio en el diferencial de rendimiento.

La relación rendimiento-precio es inversa y la duración modificada proporciona una medida muy útil de la sensibilidad del precio a los rendimientos. Como primera derivada proporciona una aproximación lineal. Para cambios grandes en el rendimiento, se puede agregar convexidad para proporcionar una aproximación cuadrática o de segundo orden. Alternativamente, y a menudo más útil, la convexidad se puede utilizar para medir cómo cambia la duración modificada a medida que cambian los rendimientos. Medidas de riesgo similares (primer y segundo orden) utilizadas en los mercados de opciones son delta y gamma .

La duración modificada y el DV01 como medidas de sensibilidad a las tasas de interés también son útiles porque pueden aplicarse a instrumentos y valores con flujos de efectivo variables o contingentes, como las opciones.

Opciones integradas y duración efectiva

Para los bonos que tienen opciones incorporadas , como los bonos putable y rescatables, la duración modificada no aproximará correctamente el movimiento del precio para un cambio en el rendimiento al vencimiento . ^{[ cita necesaria ]}

Considere un bono con una opción de venta incorporada. Por ejemplo, un bono de 1.000 dólares que el tenedor puede canjear a la par en cualquier momento antes del vencimiento del bono (es decir, una opción de venta estadounidense). No importa cuán altas sean las tasas de interés, el precio del bono nunca bajará de $1,000 (ignorando el riesgo de contraparte ). La sensibilidad del precio de este bono a los cambios en las tasas de interés es diferente de la de un bono sin opción de venta con flujos de efectivo idénticos.

Para fijar el precio de dichos bonos, se debe utilizar el precio de opciones para determinar el valor del bono, y luego se puede calcular su delta (y por tanto su lambda), que es la duración. La duración efectiva es una aproximación discreta a esta última y requerirá un modelo de valoración de opciones .

${\displaystyle {\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}}$

donde Δ  y es la cantidad que cambia el rendimiento, y y son los valores que tomará el bono si el rendimiento cae en y o aumenta en y , respectivamente. (Un "desplazamiento paralelo" ; tenga en cuenta que este valor puede variar según el valor utilizado para Δ  y ). ${\displaystyle V_{-\Delta y}}$ ${\displaystyle V_{+\Delta y}}$

Estos valores generalmente se calculan utilizando un modelo basado en árbol, construido para toda la curva de rendimiento (a diferencia de un único rendimiento al vencimiento) y, por lo tanto, captura el comportamiento de ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés. ; ver Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tipos de interés .

Duración del diferencial

La duración del diferencial es la sensibilidad del precio de mercado de un bono a un cambio en el diferencial ajustado por opciones (OAS). Por tanto, el índice, o curva de rendimiento subyacente, permanece sin cambios. Los activos de tasa flotante que están referenciados a un índice (como el LIBOR a 1 o 3 meses) y se reinician periódicamente tendrán una duración efectiva cercana a cero, pero una duración de diferencial comparable a la de un bono de tasa fija por lo demás idéntico. ^{[ cita necesaria ]}

Duración promedio

La sensibilidad de una cartera de bonos, como un fondo mutuo de bonos , a los cambios en las tasas de interés también puede ser importante. A menudo se informa la duración media de los bonos de la cartera. La duración de una cartera es igual al vencimiento promedio ponderado de todos los flujos de efectivo de la cartera. Si cada bono tiene el mismo rendimiento al vencimiento, esto equivale al promedio ponderado de las duraciones de los bonos de la cartera, con ponderaciones proporcionales a los precios de los bonos. ^[1] De lo contrario, el promedio ponderado de las duraciones del bono es solo una buena aproximación, pero aún puede usarse para inferir cómo cambiaría el valor de la cartera en respuesta a cambios en las tasas de interés. ^[27]

Convexidad

La duración es una medida lineal de cómo cambia el precio de un bono en respuesta a cambios en las tasas de interés. A medida que cambian las tasas de interés, el precio no cambia linealmente, sino que es una función convexa de las tasas de interés. La convexidad es una medida de la curvatura de cómo cambia el precio de un bono a medida que cambia la tasa de interés. En concreto, la duración puede formularse como la primera derivada de la función de precio del bono con respecto al tipo de interés en cuestión, y la convexidad como la segunda derivada. ^{[ cita necesaria ]}

La convexidad también da una idea de la distribución de los flujos de caja futuros. (Así como la duración proporciona el término medio descontado, la convexidad se puede utilizar para calcular la desviación estándar descontada, por ejemplo, del rendimiento).

Tenga en cuenta que la convexidad puede ser positiva o negativa. Un bono con convexidad positiva no tendrá ninguna característica de compra (es decir, el emisor debe rescatar el bono al vencimiento), lo que significa que a medida que las tasas bajen, tanto su duración como su precio aumentarán.

Por otro lado, se considera que un bono con características de compra (es decir, donde el emisor puede canjear el bono anticipadamente) tiene convexidad negativa a medida que las tasas se acercan al ejercicio de la opción, es decir, su duración disminuirá a medida que las tasas bajen y, por lo tanto, su precio. aumentará menos rápidamente. Esto se debe a que el emisor puede canjear el bono antiguo con un cupón alto y volver a emitir un bono nuevo a una tasa más baja, brindando así al emisor una valiosa opción. De manera similar a lo anterior, en estos casos, puede ser más correcto calcular una convexidad efectiva .

Los valores respaldados por hipotecas (pagos anticipados del principal de las hipotecas transferidos) con hipotecas de tasa fija a 15 o 30 años al estilo estadounidense como garantía son ejemplos de bonos rescatables.

relación sherman

El "índice Sherman" es el rendimiento ofrecido por unidad de duración del bono, y lleva el nombre del director de inversiones de DoubleLine Capital , Jeffrey Sherman. ^[28] Se le ha denominado el "indicador más aterrador del mercado de bonos" y alcanzó un mínimo histórico de 0,1968 para el índice Bloomberg Barclays de bonos corporativos estadounidenses el 31 de diciembre de 2020. ^[29] El ratio es simplemente el rendimiento ofrecido (como un porcentaje), dividido por la duración del bono (en años). ^[30]

Ver también

• Convexidad de enlace
• Valoración de bonos
• Convención de recuento de días
• Brecha de duración
• Atribución de renta fija § Primeros principios versus atribución perturbacional
• Inmunización (finanzas)
• Lista de temas financieros
• Duración del stock

Notas

Referencias

1. Hull, John C. (1993), Opciones, futuros y otros valores derivados (segunda ed.), Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc., págs.
2. Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011), Principios de finanzas corporativas (décima ed.), Nueva York, NY: McGraw-Hill Irwin, págs. 50–53
3. Coleman, Thomas (15 de enero de 2011). "Una guía para las transformaciones de riesgo de duración, DV01 y curva de rendimiento". SSRN  1733227.
4. "Duración de Macaulay, duración del dinero y duración modificada". cfastudiguide.com . Consultado el 10 de diciembre de 2021 .
5. Cuando los rendimientos se combinan continuamente, la duración de Macaulay y la duración modificada serán numéricamente iguales. Cuando los rendimientos se componen periódicamente, Macaulay y la duración modificada diferirán ligeramente, y existe una relación simple entre los dos.
6. Hilliard, Jimmy E. (1984). "Cobertura del riesgo de tipos de interés con carteras de futuros bajo efectos de estructura de plazos". La Revista de Finanzas . 39 (5). Wiley : 1547-1569. doi :10.1111/j.1540-6261.1984.tb04924.x. ISSN  0022-1082.
7. Grantier, Bruce J. (1988). "Convexidad y rendimiento de los enlaces: cuanto más curvado, mejor". Revista de analistas financieros . 44 (6). Taylor y Francisco : 79–81. doi :10.2469/faj.v44.n6.79. ISSN  0015-198X.
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21. "Afrontar el riesgo de fluctuaciones de las tasas de interés: retornos para los tenedores de bonos a partir de estrategias ingenuas y óptimas". Lawrence Fisher y Roman L. Weil; Journal of Business, 1971, 44(4), págs. 408-31. JSTOR  2352056
22. Ho, Thomas SY (septiembre de 1992). "Duración de las tasas clave: medidas de los riesgos de las tasas de interés". Revista de Renta Fija . 2 (2): 29–44. doi :10.3905/jfi.1992.408049. S2CID  154576274.
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24. Reitano, Robert R. (2008). Fabozzi, Frank J. (ed.). "Gestión del riesgo de la curva de rendimiento". Manual de finanzas . 3 . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley and Sons: 215.
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28. Chappatta, Brian (9 de enero de 2020). "Este es el indicador más aterrador del mercado de bonos". Opinión de Bloomberg . Archivado desde el original el 2020-02-20 . Consultado el 23 de abril de 2022 .
29. Chappatta, Brian (14 de enero de 2021). "El indicador más aterrador del mercado de bonos es peor que nunca". Opinión de Bloomberg . Archivado desde el original el 10 de marzo de 2021 . Consultado el 23 de abril de 2022 .
30. Sherman, Jeffrey. "La proporción Sherman" (PDF) . Capital de doble línea . Consultado el 15 de febrero de 2021 .

Otras lecturas

• Fabozzi, Frank J. (1999), "Los fundamentos de la duración y la convexidad", Duración, convexidad y otras medidas de riesgo de bonos , Frank J. Fabozzi Series, vol. 58, John Wiley e hijos, ISBN 9781883249632
• Mayle, Jan (1994), Métodos estándar de cálculo de valores: fórmulas de valores de renta fija para medidas analíticas , vol. 2 (1.ª ed.), Asociación de la industria de valores y de los mercados financieros , ISBN 1-882936-01-9. La referencia estándar para las convenciones aplicables a los valores estadounidenses.

• Rojas Arzú, Jorge; Roca, Florencia (diciembre de 2018), Explicación de la gestión de riesgos y los derivados, Amazon Kindle Direct Publishing , págs. 43–44, ISBN 9781791814342

enlaces externos

• Risk Encyclopedia para obtener una buena explicación sobre las múltiples definiciones de duración y sus orígenes.
• Vídeotutorial paso a paso
• Explicación de la duración de Investopedia