Distribución de rebabas

En teoría de probabilidad , estadística y econometría , la distribución Burr tipo XII o simplemente distribución Burr ^[2] es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . También se la conoce como distribución Singh-Maddala ^[3] y es una de varias distribuciones diferentes a las que a veces se denomina " distribución log-logística generalizada ".

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La distribución Burr (Tipo XII) tiene una función de densidad de probabilidad : ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

El parámetro escala la variable subyacente y es un real positivo. ${\displaystyle \lambda }$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Aplicaciones

Se utiliza más comúnmente para modelar los ingresos familiares , véase por ejemplo: Ingresos familiares en EE. UU. y compárese con el gráfico magenta a la derecha.

Generación de variables aleatorias

Dada una variable aleatoria extraída de la distribución uniforme en el intervalo , la variable aleatoria ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(0,1\right)}$

${\displaystyle X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}}$

tiene una distribución Burr Tipo XII con parámetros , y . Esto se desprende de la función de distribución acumulativa inversa dada anteriormente. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Distribuciones relacionadas

• Cuando c = 1, la distribución de Burr se convierte en la distribución de Lomax .

• Cuando k = 1, la distribución de Burr es una distribución log-logística a veces denominada distribución de Fisk , un caso especial de la distribución de Champernowne . ^{[6] [7]}

• La distribución Burr Tipo XII es miembro de un sistema de distribuciones continuas introducido por Irving W. Burr (1942), que comprende 12 distribuciones. ^[8]

• La distribución Dagum , también conocida como distribución inversa de Burr, es la distribución de 1/ X , donde X tiene la distribución de Burr.

Referencias

1. Nadarajah, S.; Pogány, TK; Saxena, RK (2012). "Sobre la función característica para distribuciones de Burr". Estadísticas . 46 (3): 419–428. doi :10.1080/02331888.2010.513442. S2CID  120848446.
2. Burr, IW (1942). "Funciones de frecuencia acumulativa". Anales de estadística matemática . 13 (2): 215–232. doi : 10.1214/aoms/1177731607 . JSTOR  2235756.
3. Singh, S.; Maddala, G. (1976). "Una función para la distribución del tamaño de los ingresos". Econometrica . 44 (5): 963–970. doi :10.2307/1911538. JSTOR  1911538.
4. Maddala, GS (1996) [1983]. Variables cualitativas y de dependencia limitada en econometría . Cambridge University Press. ISBN 0-521-33825-5.
5. Tadikamalla, Pandu R. (1980), "Una mirada a Burr y distribuciones relacionadas", International Statistical Review , 48 (3): 337–344, doi :10.2307/1402945, JSTOR  1402945
6. C. Kleiber y S. Kotz (2003). Distribuciones estadísticas de tamaño en economía y ciencias actuariales . Nueva York: Wiley.Consulte las secciones 7.3 "Distribución de Champernowne" y 6.4.1 "Distribución de Fisk".
7. Champernowne, DG (1952). "La graduación de las distribuciones de ingresos". Econometrica . 20 (4): 591–614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
8. Véase Kleiber y Kotz (2003), Tabla 2.4, pág. 51, "Las distribuciones de Burr".

Lectura adicional

• Rodríguez, RN (1977). "Una guía para las distribuciones de Burr Tipo XII". Biometrika . 64 (1): 129–134. doi :10.1093/biomet/64.1.129.

Enlaces externos

• John (16 de febrero de 2023). "Las otras distribuciones de Burr". www.johndcook.com .