Concurso Bertrand

Modelo económico de competencia

La competencia de Bertrand es un modelo de competencia utilizado en economía, llamado así por Joseph Louis François Bertrand (1822-1900). Describe las interacciones entre las empresas (vendedoras) que fijan los precios y sus clientes (compradores) que eligen las cantidades a los precios fijados. El modelo fue formulado en 1883 por Bertrand en una reseña del libro de Antoine Augustin Cournot Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838) en el que Cournot había propuesto el modelo de Cournot . ^[1] El modelo de Cournot sostenía que cada empresa debería maximizar sus beneficios seleccionando un nivel de cantidad y luego ajustando el nivel de precios para vender esa cantidad. El resultado del equilibrio del modelo implicaba que las empresas fijaran precios por encima del coste marginal; de ahí el precio competitivo. En su revisión, Bertrand argumentó que cada empresa debería, en cambio, maximizar sus beneficios seleccionando un nivel de precios que rebajara los precios de sus competidores, cuando sus precios superasen el coste marginal. ^[2] El modelo no fue formalizado por Bertrand; sin embargo, la idea fue desarrollada como modelo matemático por Francis Ysidro Edgeworth en 1889. ^[3]

Supuestos subyacentes de la competencia de Bertrand

Considerando el marco simple, los supuestos subyacentes del modelo de Bertrand son los siguientes:

• Hay empresas ( ) que compiten en el mercado y que producen bienes homogéneos, es decir, productos idénticos; ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i=1,2,...}$
• la función de demanda del mercado , donde Q es la suma de la cantidad producida por las empresas , es continua y con pendiente negativa con ^[5] ; ${\displaystyle Q=D(p)}$ ${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle D'(p)<0}$
• el coste marginal es simétrico, ^[6] ; ${\displaystyle c_{1}=c_{2}=...=c}$
• Las empresas no tienen una restricción de capacidad, es decir, cada empresa tiene la capacidad de producir suficientes bienes para satisfacer la demanda del mercado. ^[7]
• Las empresas fijan el precio simultáneamente, sin conocer la decisión de la otra empresa, y no hay ningún coste de búsqueda para el consumidor: los consumidores pueden observar los precios de ambas empresas.

Además, es intuitivamente deducible, al considerar la ley de demanda de la competencia de las empresas en el mercado:

• La empresa que fija el precio más bajo adquirirá todo el mercado, ya que el producto es homogéneo y no hay ningún coste de cambio para los clientes; ^[7] y
• Si el precio fijado por las empresas es el mismo, , atenderán el mercado por igual, . ^[8] ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=...=p}$ ${\displaystyle {\frac {p}{n}}}$

El equilibrio del duopolio de Bertrand

En el modelo de Bertrand, el precio competitivo sirve como un equilibrio de Nash para las decisiones estratégicas de fijación de precios. Si ambas empresas establecen un precio competitivo al costo marginal (costo unitario), ninguna de las dos obtiene beneficios. Si una empresa ajusta su precio al costo marginal mientras que la otra lo eleva por encima del costo unitario, la segunda no gana nada, ya que los consumidores optan por la opción de precio competitivo. Ningún otro escenario de fijación de precios alcanza el equilibrio. Establecer precios idénticos por encima del costo unitario conduce a un incentivo desestabilizador para que cada empresa venda más barato que la otra, con el objetivo de capturar todo el mercado y aumentar significativamente sus beneficios. Esta falta de equilibrio surge de que las empresas compiten en un mercado con bienes sustitutos, donde los consumidores prefieren el producto más barato debido a preferencias idénticas. Además, el equilibrio no se alcanza cuando las empresas establecen precios diferentes; la empresa con el precio más alto no gana nada, lo que la impulsa a reducir los precios para vender más barato que el competidor. Por lo tanto, el único equilibrio en el modelo de Bertrand surge cuando ambas empresas establecen un precio igual al costo unitario, conocido como precio competitivo. ^[9]

Cabe destacar que el equilibrio de Bertrand es un equilibrio de Nash débil . Las empresas no pierden nada al desviarse del precio competitivo: es un equilibrio simplemente porque cada empresa no puede obtener más que cero beneficios dado que la otra empresa fija el precio competitivo y está dispuesta a satisfacer toda la demanda a ese precio.

Modelado clásico del concurso Bertrand

El modelo de Bertrand de competencia de precios en un mercado duopolio que produce bienes homogéneos tiene las siguientes características:

• Jugadores: Dos empresas con coste marginal constante ; ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle c,\ (c_{1}=c_{2})}$
• Variables estratégicas: Las empresas seleccionan el nivel de precios (es decir, ); ${\displaystyle p_{i}=p_{1}}$
• Tiempo: Juego de movimientos simultáneos;
• Pagos firmes: Utilidad; y
• Información: Completa. ^[5]

  

  Mejor respuesta de la empresa 1 representada en función del precio de la empresa 2

La función de demanda individual de cada empresa tiene pendiente negativa y es función del precio fijado por cada empresa: ^[9] ${\displaystyle i}$

${\displaystyle D(p_{i},p_{j})={\begin{cases}D(p_{i}),&{\text{if }}p_{i}<p_{j}\\{\frac {D(p_{i})}{2}},&{\text{if }}p_{i}=p_{j}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Es importante señalar que, en este caso, la demanda del mercado es continua; sin embargo, la demanda de la empresa es discontinua, como se ve en el enunciado de la función anterior. Esto significa que la función de beneficios de la empresa también es discontinua. ^[5] Por lo tanto, la empresa pretende maximizar sus beneficios, como se indica a continuación, tomando  como datos: ^[10] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \pi _{i}=(p_{i}-c)D(p_{i})}$

Para obtener la mejor respuesta para la empresa , sea el precio de monopolio que maximiza la ganancia total de la industria, donde . Esto resalta el incentivo para que las empresas "vendan precios más bajos" que las empresas rivales. Como si el rival establece el precio en , la empresa puede reducir su precio en la unidad monetaria más pequeña, , para capturar toda la demanda del mercado, . ^[10] Por lo tanto, la mejor respuesta de la empresa es: ^[5] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle p_{m}=argmax_{p}(p-c)D(p)}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle D(p)}$ ${\displaystyle i}$

Modelo de Bertrand: Funciones de mejor respuesta y equilibrio de Nash

${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}p_{m},&{\text{if }}p_{j}\geq p_{m}\\p_{j}-\epsilon ,&{\text{if }}c<p_{j}<p_{m}\\c,&{\text{if }}p_{j}\leq c\end{cases}}}$

El diagrama 1 ilustra la función de mejor respuesta de la empresa 1, , dado el precio fijado por la empresa 2. Nótese que en el diagrama representa el costo marginal, . El equilibrio de Nash ( ) en el modelo de Bertrand es la mejor respuesta mutua; un equilibrio en el que ninguna empresa tiene incentivos para desviarse de él. Como se ilustra en el diagrama 2, el equilibrio de Bertrand-Nash ocurre cuando la función de mejor respuesta para ambas empresas se cruza en el punto, donde . Esto significa que ambas empresas obtienen cero ganancias económicas . ^[5] ${\displaystyle P_{1}''(P_{2})}$ ${\displaystyle MC}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P_{1}^{N}=P_{2}^{N}=MC}$

Por lo tanto, si los precios de los competidores son inferiores al coste marginal, la empresa acaba teniendo pérdidas, lo que atrae una mayor demanda y es mejor fijar el nivel de precios al coste marginal. Es importante señalar que el modelo de Bertrand de competencia de precios conduce a un resultado de competencia perfecta. ^[7] Esto se conoce como la paradoja de Bertrand , ya que dos competidores en un mercado son suficientes para generar precios competitivos; sin embargo, este resultado no es consistente en muchas industrias del mundo real. ^[5]

Si una empresa tiene un coste medio más bajo (una tecnología de producción superior ), cobrará el precio más alto que sea inferior al coste medio de la otra (es decir, un precio justo por debajo del precio más bajo que la otra empresa puede gestionar) y se quedará con todo el negocio. Esto se conoce como "fijación de precios límite" .

Análisis crítico del modelo de Bertrand

El modelo de Bertrand se basa en algunos supuestos muy extremos. Por ejemplo, supone que los consumidores quieren comprar a la empresa que ofrezca el precio más bajo. Existen varias razones por las que esto puede no ser así en muchos mercados: competencia no basada en precios y diferenciación de productos , costos de transporte y búsqueda . Por ejemplo, ¿alguien viajaría el doble de distancia para ahorrar un 1% en el precio de sus verduras? El modelo de Bertrand se puede ampliar para incluir la diferenciación de productos o de ubicación, pero entonces el resultado principal –que el precio se reduce al costo marginal– ya no se cumple. Con los costos de búsqueda, puede haber otros equilibrios aparte del precio competitivo –el precio de monopolio o incluso la dispersión de precios pueden ser equilibrios como en el modelo clásico de “gangas y estafas”. ^[11]

El modelo también ignora las restricciones de capacidad. Si una sola empresa no tiene la capacidad de abastecer a todo el mercado, entonces el resultado "precio igual al costo marginal" puede no ser válido. El análisis de este caso fue iniciado por Francis Ysidro Edgeworth y se ha conocido como el modelo de Bertrand-Edgeworth . Con restricciones de capacidad, puede que no exista ningún equilibrio de Nash de estrategia pura, la llamada paradoja de Edgeworth . Sin embargo, en general existirá un equilibrio de Nash de estrategia mixta como lo demostró Huw Dixon . ^[12]

Además, algunos economistas han criticado el modelo por conducir a resultados poco prácticos en situaciones en las que las empresas tienen un coste fijo y, como se mencionó anteriormente, un coste marginal constante, . Por lo tanto, el coste total, , de producir unidades es, . Como se describe en el modelo clásico, los precios acaban bajando hasta el coste marginal, donde las empresas obtienen un beneficio económico cero y no obtienen márgenes en las unidades inframarginales . Por tanto, las empresas no pueden recuperar ningún coste fijo. Sin embargo, si las empresas tienen una curva de coste marginal con pendiente ascendente, pueden obtener ganancias marginales en las ventas inframarginales, lo que contribuye a recuperar los costes fijos. ^[7] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle TC}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle TC=F+cQ}$

En el modelo de Bertrand existe un gran incentivo para cooperar: coludirse para cobrar el precio de monopolio , , y compartir el mercado equitativamente, , donde es el número de empresas en el mercado. ^[13] Sin embargo, no coludirse y cobrar el costo marginal es el resultado no cooperativo y el único equilibrio de Nash de este modelo. ^[7] Por lo tanto, al pasar de un juego de movimientos simultáneos a un juego repetido con horizonte infinito, entonces la colusión es posible debido al Teorema de Folk . ^[14] ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle {\frac {p_{m}}{n}}}$ ${\displaystyle n}$

Competencia Bertrand versus competencia Cournot

El modelo de Bertrand y Cournot se centra en diferentes aspectos del proceso competitivo, lo que ha llevado al modelo a identificar diferentes conjuntos de mecanismos que varían las características de la demanda de mercado que exhiben las empresas. El modelo de Cournot supone que el mercado asigna ventas iguales a cualquier cantidad producida por una empresa dada, pero al nivel de precios determinado por el mercado. Mientras que el modelo de Bertrand supone que la empresa con el precio más bajo adquiere todas las ventas del mercado. ^[2]

Al comparar los modelos, la teoría del oligopolio sugiere que las industrias de Bertrand son más competitivas que las de Cournot. Esto se debe a que las cantidades en el modelo de Cournot se consideran sustitutos estratégicos ; es decir, el aumento en el nivel de cantidad producida por una empresa es compensado por el rival, produciendo menos. Mientras que los precios en el modelo de Bertrand son complementos estratégicos ; una empresa contrarresta agresivamente un aumento en el nivel de precios reduciendo su precio por debajo del de los rivales. ^[15]

Además, ambos modelos son criticados en base a los supuestos que se hacen en comparación con el escenario del mundo real. Sin embargo, los resultados de los modelos clásicos pueden conciliarse en una forma de pensamiento, como se presenta a continuación. Considerando la aplicación apropiada de los modelos en el mercado:

• El modelo de Cournot es aplicable en mercados donde la empresa debe tomar decisiones de producción con antelación y debe comprometerse a vender ese nivel de cantidad; por lo tanto, es poco probable que reaccione a las fluctuaciones en la cantidad producida por sus rivales.
• El modelo de Bertrand es aplicable en mercados donde la capacidad es suficientemente flexible y las empresas son capaces de satisfacer cualquier demanda del mercado que surja al nivel de precios que ellas mismas establecen. ^[16]

Ningún modelo es necesariamente "mejor" que el otro. La precisión de las predicciones de cada modelo variará de una industria a otra, dependiendo de la proximidad de cada modelo a la situación de la industria. Si la capacidad y la producción se pueden modificar fácilmente, Bertrand es generalmente un mejor modelo de competencia duopoliana. Si la producción y la capacidad son difíciles de ajustar, Cournot es generalmente un mejor modelo.

En determinadas condiciones, el modelo de Cournot puede reformularse como un modelo de dos etapas, en el que las empresas de la primera etapa eligen capacidades y en la segunda compiten al estilo Bertrand.

La competencia de Bertrand en la vida real

Competencia de Bertrand con costes marginales asimétricos

En la competencia de Bertrand, hemos hecho varias suposiciones, por ejemplo, cada empresa produce bienes y costos idénticos. Sin embargo, este no es el caso en el mundo real porque hay muchos factores que hacen que el costo de diferentes empresas sea ligeramente diferente, como el costo del alquiler y la mayor escala de la empresa puede disfrutar de economías de escala . Por lo tanto, diferentes investigadores intentaron investigar el resultado de la competencia de Bertrand con el costo marginal asimétrico. Según el experimento de “Bertrand competition with asymmetrical costs: Experimental evidence”, el autor encontró que existe una relación negativa entre el nivel de asimetría en el costo y el precio establecido por las empresas (J Boone, et al., 2012). ^[17] Significa que las empresas tienen diferentes incentivos para establecer sus precios.

Thomas Demuynck et al. (2019) realizaron una investigación para encontrar una solución en estrategias puras en competencia de Bertrand con costos asimétricos. ^[18] Ha ha definido el Conjunto Estable Miope (MSS) para juegos de forma normal . Supongamos que hay dos empresas, usamos C para el costo marginal, C1 representa el costo marginal de la empresa 1 y C2 representa el costo marginal de la empresa 2. A partir del resultado, hay dos casos:

Cuando C1 < C2, la empresa 1 puede fijar el precio entre C1 y C2.

• C1 = C2 = C

Este es el caso de la competencia de Bertrand básica, en la que ambas empresas tienen el mismo coste marginal. A partir de la figura, MSS ha ilustrado que existe un único punto en el que ambas empresas van a fijar su precio. Se trata de la estrategia pura del equilibrio de Nash .

• C1 < C2

Esto significa que el costo marginal de la empresa 2 es mayor que el costo marginal de la empresa 1. En esta situación, la empresa 2 solo puede fijar su precio igual a su costo marginal. Por otro lado, la empresa 1 puede elegir su precio entre su costo marginal y el costo marginal de la empresa 2. Por lo tanto, hay muchos puntos a favor de la empresa 1 para fijar su precio.

Como se puede ver, las empresas no pueden fijar su precio igual a su costo marginal en condiciones de costos asimétricos, a diferencia del modelo de competencia de Bertrand estándar. En esta situación, las empresas con el costo marginal más bajo pueden elegir lo que quieran dentro del rango entre su costo marginal y los costos marginales de otras empresas. No hay una respuesta absoluta sobre qué precio deberían fijar, simplemente se basa en diferentes factores, por ejemplo, la situación actual del mercado.

Al mismo tiempo, Subhasish Dugar et al. (2009) realizaron una investigación sobre la relación entre el tamaño de la asimetría de costos y la competencia de Bertrand. ^[19] Encontraron que no hay una gran diferencia cuando la asimetría de costos es pequeña, ya que hay un impacto relativamente pequeño en la competencia. Sin embargo, la empresa de menor costo reducirá el precio y capturará una gran participación de mercado cuando el tamaño de la asimetría de costos sea grande.

Concurso Bertrand conEfectos de red

Además, la competencia de Bertrand estándar también supone que todos los consumidores elegirán el producto de la empresa con un precio más bajo y la empresa solo puede establecer su precio en función de sus costos marginales. Sin embargo, no es completamente correcto ya que la teoría no menciona los efectos de red . Los consumidores comprarán un producto en función del número de otros consumidores que lo utilicen. Es muy racional, como cuando compramos zapatillas deportivas, la mayoría de nosotros preferiremos Nike y Adidas . Como son marcas relativamente grandes y ambas tienen una sólida red de clientes, tendremos cierta garantía de confianza con mucha gente usando sus productos.

Sin embargo, Christian e Irina (2008) encontraron un resultado diferente si el mercado tiene efectos de red . ^[20] Las empresas preferirán fijar su precio agresivamente para atraer más clientes y aumentar la red de la empresa. Masaki (2018) también mencionó que las empresas pueden ganar una base de clientes más grande fijando sus precios agresivamente y atraerán cada vez más clientes a través de efectos de red . ^[21] Crea un bucle de retroalimentación positiva . Como puede ver, las empresas no solo fijan su precio a ciegas, sino que también están dispuestas a ganar una red de clientes más grande.

Véase también

• Juego agregativo
• Variación conjetural
• Concurso Cournot
• Competencia Bertrand diferenciada
• Competición de Stackelberg
• Equilibrio de Nash
• Teoría de juegos
• Paradoja de Bertrand (economía)
• Modelo de Bertrand-Edgeworth
• Paradoja de Edgeworth
• Sustituto bueno

Referencias

1. Bertrand, J. (1883) "Reseña del libro de theorie mathematique de la richesse sociale y de recherches sur lesprincipes mathematiques de la theorie des richesses", Journal de Savants 67: 499–508
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Lectura adicional

• La teoría de la oligopolio simplificada, capítulo 6 de Surfing Economics de Huw Dixon .
• La teoría pura del monopolio, Francis Edgeworth
• Reseña de Bertrand sobre Walras y Cournot