Ecuación de Gross-Pitaevskii

La ecuación de Gross-Pitaevskii ( GPE , llamada así en honor a Eugene P. Gross ^[1] y Lev Petrovich Pitaevskii ^[2] ) describe el estado fundamental de un sistema cuántico de bosones idénticos utilizando la aproximación de Hartree-Fock y el modelo de interacción pseudopotencial .

Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es un gas de bosones que se encuentran en el mismo estado cuántico y, por tanto, pueden describirse mediante la misma función de onda . Una partícula cuántica libre se describe mediante una ecuación de Schrödinger de partícula única . La interacción entre partículas en un gas real se tiene en cuenta mediante una pertinente ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos. En la aproximación de Hartree-Fock, la función de onda total del sistema de bosones se toma como producto de funciones de una sola partícula : ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),}$$

longitud de dispersiónpseudopotenciallongitud de onda de De Broglie^[3]sanálisis de onda parcialonda dura) . -potencial de esfera ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ell =0}$

$${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} _{i}^{2}}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),}$$

sfunción delta de Dirac ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$

El método variacional muestra que si la función de onda de una sola partícula satisface la siguiente ecuación de Gross-Pitaevskii

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}+V(\mathbf {r} )+{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),}$$

${\textstyle \int dV\,|\Psi |^{2}=N.}$

GPE es una ecuación modelo para la función de onda de una sola partícula del estado fundamental en un condensado de Bose-Einstein . Es similar en forma a la ecuación de Ginzburg-Landau y a veces se la denomina " ecuación de Schrödinger no lineal ".

La no linealidad de la ecuación de Gross-Pitaevskii tiene su origen en la interacción entre las partículas: al establecer la constante de acoplamiento de interacción en la ecuación de Gross-Pitaevskii en cero (ver la siguiente sección) se recupera la ecuación de Schrödinger de una sola partícula que describe una partícula. dentro de un potencial de captura.

Se dice que la ecuación de Gross-Pitaevskii se limita al régimen de interacción débil. Sin embargo, es posible que tampoco logre reproducir fenómenos interesantes incluso dentro de este régimen. ^{[4] [5]} Para estudiar el BEC más allá de ese límite de interacciones débiles, es necesario implementar la corrección Lee-Huang-Yang (LHY). ^{[6] [7]} Alternativamente, en sistemas 1D se puede utilizar un enfoque exacto, concretamente el modelo de Lieb-Liniger , ^[8] o una ecuación extendida, por ejemplo, la ecuación de Lieb-Liniger Gross-Pitaevskii ^[9] (a veces llamada ecuación modificada ^[10] o ecuación de Schrödinger no lineal generalizada ^[11] ).

Forma de ecuación

La ecuación tiene la forma de la ecuación de Schrödinger con la adición de un término de interacción. La constante de acoplamiento es proporcional a la longitud de dispersión de la onda s de dos bosones que interactúan: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{s}}$

${\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},}$

donde es la constante de Planck reducida y es la masa del bosón. La densidad de energía es ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \Psi (\mathbf {r} )|^{2}+V(\mathbf {r} )|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}+{\frac {1}{2}}g|\Psi (\mathbf {r} )|^{4},}$

donde es la función de onda, o parámetro de orden, y es el potencial externo (por ejemplo, una trampa armónica). La ecuación de Gross-Pitaevskii independiente del tiempo, para un número conservado de partículas, es ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ),}$

¿Dónde está el potencial químico , que se encuentra a partir de la condición de que el número de partículas está relacionado con la función de onda por ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle N=\int |\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r.}$

A partir de la ecuación de Gross-Pitaevskii, independiente del tiempo, podemos encontrar la estructura de un condensado de Bose-Einstein en varios potenciales externos (por ejemplo, una trampa armónica).

La ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo es

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$

A partir de esta ecuación podemos observar la dinámica del condensado de Bose-Einstein. Se utiliza para encontrar los modos colectivos de un gas atrapado.

Soluciones

Dado que la ecuación de Gross-Pitaevskii es una ecuación diferencial parcial no lineal , es difícil encontrar soluciones exactas. Como resultado, las soluciones deben aproximarse mediante innumerables técnicas.

Soluciones exactas

partícula libre

La solución exacta más simple es la solución de partículas libres, con : ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.}$

Esta solución a menudo se denomina solución de Hartree. Aunque satisface la ecuación de Gross-Pitaevskii, deja un vacío en el espectro de energía debido a la interacción:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].}$

Según el teorema de Hugenholtz-Pines, ^[12] un gas de Bose que interactúa no presenta una brecha de energía (en el caso de interacciones repulsivas).

solitón

Se puede formar un solitón unidimensional en un condensado de Bose-Einstein y, dependiendo de si la interacción es atractiva o repulsiva, hay un solitón brillante u oscuro. Ambos solitones son perturbaciones locales en un condensado con una densidad de fondo uniforme.

Si el BEC es repulsivo, entonces una posible solución de la ecuación de Gross-Pitaevskii es ${\displaystyle g>0}$

${\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right),}$

donde es el valor de la función de onda del condensado en y es la longitud de coherencia (también conocida como longitud de curación , ^[3] ver más abajo). Esta solución representa el solitón oscuro, ya que existe un déficit de condensado en un espacio de densidad distinta de cero. El solitón oscuro también es un tipo de defecto topológico , ya que cambia entre valores positivos y negativos a lo largo del origen, correspondiente a un cambio de fase. ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pi }$

Para la solución es ${\displaystyle g<0}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left({\sqrt {2m|\mu |/\hbar ^{2}}}x\right)}},}$

donde está el potencial químico . Esta solución representa el solitón brillante, ya que existe una concentración de condensado en un espacio de densidad cero. ${\displaystyle \mu =g|\psi (0)|^{2}/2}$

Longitud de curación

La longitud de curación proporciona la distancia mínima sobre la que puede curar el parámetro de orden , que describe la rapidez con la que la función de onda del BEC puede adaptarse a los cambios en el potencial. Si la densidad del condensado crece de 0 a n dentro de una distancia ξ, la longitud de curación se puede calcular igualando la

presión cuántica y energía de interacción: ^{[3] [13]}

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=gn\implies \xi =(8\pi na_{s})^{-1/2}}$

La longitud de curación debe ser mucho menor que cualquier escala de longitud en la solución de la función de onda de una sola partícula. La duración de la curación también determina el tamaño de los vórtices que se pueden formar en un superfluido. Es la distancia a lo largo de la cual la función de onda se recupera desde cero en el centro del vórtice hasta el valor en la mayor parte del superfluido (de ahí el nombre de longitud de "curación").

Soluciones variacionales

En sistemas donde una solución analítica exacta puede no ser factible, se puede hacer una aproximación variacional. La idea básica es hacer un ansatz variacional para la función de onda con parámetros libres, conectarlo a la energía libre y minimizar la energía con respecto a los parámetros libres.

Soluciones numéricas

Para resolver GPE se han utilizado varios métodos numéricos, como los métodos de paso dividido de Crank-Nicolson ^[14] y el espectral de Fourier ^{[15] .} También existen diferentes programas Fortran y C para su solución para la interacción de contacto ^{[16] [17]} y la interacción dipolar de largo alcance. ^[18]

Aproximación de Thomas-Fermi

Si el número de partículas en un gas es muy grande, la interacción interatómica se vuelve grande, de modo que el término de energía cinética puede despreciarse en la ecuación de Gross-Pitaevskii. Esto se llama aproximación de Thomas-Fermi y conduce a la función de onda de una sola partícula.

${\displaystyle \psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}.}$

Y el perfil de densidad es

${\displaystyle n(x,t)={\frac {\mu -V(x)}{g}}.}$

En una trampa armónica (donde la energía potencial es cuadrática con respecto al desplazamiento desde el centro), esto da un perfil de densidad comúnmente conocido como perfil de densidad de "parábola invertida". ^[3]

Aproximación de Bogoliubov

El tratamiento de Bogoliubov de la ecuación de Gross-Pitaevskii es un método que encuentra las excitaciones elementales de un condensado de Bose-Einstein. Para ello, la función de onda del condensado se aproxima mediante una suma de la función de onda de equilibrio y una pequeña perturbación : ${\displaystyle \psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}}$ ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+\delta \psi .}$

Luego, esta forma se inserta en la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo y su complejo conjugado, y se linealiza al primer orden en : ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*}),}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi ).}$

Asumiendo que

${\displaystyle \delta \psi =e^{-i\mu t}{\big (}u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t}{\big )},}$

se encuentran las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas para y tomando las partes como componentes independientes: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e^{\pm i\omega t}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0,}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0.}$

Para un sistema homogéneo, es decir, para , se puede obtener de la ecuación de orden cero. Entonces asumimos que y son ondas planas de impulso , lo que conduce al espectro de energía. ${\displaystyle V({\boldsymbol {r}})={\text{const}}}$ ${\displaystyle V=\hbar \mu -gn}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}.}$

Para grandes , la relación de dispersión es cuadrática en , como cabría esperar de las excitaciones habituales de una sola partícula que no interactúan. Para pequeñas , la relación de dispersión es lineal: ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q,}$

siendo la velocidad del sonido en el condensado, también conocido como segundo sonido . El hecho de que esto demuestra, según el criterio de Landau, que el condensado es un superfluido, es decir, si un objeto se mueve en el condensado a una velocidad inferior a s , no será energéticamente favorable para producir excitaciones, y el objeto se moverá sin disipación, que es una característica de un superfluido . Se han realizado experimentos para demostrar esta superfluidez del condensado, utilizando un láser azul desafinado muy enfocado. ^[19] La misma relación de dispersión se encuentra cuando el condensado se describe desde un enfoque microscópico utilizando el formalismo de la segunda cuantificación . ${\displaystyle s={\sqrt {ng/m}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s}$

Superfluido en potencial helicoidal giratorio.

Trampa dipolo de vórtice con carga topológica cargada por un conjunto ultrafrío ${\displaystyle \ell =2}$

El potencial óptico podría estar formado por dos vórtices ópticos contrapropagados con longitudes de onda , ancho efectivo y carga topológica : ${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\text{twist}}(z,r,\theta ,t)}$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle E_{\pm }(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),}$

dónde . En un sistema de coordenadas cilíndrico, el pozo potencial tiene una notable geometría de doble hélice : ^[20] ${\displaystyle \delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})}$ ${\displaystyle (z,r,\theta )}$

${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right).}$

En un sistema de referencia que gira con velocidad angular , la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo con potencial helicoidal es ^[21] ${\displaystyle \Omega =\delta \omega /2\ell }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\text{twist}}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),}$

¿ Dónde está el operador de momento angular? La solución para la función de onda del condensado es una superposición de dos vórtices de onda-materia conjugados en fase: ${\displaystyle {\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times {\big (}\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta ){\big )}.}$

El momento macroscópicamente observable del condensado es

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {P}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),}$

donde es el número de átomos en el condensado. Esto significa que el conjunto atómico se mueve coherentemente a lo largo de un eje con velocidad de grupo cuya dirección está definida por signos de carga topológica y velocidad angular : ^[22] ${\displaystyle N_{\text{at}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{k_{+}+k_{-}}}.}$

El momento angular del condensado atrapado helicoidalmente es exactamente cero: ^[21]

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {L}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.}$

El modelado numérico de conjuntos atómicos fríos en potencial espiral ha demostrado el confinamiento de trayectorias atómicas individuales dentro de pozos de potencial helicoidal. ^[23]

Derivaciones y generalizaciones

La ecuación de Gross-Pitaevskii también se puede derivar como el límite semiclásico de la teoría de muchos cuerpos de bosones idénticos que interactúan con ondas s representados en términos de estados coherentes. ^[24] El límite semiclásico se alcanza para un gran número de cuantos, expresando la teoría de campo ya sea en la representación P positiva ( representación P generalizada de Glauber-Sudarshan ) o en la representación de Wigner .

Los efectos de la temperatura finita se pueden tratar dentro de una ecuación generalizada de Gross-Pitaevskii incluyendo la dispersión entre átomos condensados ​​y no condensados, ^{[25] [26] [27] [28] [29]} de la cual se puede recuperar la ecuación de Gross-Pitaevskii en la límite de baja temperatura. ^{[30] [31]}

Referencias

1. EP Bruto (1961). "Estructura de un vórtice cuantificado en sistemas de bosones". El nuevo cemento . 20 (3): 454–457. Código Bib : 1961NCim...20..454G. doi :10.1007/BF02731494. S2CID  121538191.
2. LP Pitaevskii (1961). "Líneas de vórtice en un gas Bose imperfecto". soviético. Física. JETP . 13 (2): 451–454.
3. pie abcd, CJ (2005). Física atómica. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 231-240. ISBN 978-0-19-850695-9.
4. Lopes, Rafael; Eigen, Christoph; Navón, Nir; Clemente, David; Smith, Robert P.; Hadzibabic, Zoran (7 de noviembre de 2017). "Agotamiento cuántico de un condensado homogéneo de Bose-Einstein". Cartas de revisión física . 119 (19): 190404. arXiv : 1706.01867 . Código bibliográfico : 2017PhRvL.119s0404L. doi : 10.1103/PhysRevLett.119.190404. ISSN  0031-9007. PMID  29219529. S2CID  206302070.
5. Chang, R.; Bouton, Q.; Cayla, H.; Qu, C.; Aspecto, A.; Westbrook, CI; Clément, D. (2 de diciembre de 2016). "Observación resuelta por el momento del agotamiento térmico y cuántico en un gas Bose". Cartas de revisión física . 117 (23): 235303. arXiv : 1608.04693 . Código Bib : 2016PhRvL.117w5303C. doi : 10.1103/PhysRevLett.117.235303. ISSN  0031-9007. PMID  27982640. S2CID  10967623.
6. Lee, TD; Yang, CN (1 de febrero de 1957). "Problema de muchos cuerpos en mecánica cuántica y mecánica estadística cuántica". Revisión física . 105 (3): 1119-1120. Código bibliográfico : 1957PhRv..105.1119L. doi : 10.1103/PhysRev.105.1119. ISSN  0031-899X.
7. Lee, TD; Huang, Kerson; Yang, CN (15 de junio de 1957). "Valores propios y funciones propias de un sistema Bose de esferas duras y sus propiedades de baja temperatura". Revisión física . 106 (6): 1135-1145. Código bibliográfico : 1957PhRv..106.1135L. doi : 10.1103/PhysRev.106.1135. ISSN  0031-899X.
8. Lieb, Elliott H.; Liniger, Werner (15 de mayo de 1963). "Análisis exacto de un gas Bose que interactúa. I. La solución general y el estado fundamental". Revisión física . 130 (4): 1605-1616. Código bibliográfico : 1963PhRv..130.1605L. doi : 10.1103/PhysRev.130.1605. ISSN  0031-899X.
9. Kopyciński, Jakub; Łebek, Maciej; Marciniak, Maciej; Ołdziejewski, Rafał; Górecki, Wojciech; Pawłowski, Krzysztof (14 de enero de 2022). "Más allá de la ecuación de Gross-Pitaevskii para gas 1D: cuasipartículas y solitones". Física SciPost . 12 (1): 023. arXiv : 2106.15289 . Código Bib : 2022ScPP...12...23K. doi : 10.21468/SciPostPhys.12.1.023 . ISSN  2542-4653. S2CID  235670023.
10. Choi, S.; Dunjko, V.; Zhang, ZD; Olshanii, M. (10 de septiembre de 2015). "Excitaciones monopolares de un gas Bose unidimensional atrapado armónicamente desde el gas ideal hasta el régimen de Tonks-Girardeau". Cartas de revisión física . 115 (11): 115302. arXiv : 1412.6855 . Código Bib : 2015PhRvL.115k5302C. doi :10.1103/PhysRevLett.115.115302. ISSN  0031-9007. PMID  26406838. S2CID  2987641.
11. Peotta, Sebastián; Ventra, Massimiliano Di (24 de enero de 2014). "Ondas de choque cuánticas e inversión de población en colisiones de nubes atómicas ultrafrías". Revisión física A. 89 (1): 013621. arXiv : 1303.6916 . Código Bib : 2014PhRvA..89a3621P. doi : 10.1103/PhysRevA.89.013621. ISSN  1050-2947. S2CID  119290214.
12. NM Hugenholtz ; D. Pinos (1959). "Espectro de excitación y energía del estado fundamental de un sistema de bosones que interactúan". Revisión física . 116 (3): 489–506. Código bibliográfico : 1959PhRv..116..489H. doi : 10.1103/PhysRev.116.489.
13. Dalfovo, Franco; Giorgini, Stefano; Pitaevskii, Lev P.; Stringari, Sandro (1 de abril de 1999). "Teoría de la condensación de Bose-Einstein en gases atrapados". Reseñas de Física Moderna . 71 (3): 463–512. arXiv : cond-mat/9806038 . Código Bib : 1999RvMP...71..463D. doi :10.1103/RevModPhys.71.463. S2CID  55787701.
14. P. Muruganandam y SK Adhikari (2009). "Programas Fortran para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa totalmente anisotrópica". Computadora. Física. Comunitario . 180 (3): 1888-1912. arXiv : 0904.3131 . Código Bib : 2009CoPhC.180.1888M. doi :10.1016/j.cpc.2009.04.015. S2CID  7403553.
15. P. Muruganandam y SK Adhikari (2003). "Dinámica de condensación de Bose-Einstein en tres dimensiones mediante los métodos pseudoespectrales y de diferencias finitas". J. Física. B . 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat/0210177 . Código bibliográfico : 2003JPhB...36.2501M. doi :10.1088/0953-4075/36/12/310. S2CID  250851068.
16. D. Vudragovič; et al. (2012). "Programas C para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa totalmente anisotrópica". Computadora. Física. Comunitario . 183 (9): 2021-2025. arXiv : 1206.1361 . Código Bib : 2012CoPhC.183.2021V. doi :10.1016/j.cpc.2012.03.022. S2CID  12031850.
17. LE Young-S.; et al. (2016). "Programas OpenMP Fortran y C para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa totalmente anisotrópica". Computadora. Física. Comunitario . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Código Bib : 2016CoPhC.204..209Y. doi :10.1016/j.cpc.2016.03.015. S2CID  206999817.
18. R. Kishor Kumar; et al. (2015). "Programas Fortran y C para la ecuación dipolar de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa totalmente anisotrópica". Computadora. Física. Comunitario . 195 (2015): 117-128. arXiv : 1506.03283 . Código Bib : 2015CoPhC.195..117K. doi :10.1016/j.cpc.2015.03.024. S2CID  18949735.
19. C. Raman; M. Kohl; R. Onofrio; DS Durfee; CE Kuklewicz; Z. Hadzibabic; W. Ketterle (1999). "Evidencia de una velocidad crítica en un gas condensado de Bose-Einstein". Física. Rev. Lett . 83 (13): 2502. arXiv : cond-mat/9909109 . Código bibliográfico : 1999PhRvL..83.2502R. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.2502. S2CID  14070421.
20. A. Yu. Ókulov (2008). "Momento angular de fotones y conjugación de fases". J. Física. Murciélago. Mol. Optar. Física . 41 (10): 101001. arXiv : 0801.2675 . Código Bib : 2008JPhB...41j1001O. doi :10.1088/0953-4075/41/10/101001. S2CID  13307937.
21. A. Yu. Ókulov (2012). "Atrapamiento de materia fría mediante potencial helicoidal que gira lentamente". Física. Letón. A . 376 (4): 650–655. arXiv : 1005.4213 . Código bibliográfico : 2012PhLA..376..650O. doi :10.1016/j.physleta.2011.11.033. S2CID  119196009.
22. A. Yu. Ókulov (2013). "Sensor de rotación superfluido con trampa láser helicoidal". J. Baja temperatura. Física . 171 (3): 397–407. arXiv : 1207.3537 . Código Bib : 2013JLTP..171..397O. doi :10.1007/s10909-012-0837-7. S2CID  118601627.
23. A. Al. Rsheed1, A. Lyras, VE Lembessis, OM Aldossary (2016). "Guía de átomos en estructuras de potencial óptico helicoidal". J. Física. Murciélago. Mol. Optar. Física . 49 (12): 125002. Código bibliográfico : 2016JPhB...49l5002R. doi :10.1088/0953-4075/49/12/125002. S2CID  124660886.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
24. Acero, MJ; Olsen, MK; Plimak, LI; Drummond, PD; Bronceado, SM; Collet, MJ; Muros, DF; Graham, R (1998). "Ruido cuántico dinámico en condensados ​​de Bose-Einstein atrapados". Revisión física A. 58 (6): 4824–4835. arXiv : cond-mat/9807349 . Código bibliográfico : 1998PhRvA..58.4824S. doi :10.1103/PhysRevA.58.4824. S2CID  43217083.
25. Zaremba, E; Nikuni, T; Grifo, A (1999). "Dinámica de gases Bose atrapados a temperaturas finitas". Revista de Física de Bajas Temperaturas . 116 (3–4): 277–345. doi :10.1023/A:1021846002995. S2CID  37753.
26. Stoof, HTC (1999). "Dinámica coherente versus incoherente durante la condensación de Bose-Einstein en gases atómicos". Revista de Física de Bajas Temperaturas . 114 (1–2): 11–108. doi :10.1023/A:1021897703053. S2CID  16107086.
27. Davis, MJ; Morgan, SA; Burnett, K (2001). "Simulaciones de campos de Bose a temperatura finita". Cartas de revisión física . 87 (16): 160402. arXiv : cond-mat/0011431 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..87p0402D. doi : 10.1103/PhysRevLett.87.160402. PMID  11690189. S2CID  14195702.
28. Gardiner, CW; Davis, MJ (2003). "La ecuación estocástica de Gross-Pitaevskii: II". Revista de Física B: Física atómica, molecular y óptica . 36 (23): 4731–4753. arXiv : cond-mat/0308044 . Código Bib : 2003JPhB...36.4731G. doi :10.1088/0953-4075/36/23/010. S2CID  250874049.
29. Gardiner, SA; Morgan, SA (2007). "Enfoque de conservación de números para un tratamiento mínimo autoconsistente de la dinámica de condensado y no condensado en un gas Bose degenerado" (PDF) . Revisión física A. 75 (4): 261. arXiv : cond-mat/0610623 . Código bibliográfico : 2007PhRvA..75d3621G. doi : 10.1103/PhysRevA.75.043621. S2CID  119432906.
30. Proukakis, Nick P.; Jackson, Brian (2008). "Modelos de temperatura finita de condensación de Bose-Einstein". Revista de Física B: Física atómica, molecular y óptica . 41 (20): 203002. arXiv : 0810.0210 . doi :10.1088/0953-4075/41/20/203002. ISSN  0953-4075. S2CID  118561792 . Consultado el 14 de febrero de 2022 .
31. Blakeie, PB; Bradley, AS; Davis, MJ; Ballagh, RJ; Gardiner, CW (1 de septiembre de 2008). "Dinámica y mecánica estadística de gases Bose ultrafríos utilizando técnicas de campo c". Avances en Física . 57 (5): 363–455. arXiv : 0809.1487 . Código Bib : 2008AdPhy..57..363B. doi :10.1080/00018730802564254. ISSN  0001-8732. S2CID  14999178 . Consultado el 5 de diciembre de 2021 .

Otras lecturas

• Pethick, CJ; Smith, H. (2002). Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-66580-3.
• Pitaevskii, LP; Stringari, S. (2003). Condensación de Bose-Einstein . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-850719-2.

enlaces externos

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI es una biblioteca para simulaciones a gran escala basada en la descomposición de Trotter-Suzuki que también puede abordar la ecuación de Gross-Pitaevskii.
• XMDS XMDS es una biblioteca de ecuaciones diferenciales parciales espectrales que se puede utilizar para resolver la ecuación de Gross-Pitaevskii.