Distribución triangular

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución triangular es una distribución de probabilidad continua con límite inferior a , límite superior b y modo c , donde a < b y a ≤ c ≤ b .

Casos especiales

Modo a un ritmo

La distribución se simplifica cuando c = a o c = b . Por ejemplo, si a = 0, b = 1 y c = 1, entonces PDF y CDF se convierten en:

\left.{\begin{array}{rl}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{array}}\right\}{\text{ for }}0\leq x\leq 1

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}

Distribución de la diferencia absoluta de dos variables uniformes estándar.

Esta distribución para a = 0, b = 1 y c = 0 es la distribución de X = | X ₁ − X ₂ |, donde X ₁ , X ₂ son dos variables aleatorias independientes con distribución uniforme estándar .

{\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}

Distribución triangular simétrica

El caso simétrico surge cuando c = ( a + b ) / 2. En este caso, una forma alternativa de la función de distribución es:

{\begin{aligned}f(x)&={\frac {(b-c)-|c-x|}{(b-c)^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}

Distribución de la media de dos variables uniformes estándar.

Esta distribución para a = 0, b = 1 y c = 0,5 (la moda (es decir, el pico) está exactamente en el medio del intervalo) corresponde a la distribución de la media de dos variables uniformes estándar, es decir, la distribución de X = ( X ₁ + X ₂ ) / 2, donde X ₁ , X ₂ son dos variables aleatorias independientes con distribución uniforme estándar en [0, 1]. ^[1] Es el caso de la distribución de Bates para dos variables.

f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}

F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}

{\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}

Generando variables aleatorias distribuidas triangularmente

Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (0, 1), entonces la variable

X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}

^[2]

donde , tiene una distribución triangular con parámetros y . Esto se puede obtener de la función de distribución acumulativa. $F(c)=(c-a)/(b-a)$ $a,b$ $c$

Uso de la distribución

La distribución triangular se utiliza típicamente como una descripción subjetiva de una población para la cual sólo hay datos de muestra limitados, y especialmente en casos donde se conoce la relación entre las variables pero los datos son escasos (posiblemente debido al alto costo de recolección). Se basa en un conocimiento del mínimo y máximo y una "conjetura inspirada" ^[3] en cuanto al valor modal. Por estas razones, la distribución triangular se ha denominado distribución de "falta de conocimiento".

Simulaciones de negocios

Por lo tanto, la distribución triangular se utiliza a menudo en la toma de decisiones empresariales , especialmente en simulaciones . Generalmente, cuando no se sabe mucho sobre la distribución de un resultado (por ejemplo, sólo sus valores más pequeño y más grande), es posible utilizar la distribución uniforme . Pero si también se conoce el resultado más probable, entonces el resultado puede simularse mediante una distribución triangular. Véase, por ejemplo, el apartado de finanzas corporativas .

Gestión de proyectos

La distribución triangular, junto con la distribución PERT , también se usa ampliamente en la gestión de proyectos (como entrada a PERT y, por lo tanto, al método de ruta crítica (CPM)) para modelar eventos que tienen lugar dentro de un intervalo definido por un valor mínimo y máximo.

Tramado de audio

La distribución triangular simétrica se utiliza habitualmente en el tramado de audio , donde se denomina TPDF (función de densidad de probabilidad triangular).

Ver también

Distribución trapezoidal
Thomas Simpson
Estimación de tres puntos
Resumen de cinco números
Resumen de siete números
función triangular
Teorema del límite central : la distribución triangular a menudo ocurre como resultado de sumar dos variables aleatorias uniformes. En otras palabras, la distribución triangular es a menudo (no siempre) el resultado de la primera iteración del proceso de suma del teorema del límite central (es decir ). En este sentido, la distribución triangular puede ocurrir ocasionalmente de forma natural. Si este proceso de sumar más variables aleatorias continúa (es decir ), entonces la distribución tendrá cada vez más forma de campana. ${\textstyle n=2}$ ${\textstyle n\geq 3}$
Distribución de Irwin-Hall : utilizar una distribución de Irwin-Hall es una forma sencilla de generar una distribución triangular.
Distribución de Bates : similar a la distribución de Irwin-Hall, pero con los valores reescalados al rango de 0 a 1. Útil para calcular una distribución triangular que posteriormente se puede cambiar de escala y desplazar para crear otras distribuciones triangulares fuera del rango de 0 a 1.

Referencias

^ Kotz, Samuel; Dorp, Johan René Van (8 de diciembre de 2004). Más allá de Beta: otras familias continuas de distribuciones con soporte y aplicaciones limitadas. Científico mundial. ISBN 978-981-4481-24-3.
^ "Copia archivada" (PDF) . www.asianscientist.com . Archivado desde el original (PDF) el 7 de abril de 2014 . Consultado el 12 de enero de 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de septiembre de 2006 . Consultado el 23 de septiembre de 2006 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Distribución triangular". MundoMatemático .
Distribución triangular, decisionsciences.org
Distribución triangular, brighton-webs.co.uk
Prueba de la varianza de la distribución triangular, math.stackexchange.com