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Distribución de arroz

En el plano 2D, elija un punto fijo a una distancia ν del origen. Genere una distribución de puntos 2D centrados alrededor de ese punto, donde las coordenadas x e y se elijan independientemente de una distribución gaussiana con desviación estándar σ (región azul). Si R es la distancia desde estos puntos hasta el origen, entonces R tiene una distribución de Rice.

En teoría de la probabilidad , la distribución de Rice o distribución riciana (o, con menos frecuencia, distribución riceana ) es la distribución de probabilidad de la magnitud de una variable aleatoria normal bivariada simétrica circularmente , posiblemente con media distinta de cero (no central). Recibe su nombre en honor a Stephen O. Rice (1907–1986).

Caracterización

La función de densidad de probabilidad es

donde I 0 ( z ) es la función de Bessel modificada de primer tipo con orden cero.

En el contexto del desvanecimiento de Rician , la distribución a menudo también se reescribe utilizando el parámetro de forma , definido como la relación entre las contribuciones de potencia por ruta de línea de visión y los trayectos múltiples restantes, y el parámetro de escala , definido como la potencia total recibida en todas las rutas. [1]

La función característica de la distribución de Rice se da como: [2] [3]

donde es una de las funciones hipergeométricas confluentes de Horn con dos variables y convergente para todos los valores finitos de y . Está dada por: [4] [5]

dónde

es el factorial ascendente .

Propiedades

Momentos

Los primeros momentos crudos son:

y, en general, los momentos crudos vienen dados por

Aquí L q ( x ) denota un polinomio de Laguerre :

donde es la función hipergeométrica confluente de primera especie. Cuando k es par, los momentos en bruto se convierten en polinomios simples en σ y ν , como en los ejemplos anteriores.

Para el caso q = 1/2:

El segundo momento central , la varianza , es

Tenga en cuenta que indica el cuadrado del polinomio de Laguerre , no el polinomio de Laguerre generalizado.

Distribuciones relacionadas

Casos limitantes

Para valores grandes del argumento, el polinomio de Laguerre se convierte en [8]

Se observa que a medida que ν se vuelve grande o σ se vuelve pequeño, la media se convierte en ν y la varianza se convierte en σ 2 .

La transición a una aproximación gaussiana se realiza de la siguiente manera. De la teoría de funciones de Bessel tenemos

Así, en la región grande, una expansión asintótica de la distribución riciana:

Además, cuando la densidad se concentra alrededor y debido al exponente gaussiano, también podemos escribir y finalmente obtener la aproximación Normal

La aproximación se vuelve utilizable para

Estimación de parámetros (técnica de inversión de Koay)

Existen tres métodos diferentes para estimar los parámetros de la distribución de Rice, (1) método de momentos , [9] [10] [11] [12] (2) método de máxima verosimilitud , [9] [10] [11] [13] y (3) método de mínimos cuadrados. [ cita requerida ] En los dos primeros métodos el interés está en estimar los parámetros de la distribución, ν y σ, a partir de una muestra de datos. Esto se puede hacer utilizando el método de momentos, por ejemplo, la media de la muestra y la desviación estándar de la muestra. La media de la muestra es una estimación de μ 1 ' y la desviación estándar de la muestra es una estimación de μ 2 1/2 .

El siguiente es un método eficiente, conocido como la "técnica de inversión de Koay". [14] para resolver las ecuaciones de estimación , basadas en la media de la muestra y la desviación estándar de la muestra, simultáneamente. Esta técnica de inversión también se conoce como la fórmula de punto fijo de SNR . Los trabajos anteriores [9] [15] sobre el método de momentos generalmente utilizan un método de búsqueda de raíces para resolver el problema, que no es eficiente.

En primer lugar, la relación entre la media de la muestra y la desviación estándar de la muestra se define como r , es decir, . La fórmula de punto fijo de la relación señal-ruido se expresa como

donde es la relación de los parámetros, es decir , y viene dada por:

donde y son funciones de Bessel modificadas del primer tipo .

Tenga en cuenta que es un factor de escala de y está relacionado con:

Para encontrar el punto fijo, , de , se selecciona una solución inicial, , que es mayor que el límite inferior, que es y ocurre cuando [14] (Observe que este es el de una distribución de Rayleigh). Esto proporciona un punto de partida para la iteración, que utiliza la composición funcional, [ aclaración necesaria ] y esto continúa hasta que es menor que algún pequeño valor positivo. Aquí, denota la composición de la misma función, , veces. En la práctica, asociamos el final para algún entero como el punto fijo, , es decir, .

Una vez encontrado el punto fijo, las estimaciones y se encuentran a través de la función de escala, , de la siguiente manera:

y

Para acelerar aún más la iteración, se puede utilizar el método de Newton para encontrar raíces. [14] Este enfoque particular es muy eficiente.

Aplicaciones

Véase también

Referencias

  1. ^ Abdi, A. y Tepedelenlioglu, C. y Kaveh, M. y Giannakis, G., "Sobre la estimación del parámetro K para la distribución de desvanecimiento de Rice", IEEE Communications Letters , marzo de 2001, pág. 92-94
  2. ^ Liu 2007 (en una de las funciones hipergeométricas confluentes de Horn con dos variables).
  3. ^ Annamalai 2000 (en una suma de series infinitas).
  4. ^ Erdelyi 1953.
  5. ^ Srivastava 1985.
  6. ^ Richards, MA, Distribución de arroz para RCS, Instituto de Tecnología de Georgia (septiembre de 2006)
  7. ^ Jones, Jessica L., Joyce McLaughlin y Daniel Renzi. "Distribución del ruido en una imagen de velocidad de onda transversal calculada utilizando tiempos de llegada a posiciones espaciales fijas". Inverse Problems 33.5 (2017): 055012.
  8. ^ Abramowitz y Stegun (1968) §13.5.1
  9. ^abc Talukdar y otros 1991
  10. ^ de Bonny y otros 1996
  11. ^ por Sijbers y otros 1998
  12. ^ por Dekker y Sijbers 2014
  13. ^ Varadarajan y Haldar 2015
  14. ^ abc Koay et al. 2006 (conocida como la fórmula de punto fijo SNR).
  15. ^ Abdi 2001
  16. ^ "Ballistipedia" . Consultado el 4 de mayo de 2014 .
  17. ^ Beaulieu, Norman C; Hemachandra, Kasun (septiembre de 2011). "Nuevas representaciones para la distribución bivariada de Rician". IEEE Transactions on Communications . 59 (11): 2951–2954. doi :10.1109/TCOMM.2011.092011.090171. S2CID  1221747.
  18. ^ Dharmawansa, Prathapasinghe; Rajatheva, Nandana; Tellambura, Chinthananda (marzo de 2009). "Nueva representación en serie para la distribución trivariada de chi cuadrado no central" (PDF) . Transacciones IEEE sobre Comunicaciones . 57 (3): 665–675. CiteSeerX 10.1.1.582.533 . doi :10.1109/TCOMM.2009.03.070083. S2CID  15706035. 
  19. ^ Laskar, J. (1 de julio de 2008). "Difusión caótica en el Sistema Solar". Icarus . 196 (1): 1–15. arXiv : 0802.3371 . Bibcode :2008Icar..196....1L. doi :10.1016/j.icarus.2008.02.017. ISSN  0019-1035. S2CID  11586168.

Lectura adicional

Enlaces externos