Distribución gamma generalizada

La distribución gamma generalizada es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros de forma (y un parámetro de escala ). Es una generalización de la distribución gamma que tiene un parámetro de forma (y un parámetro de escala). Dado que muchas distribuciones que se utilizan habitualmente para los modelos paramétricos en el análisis de supervivencia (como la distribución exponencial , la distribución de Weibull y la distribución gamma ) son casos especiales de la distribución gamma generalizada, a veces se utiliza para determinar qué modelo paramétrico es apropiado para un conjunto de datos determinado. ^[1] Otro ejemplo es la distribución seminormal .

Características

La distribución gamma generalizada tiene dos parámetros de forma , y , y un parámetro de escala , . Para x no negativo de una distribución gamma generalizada, la función de densidad de probabilidad es ^[2] $d>0$ $p>0$ $a>0$

f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},

donde denota la función gamma . $\Gamma (\cdot )$

La función de distribución acumulativa es

F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{o}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);

donde denota la función gamma incompleta inferior , y denota la función gamma incompleta inferior regularizada . $\gamma (\cdot )$ $P(\cdot ,\cdot )$

La función cuantil se puede hallar observando que donde es la función de distribución acumulativa de la distribución gamma con parámetros y . La función cuantil se obtiene entonces invirtiendo utilizando relaciones conocidas sobre la inversa de funciones compuestas , lo que da como resultado: $F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})$ ${\estilo de visualización G}$ $\alpha = d/p$ $\beta = 1$ ${\estilo de visualización F}$

F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},

siendo la función cuantil para una distribución gamma con . $Estilo de visualización G-1(q)$ $\alpha = d/p,\,\beta = 1$

Distribuciones relacionadas

Si entonces la distribución gamma generalizada se convierte en la distribución de Weibull . $d=p$
Si la gamma generalizada se convierte en la distribución gamma . $p=1$
Si entonces se convierte en la distribución exponencial . $p=d=1$
Si entonces se convierte en la distribución de Rayleigh . $p=d=2$
Si y entonces se convierte en la distribución de Nakagami . ${\estilo de visualización p=2}$ ${\estilo de visualización d=2m}$
Si y entonces se convierte en una distribución seminormal . ${\estilo de visualización p=2}$ ${\estilo de visualización d=1}$

A veces se utilizan parametrizaciones alternativas de esta distribución; por ejemplo, con la sustitución α = d/p . ^[3] Además, se puede añadir un parámetro de desplazamiento, de modo que el dominio de x comience en algún valor distinto de cero. ^[3] Si también se eliminan las restricciones sobre los signos de a , d y p (pero α = d / p sigue siendo positivo), se obtiene una distribución denominada distribución Amoroso , en honor al matemático y economista italiano Luigi Amoroso, que la describió en 1925. ^[4]

Momentos

Si X tiene una distribución gamma generalizada como la anterior, entonces ^[3]

\operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.

Propiedades

Denotemos GG(a,d,p) como la distribución gamma generalizada de los parámetros a , d , p . Entonces, dados y dos números reales positivos, si , entonces y . ${\estilo de visualización c}$ ${\estilo de visualización \alpha}$ $f\sim GG(a,d,p)$ $cf\sim GG(ca,d,p)$ $f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)$

Divergencia de Kullback-Leibler

Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones gamma generalizadas, entonces su divergencia de Kullback-Leibler está dada por $estilo de visualización f_{1}}$ $estilo de visualización f_{2}}$

{\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}

¿Dónde está la función digamma ? ^[5] $\psi (\cdot )$

Implementación de software

En el lenguaje de programación R , hay algunos paquetes que incluyen funciones para ajustar y generar distribuciones gamma generalizadas. El paquete gamlss en R permite ajustar y generar muchas familias de distribuciones diferentes, incluida la gamma generalizada (familia=GG). Otras opciones en R, implementadas en el paquete flexsurv , incluyen la función dgengamma , con parametrización: , , , y en el paquete ggamma con parametrización: , , . $\mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}$ $\sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}$ $Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}$ $a=a$ $b=p$ $k=d/p$

En el lenguaje de programación Python , se implementa en el paquete SciPy , con parametrización: , , y escala de 1. $c=p$ $a=d/p$

Véase también

Referencias

^ Box-Steffensmeier, Janet M.; Jones, Bradford S. (2004) Modelado de historial de eventos: una guía para científicos sociales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-54673-7 (págs. 41-43)
^ Stacy, EW (1962). "Una generalización de la distribución gamma". Anales de estadística matemática 33(3): 1187-1192. JSTOR 2237889
^ abc Johnson, NL; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 , 2.ª edición. Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (Sección 17.8.7)
^ Gavin E. Crooks (2010), La distribución amorosa, Nota técnica, Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley.
^ C. Bauckhage (2014), Cálculo de la divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones gamma generalizadas, arXiv :1401.6853.