Teorema de desintegración

Teorema de la teoría de la medida

En matemáticas , el teorema de desintegración es un resultado de la teoría de la medida y de la teoría de la probabilidad . Define rigurosamente la idea de una "restricción" no trivial de una medida a un subconjunto de medida cero del espacio de medida en cuestión. Está relacionado con la existencia de medidas de probabilidad condicional . En cierto sentido, la "desintegración" es el proceso opuesto a la construcción de una medida de producto .

Motivación

Consideremos el cuadrado unitario en el plano euclidiano . Consideremos la medida de probabilidad definida en por la restricción de la medida de Lebesgue bidimensional a . Es decir, la probabilidad de un evento es simplemente el área de . Suponemos que es un subconjunto medible de . ${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E\subseteq S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$

Consideremos un subconjunto unidimensional de tal como el segmento de línea . tiene -medida cero; cada subconjunto de es un -conjunto nulo ; dado que el espacio de medida de Lebesgue es un espacio de medida completo , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

Si bien es cierto, esto es un tanto insatisfactorio. Sería bueno decir que "restringido a" es la medida unidimensional de Lebesgue , en lugar de la medida cero . La probabilidad de un evento "bidimensional" podría entonces obtenerse como una integral de las probabilidades unidimensionales de las "rebanadas" verticales : más formalmente, si denota una medida unidimensional de Lebesgue en , entonces para cualquier "agradable" . El teorema de desintegración hace que este argumento sea riguroso en el contexto de las medidas en espacios métricos . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \lambda ^{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap L_{x}}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle E\subseteq S}$

Enunciado del teorema

(En adelante, denotará el conjunto de medidas de probabilidad de Borel en un espacio topológico .) Los supuestos del teorema son los siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,T)}$

• Sean y dos espacios de Radon (es decir, un espacio topológico tal que cada medida de probabilidad de Borel en él es regular internamente , por ejemplo, espacios metrizables separables ; en particular, cada medida de probabilidad en él es directamente una medida de Radon ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
• Dejar . ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$
• Sea una función medible de Borel . Aquí se debe pensar en ella como una función para "desintegrar" , en el sentido de dividir en . Por ejemplo, para el ejemplo motivador anterior, se puede definir , , lo que da como resultado , una porción que queremos capturar. ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$ ${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$ ${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$
• Sea la medida de empuje hacia adelante . Esta medida proporciona la distribución de (que corresponde a los eventos ). ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

La conclusión del teorema: existe una familia de medidas de probabilidad determinada de forma única casi en todas partes , que proporciona una "desintegración" de en , tal que: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• la función es medible según Borel, en el sentido de que es una función medible según Borel para cada conjunto medible según Borel ; ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$ ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \mu _{x}}$"vive en" la fibra : para - casi todos , y así ; ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$ ${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$
• para cada función medible por Borel , En particular, para cualquier evento , tomando como la función indicadora de , ^[1] ${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$ ${\displaystyle E\subseteq Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$

Aplicaciones

Espacios de productos

El ejemplo original era un caso especial del problema de los espacios de productos, al que se aplica el teorema de desintegración.

Cuando se escribe como un producto cartesiano y es la proyección natural , entonces cada fibra puede identificarse canónicamente con y existe una familia de Borel de medidas de probabilidad en (que está determinada de manera única en casi todas partes) tal que es en particular ^{[ aclaración necesaria ]} y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(x_{1})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X_{2})}$ ${\displaystyle (\pi _{1})_{*}(\mu )}$ $${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$$ $${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$$

La relación con la expectativa condicional está dada por las identidades $${\displaystyle \operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).}$$

Cálculo vectorial

El teorema de desintegración también puede considerarse como una justificación del uso de una medida "restringida" en el cálculo vectorial . Por ejemplo, en el teorema de Stokes aplicado a un campo vectorial que fluye a través de una superficie compacta , está implícito que la medida "correcta" en es la desintegración de la medida de Lebesgue tridimensional en , y que la desintegración de esta medida en ∂Σ es la misma que la desintegración de en . ^[2] ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Distribuciones condicionales

El teorema de desintegración se puede aplicar para dar un tratamiento riguroso a las distribuciones de probabilidad condicional en estadística, evitando al mismo tiempo formulaciones puramente abstractas de probabilidad condicional. ^[3] El teorema está relacionado con la paradoja de Borel-Kolmogorov , por ejemplo.

Véase también

• Teorema de Ionescu-Tulcea  – Teorema de probabilidad
• Distribución de probabilidad conjunta  – Tipo de distribución de probabilidad
• Cópula (estadística)  – Distribución estadística de dependencia entre variables aleatorias
• Expectativa condicional  : valor esperado de una variable aleatoria dado que se sabe que ocurren ciertas condiciones
• Paradoja de Borel-Kolmogorov
• Probabilidad condicional regular

Referencias

1. Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978). Probabilidades y potencial . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0701-X.
2. Ambrosio, L.; Gigli, N.; Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea. ISBN 978-3-7643-2428-5.
3. Chang, JT; Pollard, D. (1997). "El condicionamiento como desintegración" (PDF) . Statistica Neerlandica . 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544 . doi :10.1111/1467-9574.00056. S2CID  16749932.