Distribución de Rayleigh

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para variables aleatorias de valor no negativo . Hasta el reescalado, coincide con la distribución chi con dos grados de libertad . La distribución recibe su nombre de Lord Rayleigh ( / ˈr eɪ l i / ) . ^[1]

Una distribución de Rayleigh se observa a menudo cuando la magnitud total de un vector en el plano está relacionada con sus componentes direccionales . Un ejemplo en el que la distribución de Rayleigh surge de forma natural es cuando se analiza la velocidad del viento en dos dimensiones . Suponiendo que cada componente no está correlacionado , se distribuye normalmente con varianza igual y media cero , lo que es poco frecuente, entonces la velocidad total del viento ( magnitud del vector ) se caracterizará por una distribución de Rayleigh. Un segundo ejemplo de la distribución surge en el caso de números complejos aleatorios cuyos componentes reales e imaginarios se distribuyen de forma independiente e idéntica de forma gaussiana con varianza igual y media cero. En ese caso, el valor absoluto del número complejo se distribuye de forma Rayleigh.

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Rayleigh es ^[2]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

donde es el parámetro de escala de la distribución. La función de distribución acumulativa es ^[2] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

para ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

Relación con la longitud del vector aleatorio

Consideremos el vector bidimensional que tiene componentes que se distribuyen normalmente de forma bivariada , centrados en cero, con varianzas iguales e independientes. Entonces y tienen funciones de densidad ${\displaystyle Y=(U,V)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

Sea la longitud de . Es decir, entonces tiene función de distribución acumulativa ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

¿Dónde está el disco? ${\displaystyle D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}$

Escribiendo la integral doble en coordenadas polares , se convierte en

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

Finalmente, la función de densidad de probabilidad para es la derivada de su función de distribución acumulativa, que por el teorema fundamental del cálculo es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

que es la distribución de Rayleigh. Es fácil generalizar a vectores de dimensión distinta de 2. También hay generalizaciones cuando los componentes tienen varianzas o correlaciones desiguales ( distribución de Hoyt ), o cuando el vector Y sigue una distribución t de Student bivariada (véase también: distribución T-cuadrado de Hotelling ). ^[3]

Propiedades

Los momentos crudos vienen dados por:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma (z)}$

La media de una variable aleatoria de Rayleigh es entonces:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

La desviación estándar de una variable aleatoria de Rayleigh es:

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma }$

La varianza de una variable aleatoria de Rayleigh es:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

El modo es y el pdf máximo es ${\displaystyle \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

La asimetría viene dada por:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

El exceso de curtosis viene dado por:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

La función característica viene dada por:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

donde es la función de error imaginaria . La función generadora de momentos está dada por ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

¿Dónde está la función de error ? ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

Entropía diferencial

La entropía diferencial está dada por ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

¿Dónde está la constante de Euler-Mascheroni ? ${\displaystyle \gamma }$

Estimación de parámetros

Dada una muestra de N variables aleatorias de Rayleigh independientes e idénticamente distribuidas con parámetro , ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$es la estimación de máxima verosimilitud y además es independiente .

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$es un estimador sesgado que se puede corregir mediante la fórmula

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4] , donde c 4 es el factor de corrección utilizado para corregir el sesgo en las estimaciones de la desviación estándar para variables aleatorias normales . ${\displaystyle ={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}}$

Intervalos de confianza

Para encontrar el intervalo de confianza (1 −  α ), primero encuentre los límites donde: ${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2}$

entonces el parámetro de escala caerá dentro de los límites

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

Generando variables aleatorias

Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (0, 1), entonces la variable

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

tiene una distribución de Rayleigh con parámetro . Esto se obtiene aplicando el método de muestreo por transformada inversa . ${\displaystyle \sigma }$

Distribuciones relacionadas

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$se distribuye Rayleigh si , donde y son variables aleatorias normales independientes . ^[6] Esto motiva el uso del símbolo en la parametrización anterior de la densidad de Rayleigh. ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$
• La magnitud de una variable estándar compleja distribuida normalmente z tiene una distribución de Rayleigh. ${\displaystyle |z|}$
• La distribución chi con v  = 2 es equivalente a la distribución de Rayleigh con  σ  = 1: ${\displaystyle R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .}$
• Si , entonces tiene una distribución chi-cuadrado con 2 grados de libertad: ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle [Q=R(\sigma )^{2}]\sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .}$
• Si , entonces tiene una distribución gamma con parámetros y ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

  ${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right).}$

• La distribución de Rice es una generalización no central de la distribución de Rayleigh: . ${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$
• La distribución de Weibull con el parámetro de forma k  = 2 produce una distribución de Rayleigh. Entonces, el parámetro de la distribución de Rayleigh está relacionado con el parámetro de escala de Weibull según ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• Si tiene una distribución exponencial , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$ ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$
• La distribución seminormal es el equivalente unidimensional de la distribución de Rayleigh.
• La distribución de Maxwell-Boltzmann es el equivalente tridimensional de la distribución de Rayleigh.

Aplicaciones

Una aplicación de la estimación de σ se puede encontrar en la resonancia magnética (MRI). Como las imágenes de MRI se registran como imágenes complejas pero la mayoría de las veces se visualizan como imágenes de magnitud, los datos de fondo tienen una distribución de Rayleigh. Por lo tanto, la fórmula anterior se puede utilizar para estimar la varianza del ruido en una imagen de MRI a partir de los datos de fondo. ^{[7] [8]}

La distribución de Rayleigh también se ha utilizado en el campo de la nutrición para relacionar los niveles de nutrientes en la dieta con las respuestas de los seres humanos y los animales . De esta manera, el parámetro σ puede utilizarse para calcular la relación entre la respuesta a los nutrientes. ^[9]

En el campo de la balística , la distribución de Rayleigh se utiliza para calcular el error circular probable , una medida de la precisión de un arma.

En oceanografía física , la distribución de la altura significativa de las olas sigue aproximadamente una distribución de Rayleigh. ^[10]

Véase también

• Error circular probable
• Desvanecimiento de Rayleigh
• Distribución de mezclas de Rayleigh
• Distribución de arroz

Referencias

1. "La teoría ondulatoria de la luz", Encyclopedic Britannica 1888; "El problema del paseo aleatorio", Nature 1905 vol.72 p.318
2. Papoulis, Atanasio; Pillai, S. (2001) Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . ISBN  0073660116 , ISBN 9780073660110 ^{[ página necesaria ]} 
3. Röver, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para detección robusta de señales". Physical Review D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bibliográfico :2011PhRvD..84l2004R. doi :10.1103/physrevd.84.122004.
4. Siddiqui, MM (1964) "Inferencia estadística para distribuciones de Rayleigh", The Journal of Research of the National Bureau of Standards, Sec. D: Radio Science, vol. 68D, n.º 9, pág. 1007
5. Siddiqui, MM (1961) "Algunos problemas relacionados con las distribuciones de Rayleigh", Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas, sección D: Propagación de radio, vol. 66D, n.º 2, pág. 169
6. Hogema, Jeroen (2005) "Estadísticas de grupos de tiro"
7. Sijbers, J.; den Dekker, AJ; Raman, E.; Van Dyck, D. (1999). "Estimación de parámetros a partir de imágenes de RM de magnitud". Revista internacional de sistemas y tecnología de imágenes . 10 (2): 109–114. CiteSeerX 10.1.1.18.1228 . doi :10.1002/(sici)1098-1098(1999)10:2<109::aid-ima2>3.0.co;2-r. 
8. den Dekker, AJ; Sijbers, J. (2014). "Distribuciones de datos en imágenes de resonancia magnética: una revisión". Physica Medica . 30 (7): 725–741. doi :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
9. Ahmadi, Hamed (21 de noviembre de 2017). "Una función matemática para la descripción de la curva de respuesta a nutrientes". PLOS ONE . ​​12 (11): e0187292. Bibcode :2017PLoSO..1287292A. doi : 10.1371/journal.pone.0187292 . ISSN  1932-6203. PMC 5697816 . PMID  29161271. 
10. "Distribución de probabilidad de Rayleigh aplicada a alturas de olas aleatorias" (PDF) . Academia Naval de los Estados Unidos.