En geometría , una cúpula es un sólido formado al unir dos polígonos , uno (la base) con el doble de aristas que el otro, mediante una banda alternada de triángulos isósceles y rectángulos . Si los triángulos son equiláteros y los rectángulos son cuadrados , mientras que la base y su cara opuesta son polígonos regulares , las cúpulas triangulares , cuadradas y pentagonales cuentan entre los sólidos de Johnson y pueden formarse tomando secciones del cuboctaedro , rombicuboctaedro , y rombicosidodecaedro , respectivamente.
Una cúpula puede verse como un prisma donde uno de los polígonos se ha colapsado por la mitad fusionando vértices alternos.
A una cúpula se le puede dar un símbolo de Schläfli extendido { n } || t{ n }, que representa un polígono regular { n } unido por un paralelo de su truncamiento , t{ n } o {2 n }.
Las cúpulas son una subclase de los prismatoides .
Su dual contiene una forma que es una especie de soldadura entre la mitad de un trapezoedro de n lados y una pirámide de 2 n lados .
Los tres poliedros antes mencionados son las únicas cúpulas convexas no triviales con caras regulares: la " cúpula hexagonal " es una figura plana, y el prisma triangular podría considerarse una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento de recta y un cuadrado). Sin embargo, se pueden construir cúpulas de polígonos de mayor grado con caras triangulares y rectangulares irregulares .
La definición de cúpula no requiere que la base (o el lado opuesto a la base, que puede llamarse cima) sea un polígono regular, pero conviene considerar el caso en el que la cúpula tiene su máxima simetría, C n v . En ese caso, la parte superior es un n -gon regular, mientras que la base es un 2 n -gon regular o un 2 n -gon que tiene dos longitudes de lados diferentes alternadas y los mismos ángulos que un 2 n -gon regular. Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de modo que la base se encuentre en el plano xy y la parte superior en un plano paralelo al plano xy . El eje z es el eje n veces, y los planos especulares pasan por el eje z y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o los ángulos del polígono superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos especulares bisecan los lados del polígono superior y la mitad bisecan los ángulos, mientras que si n es impar, cada plano especular biseca un lado y un ángulo del polígono superior). Los vértices de la base se pueden designar de a , mientras que los vértices del polígono superior se pueden designar de a Con estas convenciones, las coordenadas de los vértices se pueden escribir como:
para j = 1, 2, ..., norte .
Dado que los polígonos etc. son rectángulos, esto impone una restricción a los valores de La distancia es igual a
mientras que la distancia es igual a
Estos deben ser iguales, y si este borde común se denota por s ,
Estos valores deben insertarse en las expresiones para las coordenadas de los vértices dadas anteriormente.
Existen cúpulas estelares para cualquier base superior { n / d } donde 6/5 < n / d < 6 y d es impar. En estos límites, las cúpulas se colapsan en figuras planas. Más allá de estos límites, los triángulos y los cuadrados ya no pueden abarcar la distancia entre los dos polígonos base (todavía se puede hacer con triángulos isósceles no equiláteros y rectángulos no cuadrados). Si d es par, la base inferior {2 n / d } se degenera; entonces podemos formar una cupoide o semicúpula retirando esta cara degenerada y dejando que los triángulos y cuadrados se conecten entre sí aquí (a través de aristas simples) en lugar de con la base inferior tardía (a través de sus aristas dobles). En particular, el tetrahemihexaedro puede verse como un cupoloide {3/2} .
Todas las cúpulas son orientables , mientras que los cupoloides no son orientables. Para un cupoloide, si n / d > 2 , entonces los triángulos y cuadrados no cubren toda la (única) base, y se coloca una pequeña membrana en esta base { n / d } -gon que simplemente cubre el espacio vacío. Por lo tanto, los cupoloides {5/2} y {7/2} que se muestran arriba tienen membranas (no rellenas), mientras que los cupoloides {5/4} y {7/4} que se muestran arriba no las tienen.
La altura h de una cúpula o cupoloide { n / d } viene dada por la fórmula: En particular, h = 0 en los límites n / d = 6 y n / d = 6/5 , y h se maximiza en n / d = 2 (en la cúpula digonal : el prisma triangular, donde los triángulos están verticales). [1] [2]
En las imágenes de arriba, a las cúpulas de las estrellas se les ha dado un esquema de color consistente para ayudar a identificar sus caras: la base { n / d } -gon es roja, la base {2 n / d } -gon es amarilla, los cuadrados son azules , y los triángulos son verdes. Los cupoloides tienen el góndo de base { n / d } rojo, los cuadrados amarillos y los triángulos azules, ya que se ha retirado la base {2 n / d } -gon.
Las hipercúpulas o cúpulas poliédricas son una familia de policoras convexas no uniformes (aquí figuras de cuatro dimensiones), análogas a las cúpulas. Las bases de cada uno son un sólido platónico y su expansión . [3]
![{\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n} }+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[ 2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left ({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\ porque {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9115be8c669d2bcc7ed3166bd318fbcd1f464061)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right ]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt ]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\ tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \ right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt { 2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7726b4817c42ee9a014c8562fa0a4b796e83b0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{ \tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\ porque {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\ sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b3d6c41adad4a5830a78883114efa0b0314187)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2 \alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n} }\right]}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708562f3c88c7adfcd25bf632d98106c0abe8e62)
