Espacio de Hilbert manipulado

Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis

En matemáticas , un espacio de Hilbert manipulado ( triple de Gelfand , espacio de Hilbert anidado , espacio de Hilbert equipado ) es una construcción diseñada para vincular los aspectos de distribución e integrabilidad al cuadrado del análisis funcional . Dichos espacios se introdujeron para estudiar la teoría espectral . Reúnen el " estado ligado " ( vector propio ) y el " espectro continuo " en un solo lugar.

Utilizando esta noción, se puede formular una versión del teorema espectral para operadores ilimitados en el espacio de Hilbert. ^[1] "Los espacios de Hilbert manipulados son bien conocidos como la estructura que proporciona un significado matemático adecuado a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica ". ^[2]

Motivación

Una función como es una función propia del operador diferencial en la línea real R , pero no es integrable al cuadrado para la medida habitual ( de Lebesgue ) en R . Para considerar correctamente esta función como una función propia se requiere alguna forma de salir de los estrictos confines de la teoría del espacio de Hilbert . Esto fue proporcionado por el aparato de distribuciones y se desarrolló una teoría generalizada de funciones propias en los años posteriores a 1950. $${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Enfoque de análisis funcional

El concepto de espacio de Hilbert manipulado coloca esta idea en un marco analítico-funcional abstracto. Formalmente, un espacio de Hilbert manipulado consiste en un espacio de Hilbert H , junto con un subespacio Φ que lleva una topología más fina , es decir, uno para el cual la inclusión natural es continua. No es una pérdida suponer que Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión de espacios duales H ^* en Φ ^* . Este último, dual a Φ en su topología de "función de prueba", se realiza como un espacio de distribuciones o funciones generalizadas de algún tipo, y los funcionales lineales en el subespacio Φ de tipo para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque suponemos que Φ es denso). $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Ahora, al aplicar el teorema de representación de Riesz, podemos identificar H ^* con H. Por lo tanto, la definición de espacio de Hilbert manipulado se expresa en términos de un sándwich: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Los ejemplos más significativos son aquellos para los que Φ es un espacio nuclear ; este comentario es una expresión abstracta de la idea de que Φ consiste en funciones de prueba y Φ* de las distribuciones correspondientes . También, un ejemplo simple lo dan los espacios de Sobolev : Aquí (en el caso más simple de espacios de Sobolev en ) donde . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$ ${\displaystyle s>0}$

Definición formal (triple de Gelfand)

Un espacio de Hilbert manipulado es un par ( H , Φ) con H un espacio de Hilbert, Φ un subespacio denso, tal que a Φ se le da una estructura de espacio vectorial topológico para la cual el mapa de inclusión i es continuo.

Identificando H con su espacio dual H ^* , el adjunto a i es la función $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

El emparejamiento de dualidad entre Φ y Φ ^* es entonces compatible con el producto interno en H , en el sentido de que: siempre que y . En el caso de espacios de Hilbert complejos, utilizamos un producto interno hermítico; será lineal complejo en u (convención matemática) o v (convención física), y lineal conjugado (antilineal complejo) en la otra variable. $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

El triple se denomina a menudo "triple de Gelfand" (en honor al matemático Israel Gelfand ). ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$

Nótese que aunque Φ es isomorfo a Φ ^* (a través de la representación de Riesz ), si sucede que Φ es un espacio de Hilbert por derecho propio, este isomorfismo no es lo mismo que la composición de la inclusión i con su adjunto i *. $${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Referencias

1. Minlos, RA (2001) [1994], "Espacio de Hilbert manipulado", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
2. Krasnoholovets, Volodymyr; Columbus, Frank H. (2004). Nueva investigación en física cuántica . Nova Science Publishers. pág. 79. ISBN 978-1-59454-001-1.

• J.-P. Antoine, Mecánica cuántica más allá del espacio de Hilbert (1996), publicado en Irreversibility and Causality, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Proporciona una descripción general del estudio). 
• J. Dieudonné , Éléments d'analyse VII (1978). (Ver párrafos 23.8 y 23.32)
• IM Gelfand y N. Ya. Vilenkin . Funciones generalizadas, vol. 4: Algunas aplicaciones del análisis armónico. Espacios de Hilbert manipulados. Academic Press, Nueva York, 1964.
• K. Maurin, Expansiones de funciones propias generalizadas y representaciones unitarias de grupos topológicos , Editores científicos polacos, Varsovia, 1968.
• R. de la Madrid, "Mecánica cuántica en el lenguaje espacial de Hilbert rigged", Tesis doctoral (2001).
• R. de la Madrid, "El papel del espacio de Hilbert amañado en la mecánica cuántica", Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph/0502053.