Concurso Cournot

Modelo económico

La competencia de Cournot es un modelo económico que se utiliza para describir una estructura industrial en la que las empresas compiten por la cantidad de producción que producirán, algo que deciden de forma independiente unas de otras y al mismo tiempo. Recibe su nombre en honor a Antoine Augustin Cournot (1801-1877), quien se inspiró en la observación de la competencia en un duopolio de agua de manantial . ^[1] Tiene las siguientes características:

• Hay más de una empresa y todas producen un producto homogéneo , es decir, no hay diferenciación de productos ;
• Las empresas no cooperan, es decir, no hay colusión ;
• Las empresas tienen poder de mercado , es decir, la decisión de producción de cada empresa afecta el precio del bien;
• El número de empresas es fijo;
• Las empresas compiten en cantidades más que en precios; y
• Las empresas son económicamente racionales y actúan estratégicamente , buscando generalmente maximizar sus ganancias dadas las decisiones de sus competidores.

Un supuesto esencial de este modelo es la "no conjetura" de que cada empresa aspira a maximizar sus beneficios, basándose en la expectativa de que su propia decisión de producción no tendrá efecto sobre las decisiones de sus rivales. El precio es una función decreciente de la producción total, comúnmente conocida. Todas las empresas conocen , el número total de empresas en el mercado, y toman la producción de las demás como dada. El precio de mercado se fija en un nivel tal que la demanda es igual a la cantidad total producida por todas las empresas. Cada empresa toma la cantidad fijada por sus competidores como dada, evalúa su demanda residual y luego se comporta como un monopolio . ${\displaystyle N}$

Historia

El estado de equilibrio... es, pues, estable ; es decir, que si alguno de los productores, engañado respecto de su verdadero interés, lo abandona temporalmente, volverá a él.

—  Antoine Augustin Cournot, Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838), traducido por Bacon (1897). ^[2]

Antoine Augustin Cournot (1801-1877) esbozó por primera vez su teoría de la competencia en su volumen de 1838 Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses como una forma de describir la competencia en un mercado de agua de manantial dominado por dos proveedores (un duopolio ). ^[3] El modelo fue uno de los varios que Cournot estableció "explícitamente y con precisión matemática" en el volumen. ^[4] Específicamente, Cournot construyó funciones de ganancias para cada empresa y luego utilizó la diferenciación parcial para construir una función que representara la mejor respuesta de una empresa para niveles de producción dados (exógenos) de la(s) otra(s) empresa(s) en el mercado. ^[4] Luego demostró que se produce un equilibrio estable donde estas funciones se cruzan (es decir, la solución simultánea de las funciones de mejor respuesta de cada empresa). ^[4]

La consecuencia de esto es que en equilibrio, las expectativas de cada empresa sobre cómo actuarán las demás empresas resultan correctas; cuando todo se revela, ninguna empresa quiere cambiar su decisión de producción. ^[1] Esta idea de estabilidad fue retomada y desarrollada posteriormente como una descripción de los equilibrios de Nash , de los cuales los equilibrios de Cournot son un subconjunto. ^[4]

El legado de laInvestigaciones

La teoría económica de Cournot pasó desapercibida hasta que Léon Walras lo reconoció como precursor. Esto provocó una reseña poco comprensiva del libro de Cournot por parte de Joseph Bertrand , que a su vez recibió duras críticas. Irving Fisher consideró que el tratamiento que Cournot daba al oligopolio era "brillante y sugerente, pero no exento de serias objeciones". ^[5] Encargó una traducción a cargo de Nathaniel Bacon en 1897. ^[6]

Las reacciones a este aspecto de la teoría de Cournot han variado desde una condena tajante hasta un respaldo poco entusiasta. En los últimos años ha recibido simpatías por ser una contribución a la teoría de juegos más que a la economía. James W. Friedman explica:

En el lenguaje y la interpretación actuales, Cournot postuló un juego particular para representar un mercado oligopólico... ^[6]

Las matemáticas del libro de Cournot son elementales y la presentación no resulta difícil de seguir. El relato que sigue a continuación sigue de cerca las palabras y los diagramas de Cournot. Es de suponer que los diagramas se incluyeron como una lámina de gran tamaño en la edición original y no aparecen en algunas reimpresiones modernas.

El marco conceptual de Cournot

El análisis que hace Cournot del oligopolio se basa en dos avances teóricos realizados en las páginas anteriores de su libro. Ambos han pasado (con algunos ajustes) a la teoría microeconómica, en particular dentro del subcampo de la organización industrial , donde los supuestos de Cournot pueden flexibilizarse para estudiar diversas estructuras de mercado e industrias, por ejemplo, el modelo de competencia de Stackelberg . El análisis que hace Cournot del monopolio influyó en escritores posteriores, como Edward Chamberlin y Joan Robinson, durante el resurgimiento del interés por la competencia imperfecta en la década de 1930 .

La 'Ley de la Demanda' o 'Ley de las Ventas'

Curva de Cournot de 'demanda o ventas'

Cournot desconfiaba de las nociones psicológicas de demanda, y la definía simplemente como la cantidad vendida de un bien en particular (ayudado por el hecho de que la palabra francesa débit , que significa 'cantidad de venta', tiene la misma letra inicial que demande , que significa 'demanda'  ^[7] ). La formalizó matemáticamente de la siguiente manera:

Consideraremos la cantidad de ventas o demanda anual de cualquier producto como una función de su precio. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F(p)}$

De ello se deduce que sus curvas de demanda realizan parte del trabajo de las curvas de oferta modernas, ya que los productores que pueden limitar la cantidad vendida tienen una influencia en la curva de demanda de Cournot. ^{[ ¿según quién? ]}

Cournot observa que la curva de demanda normalmente será una función decreciente del precio, y que el valor total del bien vendido es , que generalmente aumentará hasta un máximo y luego disminuirá hacia 0. La condición para un máximo es que la derivada de , es decir, , debe ser 0 (donde es la derivada de ). ${\displaystyle pF(p)}$ ${\displaystyle pF(p)}$ ${\displaystyle F(p)+pF'(p)}$ ${\displaystyle F'(p)}$ ${\displaystyle F(p)}$

La teoría del duopolio de Cournot

Monopolio y duopolio

Cournot insiste en que cada duopolista busca independientemente maximizar sus beneficios, y esta restricción es esencial, pues Cournot nos dice que si llegaran a un entendimiento entre ellos de manera que cada uno obtuviera el máximo ingreso posible, entonces se obtendrían resultados completamente diferentes, indistinguibles desde el punto de vista del consumidor de los que conlleva el monopolio.

El modelo de precios de Cournot

Cournot presenta un análisis matemáticamente correcto de la condición de equilibrio correspondiente a un determinado modelo lógicamente consistente de comportamiento duopolista. Sin embargo, su modelo no está enunciado y no es particularmente natural ( Shapiro señaló que la práctica observada constituía una "objeción natural al modelo cuantitativo de Cournot" ^[9] ), y "sus palabras y las matemáticas no coinciden del todo". ^[10]

Su modelo se puede entender más fácilmente si lo embellecemos un poco. Supongamos que hay dos propietarios de manantiales de agua mineral, cada uno capaz de producir cantidades ilimitadas a precio cero. Supongamos que en lugar de vender agua al público la ofrecen a un intermediario. Cada propietario notifica al intermediario la cantidad que pretende producir. El intermediario encuentra el precio de equilibrio del mercado, que está determinado por la función de demanda y la oferta agregada. Él o ella vende el agua a ese precio, devolviendo el dinero a los propietarios. ${\displaystyle F}$

La demanda del consumidor de agua mineral al precio se denota por ; el inverso de se escribe y el precio de equilibrio del mercado se da por , donde y es la cantidad suministrada por el propietario . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p=f(D)}$ ${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Se supone que cada propietario conoce la cantidad que ofrece su rival y ajusta su propia oferta en función de ella para maximizar sus beneficios. La posición de equilibrio es aquella en la que ninguno de los propietarios está dispuesto a ajustar la cantidad ofrecida.

Se necesitan contorsiones mentales para imaginar que el mismo comportamiento del mercado se produciría sin intermediarios.

Dificultades interpretativas

Una característica del modelo de Cournot es que se aplica un precio único a ambos propietarios. Justificó esta suposición diciendo que "el precio es necesariamente el mismo para uno y para el otro propietario". ^[11] De Bornier amplía esta idea diciendo que "la conclusión obvia de que sólo puede existir un precio único en un momento dado" se desprende de "un supuesto esencial relativo a su modelo, [a saber] la homogeneidad del producto". ^[12]

Más adelante, Cournot escribe que un propietario puede ajustar su oferta "modificando correctamente el precio". ^[13] Una vez más, esto es un sinsentido: es imposible que un mismo precio esté simultáneamente bajo el control de dos oferentes. Si existe un mismo precio, entonces debe ser determinado por el mercado como consecuencia de las decisiones de los propietarios sobre cuestiones que están bajo su control individual.

El relato de Cournot desconcertó tanto a su traductor inglés (Nathaniel Bacon) que sus palabras fueron corregidas y dijeron: "ajustar adecuadamente su precio". ^[14] Edgeworth consideraba que la igualdad de precios en Cournot era "una condición particular, no... abstractamente necesaria en casos de competencia imperfecta". ^[15] Jean Magnan de Bornier dice que en la teoría de Cournot "cada propietario usará el precio como una variable para controlar la cantidad" sin decir cómo un precio puede gobernar dos cantidades. AJ Nichol afirmó que la teoría de Cournot no tiene sentido a menos que "los precios sean determinados directamente por los compradores". ^[16] Shapiro , quizás desesperado, comentó que "el proceso real de formación de precios en la teoría de Cournot es algo misterioso". ^[9]

Colusión

Los duopolistas de Cournot no son verdaderos maximizadores de beneficios. Cualquiera de los proveedores podría aumentar sus beneficios eliminando al intermediario y acaparando el mercado vendiendo ligeramente por debajo del precio de su rival; por lo tanto, el intermediario puede ser visto como un mecanismo para restringir la competencia.

Encontrar el equilibrio del duopolio de Cournot

Ejemplo 1

El modelo de competencia de Cournot se presenta típicamente para el caso de una estructura de mercado de duopolio ; el siguiente ejemplo proporciona un análisis sencillo del modelo de Cournot para el caso de duopolio. Por lo tanto, supongamos que tenemos un mercado que consta de sólo dos empresas que llamaremos empresa 1 y empresa 2. Para simplificar, suponemos que cada empresa enfrenta el mismo costo marginal. Es decir, para la cantidad de producción de una empresa dada, denotada donde , el costo de la empresa de producir unidades de producción está dado por , donde es el costo marginal. Este supuesto nos dice que ambas empresas enfrentan el mismo costo por unidad producida. Por lo tanto, como el beneficio de cada empresa es igual a sus ingresos menos los costos, donde los ingresos son iguales al número de unidades producidas multiplicado por el precio de mercado, podemos denotar las funciones de beneficio para la empresa 1 y la empresa 2 de la siguiente manera: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle C(q_{i})=\chi q_{i}}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}}$

En las funciones de beneficio anteriores, tenemos el precio como función de la producción total, que denotamos como y para dos empresas debemos tener . Por ejemplo, supongamos que el precio (función de demanda inversa) es lineal y de la forma . Por lo tanto, la función de demanda inversa puede reescribirse como . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=q_{1}+q_{2}}$ ${\displaystyle p=a-bQ}$ ${\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}}$

Ahora, sustituyendo nuestra ecuación por el precio en lugar de , podemos escribir la función de beneficio de cada empresa como: ${\displaystyle p(Q)}$

${\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}$

Como se supone que las empresas maximizan sus beneficios, las condiciones de primer orden (CdP) para cada empresa son:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0}$

Las FOC establecen que la empresa está produciendo en el nivel de producción que maximiza las ganancias cuando el costo marginal ( ) es igual al ingreso marginal ( ). Intuitivamente, esto sugiere que las empresas producirán hasta el punto en que siga siendo rentable hacerlo, ya que cualquier producción adicional más allá de este punto significará que , y, por lo tanto, la producción más allá de este punto da como resultado que la empresa pierda dinero por cada unidad adicional producida. Observe que en la cantidad que maximiza las ganancias donde , debemos tener , por lo que establecemos las ecuaciones anteriores iguales a cero. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{MC}}}$ ${\displaystyle {\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}>{\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}={\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}-{\text{MR}}=0}$

Ahora que tenemos dos ecuaciones que describen los estados en los que cada empresa produce la cantidad que maximiza sus beneficios, podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener el nivel óptimo de producción de cada empresa, para las empresas 1 y 2 respectivamente. Así, obtenemos: ${\displaystyle q_{1},q_{2}}$

${\displaystyle q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}}$

Estas funciones describen la cantidad óptima (que maximiza las ganancias) de producción de cada empresa, dado el precio que las empresas enfrentan en el mercado, el costo marginal, y la cantidad de producción de las empresas rivales. Se puede pensar que las funciones describen la "mejor respuesta" de una empresa al nivel de producción de la otra empresa. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \chi }$

Ahora podemos encontrar un equilibrio de Cournot-Nash utilizando nuestras funciones de "Mejor respuesta" anteriores para la cantidad de producción de las empresas 1 y 2. Recordemos que ambas empresas enfrentan el mismo costo por unidad ( ) y precio ( ). Por lo tanto, utilizando esta relación simétrica entre empresas, encontramos la cantidad de equilibrio fijando . Podemos estar seguros de que esta configuración nos da los niveles de equilibrio ya que ninguna empresa tiene un incentivo para cambiar su nivel de producción ya que hacerlo dañaría a la empresa en beneficio de su rival. Ahora, sustituyendo y resolviendo, obtenemos la cantidad de producción simétrica (la misma para cada empresa) en equilibrio como . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}}$ ${\displaystyle q^{*}}$ ${\displaystyle q_{1},q_{2}}$ ${\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}}$

Este valor de equilibrio describe el nivel óptimo de producción para las empresas 1 y 2, donde cada empresa produce una cantidad de producción de . Por lo tanto, en el equilibrio, la producción total del mercado será . ${\displaystyle q^{*}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}}$

Ejemplo 2

Los ingresos que obtienen los dos propietarios son y , es decir, y . El primer propietario maximiza sus beneficios optimizando sobre el parámetro bajo su control, dando la condición de que la derivada parcial de sus beneficios con respecto a sea 0, y el razonamiento de imagen especular se aplica a su rival. Así, obtenemos las ecuaciones: ${\displaystyle pD_{1}}$ ${\displaystyle pD_{2}}$ ${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}}$ ${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0}$y

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0}$.

La posición de equilibrio se obtiene resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente. La forma más sencilla de hacerlo es sumándolas y restándolas, lo que las convierte en:

${\displaystyle D_{1}=D_{2}}$y

${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$, dónde . ${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$

Así, vemos que los dos propietarios suministran cantidades iguales y que la cantidad total vendida es la raíz de una única ecuación no lineal en . ${\displaystyle D}$

Cournot va más allá de esta solución simple, investigando la estabilidad del equilibrio. Cada una de sus ecuaciones originales define una relación entre y que puede dibujarse en un gráfico. Si el primer propietario proporcionaba la cantidad , entonces el segundo propietario adoptaría la cantidad de la curva roja para maximizar sus ingresos. Pero luego, por un razonamiento similar, el primer propietario ajustará su oferta a para obtener el máximo rendimiento como lo muestra la curva azul cuando es igual a . Esto hará que el segundo propietario se adapte al valor de la oferta , y así sucesivamente hasta que se alcance el equilibrio en el punto de intersección , cuyas coordenadas son . ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle x_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle x_{\textsf {ll}}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {ll}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Como los propietarios se mueven hacia la posición de equilibrio, se deduce que el equilibrio es estable, pero Cournot observa que si las curvas roja y azul se intercambiaran, esto dejaría de ser cierto. Añade que es fácil ver que el diagrama correspondiente sería inadmisible ya que, por ejemplo, es necesariamente el caso de que . Para verificar esto, observe que cuando es 0, las dos ecuaciones se reducen a: ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle f(D_{2})=0}$y

${\displaystyle f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0}$.

La primera de ellas corresponde a la cantidad vendida cuando el precio es cero (que es la cantidad máxima que el público está dispuesto a consumir), mientras que la segunda establece que la derivada de con respecto a es 0, pero es el valor monetario de una cantidad agregada de ventas , y el punto de inflexión de este valor es un máximo. Evidentemente, la cantidad de ventas que maximiza el valor monetario se alcanza antes que la cantidad máxima de ventas posible (que corresponde a un valor 0). Por lo tanto, la raíz de la primera ecuación es necesariamente mayor que la raíz de la segunda ecuación. ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Comparación con el monopolio

Hemos visto que el sistema de Cournot se reduce a la ecuación . está funcionalmente relacionada con vía en una dirección y en la otra. Si reexpresamos esta ecuación en términos de , nos dice que , que puede compararse con la ecuación obtenida anteriormente para el monopolio. ${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)+2pF'(p)=0}$ ${\displaystyle F(p)+pF'(p)=0}$

Si graficamos otra variable contra , entonces podemos dibujar una curva de la función . El precio de monopolio es el para el cual esta curva interseca la línea , mientras que el precio de duopolio está dado por la intersección de la curva con la línea más inclinada . Independientemente de la forma de la curva, su intersección con ocurre a la izquierda de (es decir, a un precio menor que) su intersección con . Por lo tanto, los precios son más bajos bajo duopolio que bajo monopolio, y las cantidades vendidas son en consecuencia mayores. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u=p}$ ${\displaystyle u=2p}$ ${\displaystyle u=2p}$ ${\displaystyle u=p}$

Extensión al oligopolio

Cuando hay propietarios, la ecuación de precios se convierte en . El precio se puede leer en el diagrama desde la intersección de con la curva. Por lo tanto, el precio disminuye indefinidamente a medida que aumenta el número de propietarios. Con un número infinito de propietarios, el precio se convierte en cero; o, de manera más general, si tenemos en cuenta los costos de producción, el precio se convierte en el costo marginal. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(p)+npF'(p)=0}$ ${\displaystyle u=np}$

La crítica de Bertrand

El matemático francés Joseph Bertrand , al reseñar la Teoría matemática de la riqueza social de Walras , se sintió atraído por el libro de Cournot por los grandes elogios que Walras le dedicó. Bertrand criticó el razonamiento y las suposiciones de Cournot, y afirmó que "eliminar los símbolos reduciría el libro a solo unas pocas páginas". ^{[17] [nota 1]} Su resumen de la teoría del duopolio de Cournot ha seguido siendo influyente:

Cournot supone que uno de los propietarios reducirá su precio para atraer compradores y que el otro, a su vez, reducirá aún más su precio para atraer compradores nuevamente. Sólo dejarán de venderse a precios más bajos el uno al otro cuando uno de los propietarios, incluso si el otro abandona la lucha, no tenga nada más que ganar reduciendo su precio. Una de las principales objeciones a esta hipótesis es que no hay solución bajo esta hipótesis, ya que no hay límite al movimiento descendente... Si la formulación de Cournot oculta este resultado obvio es porque introduce inadvertidamente como D y D' las respectivas producciones de los dos propietarios y, al considerarlas como variables independientes, supone que si uno de los propietarios cambia su producción, la producción del otro propietario podría permanecer constante. Obviamente, no podría ser así.

Pareto no se impresionó con la crítica de Bertrand y concluyó que Bertrand "escribió su artículo sin consultar los libros que criticaba". ^[18]

Irving Fisher esbozó un modelo de duopolio similar al que Bertrand había acusado a Cournot de analizar incorrectamente:

Una hipótesis más natural, y que a menudo se adopta tácitamente, es que cada [productor] supone que el precio de su rival se mantendrá fijo, mientras que el suyo propio se ajustará. Bajo esta hipótesis, cada uno vendería a un precio más bajo que el otro mientras le quedara algún beneficio, de modo que el resultado final sería idéntico al de una competencia ilimitada. ^[19]

Fisher parecía considerar que Bertrand había sido el primero en presentar este modelo, y desde entonces entró en la literatura como la competencia de Bertrand .

Véase también

• Juego agregativo
• Concurso Bertrand
• Modelo de Bertrand-Edgeworth
• Variación conjetural
• Teoría de juegos
• El modelo de ciudad lineal de Hotelling
• Equilibrio de Nash
• Competición de Stackelberg
• Colusión tácita

Notas

1. La reseña de Bertrand se encuentra más fácilmente en la traducción al inglés de Margaret Chevaillier adjunta a De Bornier 1992.

Referencias

1. Varian, Hal R. (2006) [Publicado originalmente en 1987]. Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (Séptima edición). WW Norton & Company . p. 490. ISBN 0393927024.
2. Cournot, Antoine Augustin (1897) [Publicado originalmente en 1838]. Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses [ Investigaciones sobre los principios matemáticos de la teoría de la riqueza ]. Clásicos económicos. Traducido por Bacon, Nathaniel T. Nueva York : The Macmillan Company . hdl :2027/hvd.32044024354821 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
3. Van den Berg, Anita; Bos, Iwan; Herings, P. Jean-Jacques; Peters, Hans (2012). "Duopolio dinámico de Cournot con restricciones de capacidad intertemporal" (PDF) . Revista Internacional de Organización Industrial . 30 (2). Elsevier : 174–192. doi :10.1016/j.ijindorg.2011.08.002 . Consultado el 22 de enero de 2023 .
4. Morrison, Clarence C. (1998). "Cournot, Bertrand y la teoría de juegos moderna". Atlantic Economic Journal . 26 (2). Springer : 172–174. doi :10.1007/BF02299359. S2CID  154319304.
5. Fisher, Irving (1898). "Cournot y la economía matemática". The Quarterly Journal of Economics . 12 (2). Oxford University Press : 119–138. doi : 10.2307/1882115 . JSTOR 1882115 . , citado por Friedman 2000.
6. Friedman, James W. (2000). "El legado de Augustin Cournot". Cahiers d'économie politique . 37 (1): 31–46. doi :10.3406/cep.2000.1287 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
7. Roberto, Pablo ; Rey-Debove, Josette ; Rey, Alain , eds. (2000) [Publicado por primera vez en 1967]. Le Petit Robert (en francés). Diccionarios Le Robert . ISBN 2-85036-668-4. débito ¹.
8. Cournot 1897, pág. 49.
9. Shapiro, Carl (1989). "Teorías del comportamiento oligopólico". Manual de organización industrial . 1 . Elsevier : 329–414. doi :10.1016/S1573-448X(89)01009-5., citado por de Bornier 1992.
10. Shubik, Martin (1959). Estrategia y estructura del mercado: competencia, oligopolio y teoría de juegos . Nueva York , NY : John Wiley & Sons . ASIN  B0000CKANF. LCCN  58-14221., citado por de Bornier 1992.
11. Cournot 1897: "por tanto, el precio es necesariamente el mismo para ambos propietarios".
12. de Bornier, Jean Magnan (1992). "El "debate Cournot-Bertrand": una perspectiva histórica" ​​(PDF) . Historia de la economía política . 24 (3). Duke University Press : 623–656. doi :10.1215/00182702-24-3-623 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
13. Cournot 1897: "modificando apropiadamente el precio".
14. Cournot 1897, citado por de Bornier 1992.
15. Edgeworth, FY (1881). Psíquicos matemáticos: un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales (PDF) . Londres : C. Kegan Paul & Co. Consultado el 13 de diciembre de 2022 ., citado en Friedman 2000.
16. Nichol, Archibald J. (1934). "Una reevaluación de la teoría de Cournot sobre el precio del duopolio". Revista de Economía Política . 42 (1). The University of Chicago Press : 80–105. doi :10.1086/254576. S2CID  154081349., citado por de Bornier 1992.
17. de Bornier 1992, pág. 631.
18. Pareto, Vilfredo (1911). "Économie mathématique" [Economía matemática]. En Molk, Jules (ed.). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées . Tomo I, vol. 4, fascículo 4, capítulo I-26 (en francés). Traducido de la edición alemana. París : Gauthier-Villars. págs. 591–640 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 . il a rédigé son Article sans avoir sous les yeux les livres des auteurs qu'il critiquait [escribió su artículo sin mirar los libros de los autores que criticaba], citado por de Bornier 1992.
19. Fisher 1898, citado por de Bornier 1992.

Lectura adicional

• Holt, Charles . Juegos y comportamiento estratégico (versión PDF) , PDF
• Tirole, Jean . La teoría de la organización industrial , MIT Press, 1988.
• La teoría de la oligopolio simplificada, capítulo 6 de Surfing Economics de Huw Dixon .
• Shumpeter, Joseph , Historia del análisis económico (1954). Analiza a Cournot extensamente.