Diseño de mecanismos

Campo de la economía y teoría de juegos

El espacio superior izquierdo representa el espacio de tipos y el espacio superior derecho X el espacio de resultados. La función de elección social asigna un perfil de tipos a un resultado. En los juegos de diseño de mecanismos, los agentes envían mensajes en un entorno de juego . El equilibrio en el juego puede diseñarse para implementar alguna función de elección social . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi (M,g,\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

El diseño de mecanismos , a veces llamado teoría de la implementación o diseño de instituciones , ^[1] es una rama de la economía , la elección social y la teoría de juegos que se ocupa del diseño de formas de juego (o mecanismos) para implementar una función de elección social dada . Debido a que comienza con el final del juego (un resultado óptimo) y luego trabaja hacia atrás para encontrar un juego que lo implemente, a veces se lo describe como teoría de juegos inversa . ^[2]

El diseño de mecanismos tiene amplias aplicaciones, incluidos los dominios tradicionales de la economía, como el diseño de mercados , pero también la ciencia política (a través de la teoría de la votación ) e incluso los sistemas en red (como el enrutamiento entre dominios ). ^[2]

El diseño de mecanismos estudia los conceptos de solución para una clase de juegos de información privada. Leonid Hurwicz explica que "en un problema de diseño, la función objetivo es el dato principal, mientras que el mecanismo es la incógnita. Por lo tanto, el problema de diseño es el inverso de la teoría económica tradicional, que normalmente se dedica al análisis del rendimiento de un mecanismo dado". ^[3]

El Premio Nobel de Ciencias Económicas de 2007 fue otorgado a Leonid Hurwicz , Eric Maskin y Roger Myerson "por haber sentado las bases de la teoría del diseño de mecanismos". ^[4] Los trabajos relacionados de William Vickrey que establecieron el campo le valieron el premio Nobel de 1996.

Descripción

Una persona, llamada el "director", querría condicionar su comportamiento a información que conocen en privado los jugadores de un juego . Por ejemplo, al director le gustaría saber la verdadera calidad de un coche usado que un vendedor está promocionando. No puede averiguar nada simplemente preguntándole al vendedor, porque a este le interesa distorsionar la verdad. Sin embargo, en el diseño de mecanismos, el director tiene una ventaja: puede diseñar un juego cuyas reglas influyan en los demás para que actúen como a él le gustaría.

Sin la teoría del diseño de mecanismos, el problema del principal sería difícil de resolver. Tendría que considerar todos los juegos posibles y elegir el que mejor influyera en las tácticas de los otros jugadores. Además, el principal tendría que sacar conclusiones de los agentes que podrían mentirle. Gracias al principio de revelación , el principal solo necesita considerar los juegos en los que los agentes informan verazmente su información privada.

Cimientos

Mecanismo

Un juego de diseño de mecanismos es un juego de información privada en el que uno de los agentes, llamado principal, elige la estructura de pagos. Siguiendo a Harsanyi  (1967), los agentes reciben "mensajes" secretos de la naturaleza que contienen información relevante para los pagos. Por ejemplo, un mensaje puede contener información sobre sus preferencias o la calidad de un bien en venta. Llamamos a esta información el "tipo" del agente (generalmente anotado y, en consecuencia, el espacio de tipos ). Luego, los agentes informan un tipo al principal (generalmente anotado con un sombrero ) que puede ser una mentira estratégica. Después del informe, el principal y los agentes reciben el pago de acuerdo con la estructura de pagos que eligió el principal. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

El horario del juego es:

1. El director se compromete con un mecanismo que otorga un resultado en función del tipo informado ${\displaystyle y()}$ ${\displaystyle y}$
2. Los agentes informan, posiblemente de manera deshonesta, de un perfil tipo ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$
3. El mecanismo se ejecuta (los agentes reciben el resultado ) ${\displaystyle y({\hat {\theta }})}$

Para entender quién obtiene qué, es común dividir el resultado en una asignación de bienes y una transferencia de dinero, donde representa una asignación de bienes entregados o recibidos en función del tipo, y representa una transferencia monetaria en función del tipo. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Como punto de referencia, el diseñador suele definir lo que debería suceder con información completa. Defina una función de elección social que asigne el perfil de tipo (verdadero) directamente a la asignación de bienes recibidos o entregados. ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta ):\Theta \rightarrow Y}$

Por el contrario, un mecanismo asigna el perfil de tipo informado a un resultado (de nuevo, tanto una asignación de bienes como una transferencia de dinero ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y}$

Principio de revelación

Un mecanismo propuesto constituye un juego bayesiano (un juego de información privada) y, si se comporta bien, el juego tiene un equilibrio de Nash bayesiano . En el equilibrio, los agentes eligen sus informes estratégicamente en función del tipo

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )}$

En un contexto de este tipo, es difícil encontrar equilibrios bayesianos porque implica encontrar las mejores estrategias de respuesta de los agentes y la mejor inferencia a partir de una posible mentira estratégica. Gracias a un resultado general llamado principio de revelación, sin importar el mecanismo, un diseñador puede ^[5] limitar su atención a los equilibrios en los que los agentes informan verazmente el tipo de personaje. El principio de revelación establece: "A cada equilibrio de Nash bayesiano le corresponde un juego bayesiano con el mismo resultado de equilibrio pero en el que los jugadores informan verazmente el tipo de personaje".

Esto es extremadamente útil. El principio permite resolver un equilibrio bayesiano suponiendo que todos los jugadores informan con veracidad su tipo (sujeto a una restricción de compatibilidad de incentivos ). De un solo golpe, elimina la necesidad de considerar el comportamiento estratégico o la mentira.

Su demostración es bastante directa. Supongamos un juego bayesiano en el que la estrategia y el resultado del agente son funciones de su tipo y de lo que hacen los demás. Por definición, la estrategia de equilibrio del agente i es Nash en la utilidad esperada: ${\displaystyle u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$ ${\displaystyle s(\theta _{i})}$

${\displaystyle s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$

Basta con definir un mecanismo que induzca a los agentes a elegir el mismo equilibrio. La forma más fácil de definir es que el mecanismo se comprometa a aplicar las estrategias de equilibrio de los agentes en su lugar.

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y}$

En virtud de un mecanismo de este tipo, los agentes consideran, por supuesto, óptimo revelar el tipo, ya que el mecanismo utiliza las estrategias que ellos consideraron óptimas de todos modos. Formalmente, elija de modo que ${\displaystyle y(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

Implementabilidad

El diseñador de un mecanismo generalmente espera que:

• Diseñar un mecanismo que "implemente" una función de elección social ${\displaystyle y()}$
• para encontrar el mecanismo que maximiza algún criterio de valor (por ejemplo, la ganancia) ${\displaystyle y()}$

Implementar una función de elección social es encontrar una función de transferencia que motive a los agentes a elegir . Formalmente, si el perfil de estrategia de equilibrio bajo el mecanismo se corresponde con la misma asignación de bienes que una función de elección social, ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)}$

Decimos que el mecanismo implementa la función de elección social.

Gracias al principio de revelación, el diseñador puede encontrar normalmente una función de transferencia para implementar una elección social resolviendo un juego de veracidad asociado. Si los agentes consideran óptimo informar con veracidad el tipo, ${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )=\theta }$

Decimos que un mecanismo de este tipo es verdaderamente implementable . La tarea es entonces resolver una función de transferencia verdaderamente implementable e imputar esta función de transferencia al juego original. Una asignación es verdaderamente implementable si existe una función de transferencia tal que ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

que también se denomina restricción de compatibilidad de incentivos (CI).

En las aplicaciones, la condición de CI es la clave para describir la forma de una función de transferencia de manera útil. En determinadas condiciones, incluso puede aislar la función de transferencia de manera analítica. Además, a veces se agrega una restricción de participación ( racionalidad individual ) si los agentes tienen la opción de no participar. ${\displaystyle t(\theta )}$

Necesidad

Consideremos un escenario en el que todos los agentes tienen una función de utilidad contingente al tipo . Consideremos también una asignación de bienes que tiene un valor vectorial y un tamaño (que permite una cantidad de bienes) y supongamos que es continua por partes con respecto a sus argumentos. ${\displaystyle u(x,t,\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La función solo se puede implementar si ${\displaystyle x(\theta )}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right){\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

siempre que y y x sean continuas en . Esta es una condición necesaria y se deriva de las condiciones de primer y segundo orden del problema de optimización del agente suponiendo que se dice la verdad. ${\displaystyle x=x(\theta )}$ ${\displaystyle t=t(\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Su significado se puede entender en dos partes. La primera parte dice que la tasa marginal de sustitución (TMS) del agente aumenta en función del tipo,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathrm {MRS} _{x,t}}$

En resumen, los agentes no dirán la verdad si el mecanismo no ofrece a los agentes de tipos superiores un trato mejor. De lo contrario, los agentes de tipos superiores que se enfrenten a cualquier mecanismo que castigue a los agentes de tipos superiores por informar mentirán y declararán que son de tipos inferiores, violando así la restricción de compatibilidad de incentivos para decir la verdad. La segunda parte es una condición de monotonía que está esperando a suceder, ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

lo cual, para ser positivo, significa que a los tipos superiores se les debe dar más del bien.

Existe la posibilidad de que las dos piezas interactúen. Si para algún rango de tipos el contrato ofreciera una cantidad menor a los tipos superiores , es posible que el mecanismo pudiera compensar otorgando un descuento a los tipos superiores. Pero un contrato de este tipo ya existe para agentes de tipo bajo, por lo que esta solución es patológica. Una solución de este tipo a veces ocurre en el proceso de resolver un mecanismo. En estos casos, debe "plancharse". En un entorno de múltiples bienes, también es posible que el diseñador recompense al agente con más de un bien para sustituir menos de otro (por ejemplo, mantequilla por margarina ). Los mecanismos de múltiples bienes son un área de investigación continua en el diseño de mecanismos. ${\displaystyle \partial x/\partial \theta <0}$

Suficiencia

Los documentos de diseño de mecanismos generalmente hacen dos suposiciones para garantizar la implementabilidad:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}>0\ \forall k}$

Esto se conoce con varios nombres: condición de cruce simple , condición de clasificación y condición de Spence-Mirrlees. Significa que la función de utilidad tiene una forma tal que la MRS del agente es de tipo creciente. ^{[ Aclaración necesaria ]}

${\displaystyle \exists K_{0},K_{1}{\text{ such that }}\left|{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\partial u/\partial t}}\right|\leq K_{0}+K_{1}|t|}$

Esta es una condición técnica que limita la tasa de crecimiento del MRS.

Estas suposiciones son suficientes para establecer que cualquier monótona es implementable ( existe un que puede implementarla). Además, en el contexto de un solo bien, la condición de cruce único es suficiente para establecer que solo una monótona es implementable, por lo que el diseñador puede limitar su búsqueda a una monótona . ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Resultados destacados

Teorema de equivalencia de ingresos

Vickrey  (1961) ofrece un resultado célebre: cualquier miembro de una gran clase de subastas asegura al vendedor los mismos ingresos esperados y que los ingresos esperados son lo mejor que el vendedor puede conseguir. Este es el caso si

1. Los compradores tienen funciones de valoración idénticas (que pueden ser una función del tipo)
2. Los tipos de compradores se distribuyen de forma independiente.
3. Los tipos de compradores se extraen de una distribución continua
4. La distribución de tipos tiene la propiedad de tasa de riesgo monótona
5. El mecanismo vende el bien al comprador con la valoración más alta.

La última condición es crucial para el teorema. Una implicación es que para que el vendedor obtenga mayores ingresos debe arriesgarse a entregar el artículo a un agente con una valoración más baja. Por lo general, esto significa que debe arriesgarse a no vender el artículo en absoluto.

Mecanismos de Vickrey-Clarke-Groves

El modelo de subasta de Vickrey (1961) fue ampliado posteriormente por Clarke  (1971) y Groves para tratar un problema de elección pública en el que el coste de un proyecto público lo soportan todos los agentes, por ejemplo, si se debe construir un puente municipal. El mecanismo "Vickrey-Clarke-Groves" resultante puede motivar a los agentes a elegir la asignación socialmente eficiente del bien público incluso si los agentes conocen en privado sus valoraciones. En otras palabras, puede resolver la " tragedia de los comunes ", en determinadas condiciones, en particular la utilidad cuasilineal o si no se requiere un equilibrio presupuestario.

Consideremos un escenario en el que el número de agentes tiene una utilidad cuasilineal con valoraciones privadas donde la moneda se valora linealmente. El diseñador del VCG diseña un mecanismo compatible con los incentivos (por lo tanto, verazmente implementable) para obtener el perfil de tipo verdadero, a partir del cual el diseñador implementa la asignación socialmente óptima. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle v(x,t,\theta )}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})}$

La astucia del mecanismo VCG es la forma en que motiva la revelación veraz. Elimina los incentivos para informar erróneamente al penalizar a cualquier agente por el costo de la distorsión que causa. Entre los informes que el agente puede hacer, el mecanismo VCG permite un informe "nulo" que dice que es indiferente al bien público y que solo le importa la transferencia de dinero. Esto efectivamente elimina al agente del juego. Si un agente elige informar un tipo, el mecanismo VCG le cobra al agente una tarifa si su informe es fundamental , es decir, si su informe cambia la asignación óptima x de manera que perjudique a otros agentes. El pago se calcula

${\displaystyle t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})}$

que resume la distorsión en las utilidades de los otros agentes (y no las suyas propias) causada por el informe de un agente.

Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Gibbard  (1973) y Satterthwaite  (1975) dan un resultado de imposibilidad similar en espíritu al teorema de imposibilidad de Arrow . Para una clase muy general de juegos, sólo se pueden implementar funciones de elección social "dictatoriales".

Una función de elección social f () es dictatorial si un agente siempre recibe su asignación de bienes más favorecida,

${\displaystyle {\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

El teorema establece que, en condiciones generales, cualquier función de elección social verdaderamente implementable debe ser dictatorial si:

1. X es finito y contiene al menos tres elementos
2. Las preferencias son racionales
3. ${\displaystyle f(\Theta )=X}$

Teorema de Myerson-Satterthwaite

Myerson y Satterthwaite (1983) demuestran que no existe una manera eficiente de que dos partes intercambien un bien cuando cada una de ellas tiene valoraciones secretas y probabilísticamente variables para él, sin correr el riesgo de obligar a una de las partes a negociar con pérdidas. Se trata de uno de los resultados negativos más notables de la economía, una especie de espejo negativo de los teoremas fundamentales de la economía del bienestar .

Valor de Shapley

Phillips y Marden (2018) demostraron que para los juegos de costos compartidos con funciones de costos cóncavas, la regla óptima de costos compartidos que primero optimiza las ineficiencias del peor caso en un juego (el precio de la anarquía ), y luego optimiza los resultados del mejor caso (el precio de la estabilidad ), es precisamente la regla de costos compartidos del valor de Shapley. ^[6] Una declaración simétrica es igualmente válida para los juegos de utilidad compartida con funciones de utilidad convexas.

Discriminación de precios

Mirrlees  (1971) introduce un escenario en el que la función de transferencia t () es fácil de resolver. Debido a su relevancia y manejabilidad, es un escenario común en la literatura. Consideremos un escenario de un solo bien y un solo agente en el que el agente tiene una utilidad cuasilineal con un parámetro de tipo desconocido. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t}$

y en la que el principal tiene una CDF previa sobre el tipo del agente . El principal puede producir bienes a un coste marginal convexo c ( x ) y quiere maximizar el beneficio esperado de la transacción. ${\displaystyle P(\theta )}$

${\displaystyle \max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]}$

Sujeto a condiciones IC e IR

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta }$

El principio aquí es un monopolista que intenta establecer un esquema de precios que maximice las ganancias en el que no puede identificar el tipo de cliente. Un ejemplo común es una aerolínea que fija tarifas para viajeros de negocios, de placer y estudiantes. Debido a la condición IR, tiene que dar a cada tipo un trato lo suficientemente bueno como para inducir la participación. Debido a la condición IC, tiene que dar a cada tipo un trato lo suficientemente bueno como para que el tipo prefiera su trato al de cualquier otro.

Un truco dado por Mirrlees (1971) es utilizar el teorema de la envolvente para eliminar la función de transferencia de la expectativa de ser maximizada,

${\displaystyle {\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}}$

Integrando,

${\displaystyle U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}}$

donde es un tipo de índice. Reemplazando el incentivo compatible en el maximando, ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

Después de una integración por partes, esta función se puede maximizar puntualmente.

Como ya es compatible con los incentivos, el diseñador puede eliminar la restricción IC. Si la función de utilidad satisface la condición de Spence-Mirrlees, entonces existe una función monótona. La restricción IR se puede verificar en el equilibrio y la escala de tarifas se puede aumentar o disminuir en consecuencia. Además, observe la presencia de una tasa de riesgo en la expresión. Si la distribución de tipos tiene la propiedad de razón de riesgo monótona, la FOC es suficiente para resolver t (). Si no es así, entonces es necesario verificar si la restricción de monotonía (ver suficiencia, arriba) se cumple en todas partes a lo largo de las escalas de asignación y tarifas. Si no es así, entonces el diseñador debe usar el método de planchado de Myerson. ${\displaystyle U(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Planchado Myerson

Es posible encontrar una tabla de bienes o precios que satisfaga las condiciones de primer orden y que no sea monótona. Si así fuera, sería necesario "planchar" la tabla eligiendo un valor en el que se aplane la función.

En algunas aplicaciones, el diseñador puede resolver las condiciones de primer orden para los programas de precios y asignación y, sin embargo, descubrir que no son monótonos. Por ejemplo, en el contexto cuasilineal, esto sucede a menudo cuando el cociente de riesgo en sí mismo no es monótono. Según la condición de Spence-Mirrlees, los programas óptimos de precios y asignación deben ser monótonos, por lo que el diseñador debe eliminar cualquier intervalo en el que el programa cambie de dirección aplanándolo.

Intuitivamente, lo que ocurre es que el diseñador considera óptimo agrupar ciertos tipos y darles el mismo contrato. Normalmente, el diseñador motiva a los tipos superiores a distinguirse ofreciéndoles un mejor trato. Si no hay suficientes tipos superiores en el margen, el diseñador no considera que valga la pena otorgarles a los tipos inferiores una concesión (llamada su renta de información) para cobrarles a los tipos superiores un contrato específico.

Consideremos un principal monopolista que vende a agentes con una utilidad cuasilineal, el ejemplo anterior. Supongamos que el programa de asignación que satisface las condiciones de primer orden tiene un único pico interior en y un único valle interior en , ilustrado a la derecha. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>\theta _{1}}$

• Siguiendo a Myerson (1981), aplanémoslo eligiendo que satisfaga donde es la función inversa de x que se asigna a y es la función inversa de x que se asigna a . Es decir, devuelve a antes del pico interior y devuelve a después del valle interior. ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0}$$ ${\displaystyle \phi _{1}(x)}$ ${\displaystyle \theta \leq \theta _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \theta \geq \theta _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$
• Si la región no monótona de limita con el borde del espacio de tipos, simplemente establezca la función apropiada (o ambas) en el tipo de límite. Si hay varias regiones, consulte un libro de texto para obtener un procedimiento iterativo; es posible que se deban unir más de un canal. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Prueba

La prueba utiliza la teoría del control óptimo. Considera el conjunto de intervalos en la región no monótona de sobre los cuales podría aplanarse la programación. Luego escribe un hamiltoniano para obtener las condiciones necesarias para a dentro de los intervalos ${\displaystyle \left[{\underline {\theta }},{\overline {\theta }}\right]}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

1. que satisface la monotonía
2. para el cual la restricción de monotonía no es vinculante en los límites del intervalo

La segunda condición garantiza que el problema de control óptimo que satisface se vuelva a conectar con el cronograma del problema original en los límites de intervalo (sin saltos). Cualquiera que satisfaga las condiciones necesarias debe ser plano porque debe ser monótono y, sin embargo, volver a conectarse en los límites. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Como antes, maximiza el pago esperado del principal, pero esta vez sujeto a la restricción de monotonía.

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

y utilizar un hamiltoniano para hacerlo, con precio sombra ${\displaystyle \nu (\theta )}$

${\displaystyle H=\left(V(x,\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}(x,\theta )-c(x)\right)p(\theta )+\nu (\theta ){\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

donde es una variable de estado y el control. Como es habitual en el control óptimo, la ecuación de evolución de coestado debe satisfacer ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial x/\partial \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \nu }{\partial \theta }}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )}$

Aprovechando la condición 2, observe que la restricción de monotonía no es vinculante en los límites del intervalo, ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \nu ({\underline {\theta }})=\nu ({\overline {\theta }})=0}$

lo que significa que la condición de la variable costate se puede integrar y también es igual a 0

${\displaystyle \int _{\underline {\theta }}^{\overline {\theta }}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )\,d\theta =0}$

La distorsión promedio del excedente del principal debe ser 0. Para aplanar la curva, encuentre un tal que su imagen inversa se corresponda con un intervalo que satisfaga la condición anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Véase también

• Diseño de mecanismos algorítmicos
• Alvin E. Roth – Premio Nobel, diseño de mercados
• Problema de asignación
• Teoría del contrato
• Teoría de la implementación
• Compatibilidad de incentivos
• Principio de revelación
• Mercado inteligente
• Metajuego

Notas

1. "Revista de diseño de mecanismos e instituciones". www.mechanism-design.org . Consultado el 1 de julio de 2024 .
2. Penna, Paolo; Ventre, Carmine (julio de 2014). "Mecanismos óptimos resistentes a la colusión con verificación". Juegos y comportamiento económico . 86 : 491–509. doi :10.1016/j.geb.2012.09.002. ISSN  0899-8256.
3. L. Hurwicz y S. Reiter (2006), Diseño de mecanismos económicos , pág. 30
4. "El Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel 2007" (Nota de prensa). Fundación Nobel . 15 de octubre de 2007. Consultado el 15 de agosto de 2008 .
5. En circunstancias inusuales, algunos juegos que dicen la verdad tienen más equilibrios que el juego bayesiano del que se derivaron. Véase Fudenburg-Tirole, capítulo 7.2, para algunas referencias.
6. Phillips, Matthew; Marden, Jason R. (julio de 2018). "Compensaciones de diseño en juegos cóncavos de costos compartidos". IEEE Transactions on Automatic Control . 63 (7): 2242–2247. doi :10.1109/tac.2017.2765299. ISSN  0018-9286. S2CID  45923961.

Referencias

• Clarke, Edward H. (1971). "Multipart Pricing of Public Goods" (Fijación de precios en múltiples partes de bienes públicos) (PDF) . Public Choice . 11 (1): 17–33. doi :10.1007/BF01726210. JSTOR  30022651. S2CID  154860771.
• Gibbard, Allan (1973). "Manipulación de los esquemas de votación: un resultado general" (PDF) . Econometrica . 41 (4): 587–601. doi :10.2307/1914083. JSTOR  1914083.
• Groves, Theodore (1973). "Incentivos en equipos" (PDF) . Econometrica . 41 (4): 617–631. doi :10.2307/1914085. JSTOR  1914085.
• Harsanyi, John C. (1967). "Juegos con información incompleta jugados por jugadores "bayesianos", I-III. Parte I. El modelo básico". Management Science . 14 (3): 159–182. doi :10.1287/mnsc.14.3.159. JSTOR  2628393.
• Mirrlees, JA (1971). "An Exploration in the Theory of Optimum Income Taxation" (PDF) . Review of Economic Studies . 38 (2): 175–208. doi :10.2307/2296779. JSTOR  2296779. Archivado desde el original (PDF) el 2017-05-10 . Consultado el 2016-08-12 .
• Myerson, Roger B.; Satterthwaite, Mark A. (1983). "Mecanismos eficientes para el comercio bilateral" (PDF) . Revista de teoría económica . 29 (2): 265–281. doi :10.1016/0022-0531(83)90048-0. hdl : 10419/220829 .
• Satterthwaite, Mark Allen (1975). "Impermeabilidad estratégica y condiciones de Arrow: teoremas de existencia y correspondencia para procedimientos de votación y funciones de bienestar social". Journal of Economic Theory . 10 (2): 187–217. CiteSeerX  10.1.1.471.9842 . doi :10.1016/0022-0531(75)90050-2.
• Vickrey, William (1961). "Contraespeculación, subastas y licitaciones competitivas selladas" (PDF) . The Journal of Finance . 16 (1): 8–37. doi :10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x.

Lectura adicional

• Capítulo 7 de Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991), Game Theory , Boston: MIT Press , ISBN 978-0-262-06141-4. Un texto estándar para la teoría de juegos de posgrado.
• Capítulo 23 de Mas-Colell ; Whinston; Green (1995), Teoría microeconómica , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-507340-9. Un texto estándar para microeconomía de posgrado.
• Milgrom, Paul (2004), Poniendo en práctica la teoría de las subastas , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55184-7. Aplicaciones de los principios de diseño de mecanismos en el contexto de subastas.
• Noam Nisan . Charla técnica de Google sobre diseño de mecanismos.
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Enlaces externos

• Conferencia del Premio Nobel pronunciada por Eric Maskin el 8 de diciembre de 2007 en el Aula Magna de la Universidad de Estocolmo.