En matemáticas, una superficie de género g (también conocida como g -toro o g- toro con agujeros ) es una superficie formada por la suma conexa de g toros distintos : se retira el interior de un disco de cada uno de los g toros distintos y se identifican (se pegan) los límites de los g discos, formando un g -toro. El género de una superficie de este tipo es g .
Una superficie de género g es una variedad bidimensional . El teorema de clasificación de superficies establece que toda variedad bidimensional compacta y conexa es homeomorfa a la esfera, a la suma conexa de toros o a la suma conexa de planos proyectivos reales .
El género de una superficie orientable conexa es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se intersecan sin que la variedad resultante quede desconectada. [1] Es igual al número de puntos de control que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ = 2 − 2 g para superficies cerradas , donde g es el género.
El género (a veces llamado semigénero o género de Euler) de una superficie cerrada no orientable y conexa es un número entero positivo que representa el número de casquetes cruzados unidos a una esfera. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ = 2 − g , donde g es el género no orientable.
Una superficie orientable de género cero es la esfera S 2 . Otra superficie de género cero es el disco .
Una superficie orientable de género uno es el toro ordinario. Una superficie no orientable de género uno es el plano proyectivo . [2]
Las curvas elípticas sobre los números complejos pueden identificarse con superficies de género 1. La formulación de curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se desprende naturalmente de una propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass que permite obtener curvas elípticas a partir del cociente del plano complejo por una red . [3]
El término toro doble se utiliza ocasionalmente para denotar una superficie de género 2. [4] [5] Una superficie no orientable de género dos es la botella de Klein .
La superficie de Bolza es la superficie de Riemann más simétrica del género 2, en el sentido de que tiene el grupo de automorfismos conformes más grande posible . [6]
El término triple toro también se utiliza ocasionalmente para designar una superficie de género 3. [7] [5]
La cuártica de Klein es una superficie de Riemann compacta de género 3 con el grupo de automorfismos de mayor orden posible para superficies de Riemann compactas de género 3. Tiene 168 automorfismos que preservan la orientación y 336 automorfismos en total.
![Dodecágono con aristas opuestas identificadas[8]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Dodecagon_with_opposite_faces_identified.svg/1280px-Dodecagon_with_opposite_faces_identified.svg.png)
![Tetradecágono con aristas opuestas identificadas[8]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/14-gon_with_opposite_faces_identified.svg/1280px-14-gon_with_opposite_faces_identified.svg.png)
