Distribución de rebabas

En teoría de la probabilidad , estadística y econometría , la distribución Burr Tipo XII o simplemente distribución Burr ^[2] es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . También se conoce como distribución Singh-Maddala ^[3] y es una de varias distribuciones diferentes, a veces denominadas " distribución log-logística generalizada ".

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La distribución Burr (Tipo XII) tiene una función de densidad de probabilidad : ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

El parámetro escala la variable subyacente y es un real positivo. ${\displaystyle \lambda }$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Aplicaciones

Se utiliza más comúnmente para modelar los ingresos del hogar ; consulte, por ejemplo: Ingresos del hogar en EE. UU. y compárelo con el gráfico magenta de la derecha.

Generación de variables aleatorias

Dada una variable aleatoria extraída de la distribución uniforme en el intervalo , la variable aleatoria ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(0,1\right)}$

${\displaystyle X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}}$

tiene una distribución Burr Type XII con parámetros , y . Esto se desprende de la función de distribución acumulativa inversa dada anteriormente. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Distribuciones relacionadas

• Cuando c = 1, la distribución Burr se convierte en la distribución Lomax .

• Cuando k = 1, la distribución de Burr es una distribución logística a veces denominada distribución de Fisk , un caso especial de la distribución de Champernowne . ^{[6] [7]}

• La distribución Burr Tipo XII es miembro de un sistema de distribuciones continuas introducido por Irving W. Burr (1942), que comprende 12 distribuciones. ^[8]

• La distribución de Dagum , también conocida como distribución de Burr inversa, es la distribución de 1/ X , donde X tiene la distribución de Burr

Referencias

1. Nadarajá, S.; Pogány, TK; Saxena, RK (2012). "Sobre la función característica de las distribuciones de Burr". Estadísticas . 46 (3): 419–428. doi :10.1080/02331888.2010.513442. S2CID  120848446.
2. Rebaba, IW (1942). "Funciones de frecuencia acumulativa". Anales de estadística matemática . 13 (2): 215–232. doi : 10.1214/aoms/1177731607 . JSTOR  2235756.
3. Singh, S.; Maddala, G. (1976). "Una función para la distribución del tamaño de los ingresos". Econométrica . 44 (5): 963–970. doi :10.2307/1911538. JSTOR  1911538.
4. Maddala, GS (1996) [1983]. Variables cualitativas y dependientes limitadas en econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-33825-5.
5. Tadikamalla, Pandu R. (1980), "Una mirada a las rebabas y distribuciones relacionadas", International Statistical Review , 48 (3): 337–344, doi :10.2307/1402945, JSTOR  1402945
6. C. Kleiber y S. Kotz (2003). Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencias actuariales . Nueva York: Wiley.Consulte las Secciones 7.3 "Distribución Champernowne" y 6.4.1 "Distribución Fisk".
7. Champernowne, DG (1952). "La graduación de las distribuciones del ingreso". Econométrica . 20 (4): 591–614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
8. Véase Kleiber y Kotz (2003), Tabla 2.4, p. 51, "Las distribuciones de Burr".

Otras lecturas

• Rodríguez, RN (1977). "Una guía para las distribuciones de Burr Type XII". Biometrika . 64 (1): 129-134. doi :10.1093/biomet/64.1.129.

enlaces externos

• Juan (16 de febrero de 2023). "Las otras distribuciones de Burr". www.johndcook.com .