Disfenoides chato

Poliedro convexo con 12 caras triangulares

En geometría , el disfenoide romo es un poliedro convexo con 12 triángulos equiláteros como caras . Es un ejemplo de deltaedro y sólido de Johnson . Se puede construir con diferentes enfoques. Esta forma también tiene nombres alternativos: dodecaedro siamés , dodecaedro triangular , dodecaedro trigonal o dodecadeltahedro .

Las aplicaciones del disfenoide snub pueden visualizarse como un cúmulo de átomos que rodea a un átomo central, es decir, la geometría molecular dodecaédrica . Sus vértices pueden colocarse en una esfera y también pueden usarse como un potencial de Lennard-Jones mínimo posible entre todos los cúmulos de ocho esferas. El poliedro dual del disfenoide snub es el girobifastigio alargado .

Construcción

El disfenoide chato se puede construir de diferentes maneras. Como sugiere el nombre, el disfenoide chato se construye a partir de un disfenoide tetragonal cortando todas las aristas de sus caras y añadiendo triángulos equiláteros (los colores celestes de la siguiente imagen) que se tuercen en un cierto ángulo entre sí. ^{[ cita requerida ]} Este proceso de construcción se conoce como snubificación . ^[1]

Proceso de construcción de diesfenoide chato por esnubificación

El disfenoide chato también puede construirse a partir de una bipirámide triangular, cortando sus dos bordes a lo largo de los vértices. Estos vértices pueden empujarse uno hacia el otro dando como resultado que los dos nuevos vértices se alejen. ^[2] Alternativamente, el disfenoide chato puede construirse a partir de una bipirámide pentagonal cortando los dos bordes a lo largo de la que conecta la base de la bipirámide y luego insertando dos triángulos equiláteros entre ellos. ^[3] Otra forma de construir el disfenoide chato es comenzar desde el antiprisma cuadrado , reemplazando las dos caras cuadradas con pares de triángulos equiláteros. Otra construcción del disfenoide chato es como una girobianticúpula digonal . Tiene la misma topología y simetría pero sin triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices en un cuadrado en un plano central como dos anticúpulas unidas con simetría rotacional.

Se puede formar un modelo físico del disfenoide romo al doblar una red formada por 12 triángulos equiláteros (un diamante de 12 caras ), como se muestra en la figura. Una red alternativa sugerida por John Montroll tiene menos vértices cóncavos en su borde, lo que la hace más conveniente para la construcción de origami . ^[4]

Los ocho vértices del disfenoide romo pueden entonces recibir coordenadas cartesianas : Aquí, es la solución real positiva del polinomio cúbico . Las tres variables , , y es la expresión de: ^[5] Debido a que esta construcción implica la solución de una ecuación cúbica, el disfenoide romo no puede construirse con un compás y una regla , a diferencia de los otros siete deltaedros. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm t,r,0),&\qquad (0,-r,\pm t),\\(\pm 1,-s,0),&\qquad (0,s,\pm 1).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle q\approx 0.16902}$ ${\textstyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,\qquad s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,\qquad t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$$

Propiedades

Como consecuencia de tales construcciones, el disfenoide romo tiene 12 triángulos equiláteros. Un deltaedro es un poliedro en el que todas las caras son triángulos equiláteros. Hay ocho deltaedros convexos, uno de los cuales es el disfenoide romo. ^[6] De manera más general, el poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares son los sólidos de Johnson , y cada deltaedro convexo es sólido de Johnson. El disfenoide romo se encuentra entre ellos, enumerado como el 84.º sólido de Johnson . ^[7] El poliedro dual del disfenoide romo es el girobifastigio alargado . ${\displaystyle J_{84}}$

Medición

Un diesfenoide romo con una longitud de arista tiene un área de superficie: ^[8] el área de 12 triángulos equiláteros. Su volumen se puede calcular con la fórmula: ^[8] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A=3{\sqrt {3}}a^{2}\approx 5.19615a^{2},}$$ $${\displaystyle V\approx 0.85949a^{3}.}$$

Simetría y geodésica

Modelo 3D de un disfenoide chato

El disfenoide romo tiene las mismas simetrías que un disfenoide tetragonal , la simetría antiprismática de orden 8: tiene un eje de simetría rotacional de 180° a través de los puntos medios de sus dos bordes opuestos, dos planos perpendiculares de simetría de reflexión a través de este eje y cuatro operaciones de simetría adicionales dadas por una reflexión perpendicular al eje seguida de un cuarto de vuelta y posiblemente otra reflexión paralela al eje. ^[6] . ${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$

Hasta las simetrías y la traslación paralela, el disfenoide chato tiene cinco tipos de geodésicas cerradas simples (no autocruzadas) . Estas son trayectorias en la superficie del poliedro que evitan los vértices y localmente parecen la trayectoria más corta: siguen segmentos de línea recta a través de cada cara del poliedro que intersecan, y cuando cruzan una arista del poliedro forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes a la arista. Intuitivamente, uno podría estirar una banda elástica alrededor del poliedro a lo largo de esta trayectoria y permanecería en su lugar: no hay forma de cambiar localmente la trayectoria y hacerla más corta. Por ejemplo, un tipo de geodésica cruza las dos aristas opuestas del disfenoide chato en sus puntos medios (donde el eje de simetría sale del politopo) en un ángulo de . Un segundo tipo de geodésica pasa cerca de la intersección del difenoide romo con el plano que biseca perpendicularmente el eje de simetría (el ecuador del poliedro), cruzando los bordes de ocho triángulos en ángulos que se alternan entre y . Al desplazar una geodésica en la superficie del poliedro en una pequeña cantidad (lo suficientemente pequeña como para que el desplazamiento no haga que cruce ningún vértice) se conserva la propiedad de ser una geodésica y se conserva su longitud, por lo que ambos ejemplos tienen versiones desplazadas del mismo tipo que están colocadas de manera menos simétrica. Las longitudes de las cinco geodésicas cerradas simples en un difenoide romo con bordes de longitud unitaria son ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi /6}$

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(para la geodésica ecuatorial), , (para la geodésica que pasa por los puntos medios de los bordes opuestos), , y . ${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$

A excepción del tetraedro, que tiene infinitos tipos de geodésicas simples cerradas, el disfenoide romo tiene la mayor cantidad de tipos de geodésicas de cualquier deltaedro. ^[9]

Representación mediante el gráfico

El disfenoide romo es 4-conexo , lo que significa que se necesitan cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro únicos poliedros simpliciales bien cubiertos 4-conexos , lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son el octaedro regular , la bipirámide pentagonal y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. ^[10]

Aplicaciones

En el estudio de la química computacional y la física molecular , las esferas centradas en los vértices del disfenoide romo forman un cúmulo que, según experimentos numéricos, tiene el potencial de Lennard-Jones mínimo posible entre todos los cúmulos de ocho esferas. ^[5]

En la geometría de los compuestos químicos , un poliedro puede visualizarse como el conjunto de átomos que rodea a un átomo central. La geometría molecular dodecaédrica describe el conjunto del cual es un disfenoide romo. ^[11]

Historia y denominación

El nombre de disfenoide romo proviene de la clasificación de Johnson (1966) del sólido de Johnson . ^[12] Sin embargo, este sólido fue estudiado por primera vez por Rausenberger (1915). ^{[13] [14]} Fue estudiado nuevamente en el artículo de Freudenthal y van d. Waerden (1947), que describió por primera vez el conjunto de ocho deltaedros convexos y lo nombró dodecaedro siamés . ^{[15] [14]}

El nombre de dodecaedro fue dado a la misma forma por Bernal (1964), haciendo referencia a que se trata de un deltaedro de 12 lados. Existen otros dodecaedros simpliciales , como la bipirámide hexagonal , pero este es el único que se puede realizar con caras equiláteras. Bernal estaba interesado en las formas de los agujeros que quedan en arreglos irregulares y compactos de esferas, por lo que utilizó una definición restrictiva de deltaedro, en la que un deltaedro es un poliedro convexo con caras triangulares que puede formarse por los centros de una colección de esferas congruentes, cuyas tangencias representan aristas del poliedro, y tal que no hay espacio para empaquetar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Esta definición restrictiva no permite la bipirámide triangular (porque forma dos agujeros tetraédricos en lugar de un solo agujero), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede aparecer en empaquetamientos de esferas) y el icosaedro regular (porque tiene espacio interior para otra esfera). Bernal escribe que el disfenoide romo es "una coordinación muy común para el ion calcio en cristalografía ". ^[16] En geometría de coordinación, se lo conoce habitualmente como dodecaedro trigonal o simplemente como dodecaedro. ^{[2] [ cita requerida ]}

Referencias

1. Holme, Audun (2010), Geometría: nuestro patrimonio cultural, Springer, doi :10.1007/978-3-642-14441-7, ISBN 978-3-642-14441-7.
2. Hartshorne, Robin (2000), Geometría: Euclides y más allá, Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, pág. 457, ISBN 9780387986500.
3. Timofeenko, AV (2009), "Los poliedros no compuestos no platónicos y no arquimedianos", Journal of Mathematical Science , 162 (5): 725, doi :10.1007/s10958-009-9655-0, S2CID  120114341.
4. Montroll, John (2004), "Dodecadeltahedron", Una constelación de poliedros de origami , Dover Origami Papercraft Series, Dover Publications, Inc., págs. 38-40, ISBN 9780486439587.
5. Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Cúmulos de esferas duras de energía mínima", Geometría discreta y computacional , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734.
6. Cundy, H. Martyn (1952), "Deltahedra", The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi :10.2307/3608204, JSTOR  3608204, MR  0051525, S2CID  250435684.
7. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus acrónimos", Word Ways , 46 (3): 177
8. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
9. Lawson, Kyle A.; Parish, James L.; Traub, Cynthia M.; Weyhaupt, Adam G. (2013), "Coloración de gráficos para clasificar geodésicas cerradas simples en deltaedros convexos". (PDF) , Revista internacional de matemáticas puras y aplicadas , 89 (2): 123–139, doi : 10.12732/ijpam.v89i2.1 , Zbl  1286.05048.
10. Finbow, Arthur S.; Hartnell, Bert L.; Nowakowski, Richard J.; Plummer, Michael D. (2010), "Sobre triangulaciones bien cubiertas. III", Discrete Applied Mathematics , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR  2602814.
11. Burdett, Jeremy K.; Hoffmann, Roald; Fay, Robert C. (1978), "Ocho coordinaciones", Química inorgánica , 17 (9): 2553–2568, doi :10.1021/ic50187a041.
12. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
13. Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
14. Smith, James T. (2000), Métodos de geometría, John Wiley & Sons , pág. 420.
15. Freudenthal, H .; van d. Waerden, BL (1947), "Sobre una afirmación de Euclides", Simon Stevin , 25 : 115–121, SEÑOR  0021687.
16. Bernal, JD (1964), "La conferencia Bakerian, 1962. La estructura de los líquidos", Actas de la Royal Society of London , Serie A, Ciencias matemáticas y físicas, 280 (1382): 299–322, Bibcode :1964RSPSA.280..299B, doi :10.1098/rspa.1964.0147, JSTOR  2415872, S2CID  178710030.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Disfenoide romo". MathWorld .