Discusión:Curva de Bézier

Continuidad G1

¿Qué es la continuidad G1? --AxelBoldt

Curvas continuas con tangentes que apuntan en la misma dirección. Utilizadas por trabajadores de gráficos y fuentes http://www.google.com/search?q=g1.continuity

¿Cuál es el punto de la curva cúbica en el algoritmo recursivo?

¿Qué significa "Una curva de Bézier verdaderamente paralela no puede derivarse matemáticamente"?

Buena pregunta... No tengo ni idea. Κσυπ Cyp 21:59, 15 de septiembre de 2004 (UTC)

Significa que no se puede derivar una segunda curva que sea paralela a la primera mediante operaciones matemáticas sobre los puntos de control de la primera. Funciona en algunos casos, pero no en general. Tal vez la redacción podría ser mejor, pero a mí me pareció bastante clara. Graham 22:57, 15 de septiembre de 2004 (UTC)

¿Qué significa paralelo cuando se trata de curvas? ¿Es una relación entre dos curvas de Bézier? Κσυπ Cyp 23:09, 15 de septiembre de 2004 (UTC)

En sentido estricto, paralelo se refiere a líneas rectas o planos, por lo que, si hablamos estrictamente , entonces "curvas paralelas" es un oxímoron. Sin embargo, en el lenguaje cotidiano debería estar claro lo que esto significa: una segunda curva que mantiene una distancia constante de la primera en cada punto similar, como un par de vías de tren que doblan una curva. Si hay una palabra "adecuada" para esto, no sé cuál es. La capacidad de hacer esto es en realidad bastante importante en el mundo real, donde las curvas de Bézier no son solo curiosidades matemáticas, sino una forma práctica de implementar gráficos de computadora, etc. A menudo es necesario crear una curva "paralela" a otra, pero idear un algoritmo para ello requiere algo de astucia, debido a la limitación mencionada de las propiedades esenciales de la curva. Intenté reformular la oración, pero "paralela" sigue ahí ;-) Graham 23:47, 15 de septiembre de 2004 (UTC)

Vaya, si hubiera una explicación para el profano en la materia. Alguien más abajo afirma que es así: Estudié matemáticas hasta el final de la escuela y no tengo ni idea de esto, y en particular el uso de estas curvas en Illustrator sigue siendo un misterio para mí. ¡Por favor, ayuda!

Combinación de la curva de Bézier y el polinomio de Bernstein

Quiero fusionar la curva de Bézier y el polinomio de Bernstein . No me importa cómo se llame el artículo resultante. Los dos artículos tratan sobre el mismo tema, por lo que hay mucho material duplicado y notación inconsistente. ¿Algún comentario? MathMartin 12:52, 19 de septiembre de 2004 (UTC)

Cambié de opinión. El material debería permanecer en páginas separadas, aunque la notación debería ser más consistente. ¿Cuál es el término para las splines que se unen mediante polinomios en forma de Bézier? ¿Y qué es exactamente un Bezigon ? ¿Es común el término? Lo que estaba tratando de hacer al reescribir la curva de Bézier y el polinomio de Bernstein era hacer que la conexión entre los dos temas fuera más clara. En este momento creo que los artículos deberían estructurarse de esta manera

Polinomio de Bernstein tratamiento matemático de los polinomios de Bernstein.
Curva de Bézier, un polinomio de Bernstein restringido a [0,1], curvas cúbicas y cuárticas como ejemplos
Bezigon o ?? un spline compuesto de polinomios en forma Bezier, aplicación en la industria

No me queda claro cómo se deberían llamar las dos últimas páginas, quizá alguien con más conocimientos pueda proponer algún nombre. MathMartin 10:20, 20 sep 2004 (UTC)

Listo . Actualmente hay 3 artículos exactamente como los que sugeriste. El artículo sobre "un spline compuesto de polinomios en forma de Bézier" se titula Bézier spline , con Bezigon como redirección a ese artículo, lo cual creo que es apropiado. -- DavidCary ( discusión ) 04:48, 21 de febrero de 2013 (UTC) [ responder ]

Eliminado de la página

La generalización del caso cúbico conduce a curvas de orden superior que requieren más de cuatro puntos de control. El uso de curvas y superficies de Bézier de orden superior se ha limitado a unas pocas aplicaciones de diseño industrial y modelado de superficies altamente especializadas y costosas.

Para la mayoría de las aplicaciones, las curvas complicadas se unen a partir de curvas cúbicas para formar bezigones : la primera curva de Bézier tiene puntos de control A , B , C y D , la segunda tiene puntos de control D , E , F y G , y si se requiere continuidad G1 (es decir, suavidad de la curva) en D , entonces la dirección de CD debe ser igual a la dirección de DE .

He eliminado los dos párrafos siguientes de la página. El primero no contiene información y el segundo es un poco confuso. MathMartin 17:09, 19 de septiembre de 2004 (UTC)

Me arriesgaría a suponer, a partir de tu nombre de usuario, que eres un matemático en lugar de alguien que se ensucia las manos con aplicaciones del mundo real ;-) Si ese es el caso, entonces te dejaría en claro que la segunda parte es "un poco oscura". Así es como las curvas de Bézier casi siempre se usan en la práctica para gráficos de computadora, etc. Las curvas cúbicas son relativamente rápidas de calcular, las de orden superior no lo son, por lo que encadenar los segmentos cúbicos para formar una forma deseada se hace en todos los casos con los que me he encontrado. Y para asegurar una "unión" suave entre segmentos, las tangentes de los puntos finales se hacen iguales, que es lo que dice esa declaración. Otra razón por la que las curvas de orden superior generalmente no se usan es porque la mayoría de los programas de gráficos necesitan implementar la funcionalidad "encontrar el punto más cercano en la curva a un punto arbitrario", y eso requiere encontrar las raíces de un polinomio de quinto orden, lo que se puede hacer. Pero los órdenes superiores no tienen un algoritmo conocido. Realmente creo que el artículo sería de gran interés y utilidad tanto para los matemáticos como para una introducción a los gráficos. Por lo tanto, estos aspectos del mundo real definitivamente deberían incluirse. Graham 23:50, 19 de septiembre de 2004 (UTC)

Me has entendido mal, quizás porque mi comentario era demasiado críptico. Entiendo la frase.

Coloqué la definición matemática al principio, por lo que no es necesario generalizar desde el caso cúbico a curvas de orden superior. Afirmar que en la industria solo se utilizan curvas de orden inferior sin ningún motivo no es muy útil.

Otra razón por la que las curvas de orden superior no se utilizan generalmente es porque la mayoría de los programas de gráficos necesitan implementar la funcionalidad "encontrar el punto más cercano en la curva a un punto arbitrario", y eso requiere encontrar las raíces de un polinomio de quinto orden, lo que se puede hacer

Esa es una buena razón para no utilizar curvas de Bézier de orden superior. Deberías haberla incluido en el artículo. Tengo la intención de ampliar el artículo en los próximos días y lo incluiré. Solo una pequeña corrección: por lo general, ni siquiera las raíces de un polinomio de quinto orden se pueden encontrar analíticamente.

Entiendo la necesidad de unir curvas de Bézier de bajo grado para formar splines, y que uno debe observar ciertas condiciones de suavidad al unir las curvas. Pero creo que el artículo sobre la curva de Bézier no es el lugar adecuado para hablar de splines (en cierta medida ya hablé de splines en la introducción) y el párrafo estaba muy mal escrito. ¿Cuál es la dirección CD? ¿Qué es la continuidad G1? No tienes que explicarme esos términos, los conozco o puedo adivinarlos. Pero para el lector que no conoce el material, que solo quiere buscar algo de información, el párrafo es oscuro.

Para resumir la esencia de mis argumentos, sí, soy matemático. Creo que debería haber una definición matemática formal, aunque asuste a los profanos. Pero también debería haber explicaciones y ejemplos del mundo real. Pero las definiciones matemáticas y las explicaciones para los profanos no deberían mezclarse, sino que deberían colocarse en secciones separadas. En una enciclopedia es mejor proporcionar una definición general y luego dar ejemplos que dar un ejemplo y luego generalizar a partir de ese ejemplo.

En otro orden de cosas, tal vez puedas aclarar un poco la notación que se utiliza en la página. ¿Qué pasa con los coeficientes de Bézier en mayúsculas (A, B, etc.) escritos en negrita? ¿Por qué no llamarlos p_0, p_1...? MathMartin 10:20, 20 de septiembre de 2004 (UTC)

MathMartin escribió: "Afirmar que en la industria sólo se utilizan curvas de orden bajo sin ningún motivo no es muy útil". ¡Claro que es útil, es un hecho del mundo real que conviene conocer! Afortunadamente, este hecho ahora está en el artículo, quizás en un lugar más apropiado. La explicación matemática no es el lugar para estos hechos del mundo real. John Baez ( discusión ) 01:21 16 sep 2014 (UTC) [ responder ]

Se eliminaron algunos párrafos más.

Los puntos de una curva de Bézier cuadrática se pueden calcular de forma recursiva:

Sean A , B y C el punto inicial, el punto de control y el punto final de la curva respectivamente.
Sea D el punto medio de la recta AB .
Sea E el punto medio de la recta BC .
Sea F el punto medio de la recta DE . F es un punto en la curva.
Recurra con A = A , B = D y C = F .
Recurra con A = F , B = E y C = C .

Los puntos de una curva de Bézier se pueden calcular rápidamente utilizando un procedimiento recursivo que utiliza la división por dos como su operación fundamental y evita por completo la aritmética de punto flotante ;

{\begin{vmatrix}A'\\B'\\C'\\D'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1/4&2/4&1/4&0\\1/8&3/8&3/8&1/8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}A\\B\\C\\D\end{vmatrix}}

 D:=(C+D)/2, C:=(B+C)/2, D:=(C+D)/2, B:=(A+B)/2, C:=(B+C)/2, D:=(C+D)/2 (Ningún idioma en particular)

He eliminado del artículo los párrafos anteriores. No tienen ningún sentido para mí. MathMartin 15:00, 20 de septiembre de 2004 (UTC)

No estoy seguro de quién escribió qué allí (sé que yo escribí la matriz), pero al leerlo (los párrafos eliminados, es decir) ahora, tampoco tiene ningún sentido para mí... Se suponía que significaba que, dada una curva de Bézier con los puntos A, B, C, D, la curva de Bézier se puede cortar en dos curvas de Bézier separadas, una con los puntos A', B', C' y D', y la otra con los puntos 'A', 'B', 'C y 'D, donde y . (Equivalente a sustituir t:=2t y t:=2t-1. (Donde := es asignación.)) En lugar de utilizar matrices, es posible cortar la curva a la mitad fijando los puntos en el promedio de los puntos vecinos varias veces en el orden correcto, donde entra en juego la conversación sobre una misteriosa división por dos. Κσυπ Cyp 01:00, 21 Sep 2004 (UTC) y 00:27, 21 Sep 2004 (UTC)

{\begin{vmatrix}A'\\B'\\C'\\D'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1/4&2/4&1/4&0\\1/8&3/8&3/8&1/8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}A\\B\\C\\D\end{vmatrix}}

{\begin{vmatrix}'A\\'B\\'C\\'D\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1/8&3/8&3/8&1/8\\0&1/4&2/4&1/4\\0&0&1/2&1/2\\0&0&0&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}A\\B\\C\\D\end{vmatrix}}

Creo que el artículo es mucho mejor gracias a las modificaciones de Martin. Tampoco seguí el tema de mtraix porque no hay contexto para ello. Agregué un ejemplo simple en C en la sección de aplicaciones que sí ofrece un método práctico para calcular una curva cúbica. Espero que no sea demasiado largo y que sea razonablemente correcto (no probado). ¡Siéntete libre de corregir cualquier error! Graham 00:36, 21 de septiembre de 2004 (UTC).

¿Es posible devolver estructuras en C? (No he intentado probar el código).

Aquí hay algo parecido a lo que yo escribiría (que no es tan largo) para hacer lo mismo. No lo he probado. No estoy seguro de si 2 multiplicaciones o 6 sumas/restas son más rápidas.

#define ComputeBezier(a,b,c) calculatebezier((float *)(a),(b),(float *)(c))void computadorbezier(float *cp, int n, float *res) { flotador s, s2, s3, t, t2, t3, st2, s2t, ds; flotar ax, ay, bx, por, cx, cy, dx, dy; ax=*cp++; ay=*cp++; bx=3**cp++; por=3**cp++; cx=3**cp++; cy=3**cp++; dx=*cp++; dy=*cp; ds=1./(n-1); s=0; t=1; mientras(n--) { s+=ds; s2=s*s; s3=s*s2; t-=ds; t2=t*t; t3=t*t2; s2t=s2*t; *res++=ax*t3+bx*st2+cx*s2t+dx*s3; *res++=ay*t3+by*st2+cy*s2t+dy*s3; }}

Κσυπ Cyp 11:03, 21 de septiembre de 2004 (UTC)

¿Es para una curva cuadrática? Aquí hay un ejemplo en Java. El método dibuja una curva cuadrática en un objeto Graphics especificado en n pasos.

void privado bezier(Gráficos g, int n, doble x1, doble y1, doble x2, doble y2, doble x3, doble y3){ doble sx1=(x2-x1)/n, sx2=(x3-x2)/n, sy1=(y2-y1)/n, sy2=(y3-y2)/n; para(int i=0;i<n;++i){ g.drawLine((int)(x1+i*sx1+i*i*(sx2+sx1)/n), (int)(y1+i*sy1*2+i*i*(sy2-sy1)/n), (int)(x1+(i+1)*sx1+(i+1)*(i+1)*(sx2+sx1)/n), (int)(y1+(i+1)*sy1*2+(i+1)*(i+1)*(sy2-sy1)/n)); }}

Puedes devolver estructuras al menos desde ANSI C 99, no estoy seguro de cuándo se introdujo, sé que los dialectos antiguos no podían hacerlo. Mi código está pensado para servir como un ejemplo claro, no necesariamente lo que un ingeniero de software escribiría realmente como código óptimo. Creo que es más fácil relacionar el código con las matemáticas del artículo que con tu ejemplo, que sin duda es más rápido... debemos recordar que esto es una enciclopedia, no un libro de texto de código; tal vez incluso C sea demasiado técnico aquí, un ejemplo de BASIC (me estremezco) o Pascal podría ser mejor para facilitar la lectura. Graham 23:46, 21 de septiembre de 2004 (UTC)

Dimensión

Sólo una breve nota sobre la introducción.

Las generalizaciones de las curvas de Bézier a tres (o más) dimensiones se denominan superficie de Bézier y triángulo de Bézier .

Esta no es una formulación muy clara. En matemáticas, una curva es un objeto unidimensional porque depende de un parámetro t . Una superficie de Bézier sería un objeto bidimensional porque depende de dos parámetros. Considere esta explicación: una curva se puede dibujar en un espacio bidimensional o en un espacio tridimensional (o en cualquier dimensión, en realidad), pero sigue siendo una curva, un objeto unidimensional.

Para mí esto está claro, pero puede que otras personas no lo sepan. Quizá alguien pueda reformular la frase para que quede más clara. Hasta entonces, simplemente eliminaré el número exacto de la dimensión y hablaré de una dimensión superior. MathMartin 12:22, 21 de septiembre de 2004 (UTC)

Nuevamente, esta puede ser una situación de profano contra matemático. Matemáticamente, la curva de Bézier puede ser unidimensional, pero intuitivamente es bidimensional porque produce un punto (x, y). Estoy de acuerdo en que las matemáticas deben ser rigurosas, pero también creo que no debemos perder de vista a la audiencia, que en general no son otros matemáticos (que tendrán mejores referencias para trabajar que esta), o incluso programadores de gráficos de computadora, sino simplemente personas que están interesadas y buscan una introducción simple al tema, pero con suficiente información para irse y hacer algo útil con él si lo desean. Esa es mi opinión de todos modos. Graham 23:52, 21 de septiembre de 2004 (UTC)

Matemáticamente, la curva de Bézier puede ser unidimensional, pero intuitivamente es bidimensional porque produce un punto (x, y).

Reescribí la definición para aclarar esto. La cantidad de puntos que produce la curva depende de la dimensión de los puntos de control. Si elijo puntos de control en un espacio tridimensional, obtengo una curva en un espacio tridimensional. Si esto no está claro, ampliaré el material en el artículo.

matemáticos (que tendrán mejores referencias para trabajar que ésta)

No se deben hacer suposiciones sobre el público al que va dirigido el libro :) Incluso los matemáticos necesitan buscar información y empezar desde el principio cuando aprenden un tema nuevo. La mayoría de los libros de matemáticas son basura porque no contienen suficientes ejemplos ni motivación.

Una enciclopedia debería ser accesible a una amplia gama de personas. Creo que, por el momento, el artículo está bien equilibrado. Los profanos pueden leer y comprender la sección de historia (que debería ampliarse) y las aplicaciones en las secciones de gráficos por ordenador. El programador puede tomar los ejemplos e implementarlos. Y el matemático (o cualquier persona con cierta formación en matemáticas) puede buscar la definición.

Creo que es más fácil relacionar el código con las matemáticas en el artículo que en su ejemplo, que sin duda es más rápido... debemos recordar que esto es una enciclopedia, no un libro de texto de código; tal vez incluso C sea demasiado técnico aquí, un ejemplo de BASIC (me estremezco) o Pascal podría ser mejor para facilitar la lectura.

Estoy de acuerdo. El código debería coincidir con las matemáticas del artículo y quizás C no sea la mejor opción. Pero hasta donde sé, no hay un lenguaje informático estándar en Wikipedia para ejemplos, así que quien escribe el código elige el lenguaje. En mi opinión, el código solo debería usarse para hacer que los algoritmos sean más claros. Las implementaciones completas deberían publicarse en http://wikisource.org/wiki/Talk:B%C3%A9zier_curve/Wikisource:Source_code y vincularse desde el artículo.

MathMartin 12:11, 22 de septiembre de 2004 (UTC)

Código fuente

Debería colocarse aquí http://wikisource.org/w/index.php?title=Beizer_Curve&action=edit El lenguaje preferido debería ser Python porque es un lenguaje de alto nivel, fácilmente legible, usado por matemáticos de todo el mundo y que tiene un futuro brillante (Pascal/Fortran/Basic están muertos).

Bueno, siéntete libre de hacerlo. Sin embargo, creo que encontrarás que C es más universalmente comprendido por los programadores ya que la mayoría de los otros lenguajes que se usan comúnmente ahora se basan en él: C, C++, Java, Javascript, etc. Tal vez Python sea lo que yo sé, pero no sé Python, pero sí sé C, por eso escribí el código Bezier en ese lenguaje. Creo que deberíamos tener cuidado de no usar un lenguaje simplemente porque es "el estilo del mes"; démosle una oportunidad para que se establezca como lo ha hecho C en los últimos 30 años. Graham 06:24, 26 de diciembre de 2004 (UTC)

Los coeficientes de la curva cúbica se calculan de forma incorrecta en el código fuente de ejemplo que se proporciona. Esto se puede verificar fácilmente trazando líneas entre los puntos de control y observando que los puntos de la curva calculados por el código de ejemplo salen de las líneas entre los puntos de control.

Los coeficientes correctos deberían ser (fácilmente ampliables a partir de la forma paramétrica):

$a=-A+3B-3C+D$
$b=3A-6B+3C$
$c=3B-3A$

como:

$B(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+A$

El código para generar esto (en Java) es:

Punto privado pointOnCubic(float t) { Punto res = nuevo Punto(); flotador t2 = t * t; flotador t3 = t2 * t; // cp[] es una matriz de puntos que especifica los puntos de control flotante ax = -cp[0].x + 3*cp[1].x - 3*cp[2].x + cp[3].x; flotante bx = 3*cp[0].x - 6*cp[1].x + 3*cp[2].x; flotante cx = 3*cp[1].x - 3*cp[0].x; float ay = -cp[0].y + 3*cp[1].y - 3*cp[2].y + cp[3].y; flotar por = 3*cp[0].y - 6*cp[1].y + 3*cp[2].y; flotante cy = 3*cp[1].y - 3*cp[0].y; res.x = (int) ((ax * t3) + (bx * t2) + (cx * t) + cp[0].x); res.y = (int) ((ay * t3) + (by * t2) + (cy * t) + cp[0].y); devolver res;}

-- red

Lo comprobaré e intentaré configurar un lugar donde realmente pueda ejecutarlo. El código se deriva de algunos que estoy usando en un proyecto y dibuja los puntos de Bézier correctamente. Hasta donde puedo ver, aquí se ve bien, pero es posible que me esté perdiendo algo. Ciertamente, el código real que estoy usando (que es demasiado complejo para usarlo directamente como ejemplo aquí) no dibuja fuera de los límites del punto de control.

Tenga en cuenta que cuando añada comentarios a una página de discusión, siempre debe añadirlos al final de la página (no al principio) si se trata de un tema nuevo, o anexarlos a una sección existente si se trata de un tema ya abierto. Siempre debe firmar y fechar su comentario utilizando cuatro tildes (~) después del comentario, de lo contrario es muy difícil saber cuándo se agregó algo. Tuve que usar el historial y comparar el archivo para encontrar su comentario, así que tiene suerte de que lo haya notado. Lo he movido al lugar correcto en la página. Graham 00:51, 17 de abril de 2005 (UTC)

Acabo de probar el código publicado aquí exactamente como se indica. Funciona exactamente de forma correcta hasta donde puedo ver y no dibuja líneas tangentes fuera del punto de control. Esto no es una gran sorpresa, ya que he estado usando un código muy similar durante bastante tiempo sin problemas, pero podría ayudar a tranquilizar a otros que no confían en él después de haber leído lo anterior. Si bien no necesariamente cuestiono el análisis, soy un tipo práctico y el código tal como se proporciona funciona bien. ¡Lo mantengo! Graham 04:06, 26 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Historia

La sección de historia dice que Pierre Bézier simplemente utilizó la curva, pero [aquí] descubrí que en realidad descubrió la curva de forma independiente: "Este conjunto de curvas fue descubierto casi al mismo tiempo por dos personas: Bézier y de Casteljau. Bézier lo descubrió utilizando los polinomios de Berstein, mientras que de Casteljau encontró una representación geométrica". ¿Es correcto? Rodrigo Rocha 02:05, 16 de junio de 2005 (UTC)

Es cierto. Como no proceden de la misma escuela de ingeniería, sigue siendo un tema francés saber quién descubrió la primera. Generalmente se dice que Bézier descubrió la forma matemática y que De Casteljau inventó el algoritmo, la única razón por la que las superficies de Bézier resultaron tan útiles. Celui de la wikipedia en francés.

00

¿Me estoy perdiendo algo o deberíamos adoptar la convención de que 0 ⁰ = 1? Digamos que necesitamos calcular el siguiente polinomio de Bernstein (para un número n dado, con i=0 y t=0):

b_{i,n}(t):={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}\qquad

b_{0,n}(0):={n \choose 0}0^{0}(1-0)^{n-0}\qquad

Aquí tenemos 0 ⁰ .

¡¡Por supuesto 0 ⁰ = 1!!

0 ⁰ = 0*0 ^-1 = (1-1)*0 ^-1 = 0 ^-1 -0 ^-1 = 0

=> 0=1

(Lo cual sería un argumento válido si 0 ^-1 fuera un elemento de *cualquier* campo numérico...) 94.0.147.195 ( discusión ) 04:11 23 sep 2010 (UTC) [ responder ]

Comentario sobre raíces caídas

He omitido "y no existe una fórmula analítica para calcular las raíces de polinomios de grado 5 y superior" por dos razones: en primer lugar, en la mayoría de los casos se pueden utilizar aproximaciones numéricas en lugar de soluciones analíticas. Pero lo que es más importante, rara vez es necesario calcular t . La operación más frecuente es calcular los coeficientes con eliminación gaussiana, si no directamente. -- Nic Roets 09:18, 30 de julio de 2005 (UTC) [ responder ]

Yo apoyaría la eliminación de esa frase. No existe una fórmula *algebraica* para las raíces de una ecuación de quinto grado, pero sí hay una solución en forma cerrada en términos de funciones hipergeométricas (que son analíticas ). Es decir, no existe una fórmula para las raíces en términos de los coeficientes que utilice un número finito de sumas, multiplicaciones y extracciones de raíces (para polinomios de quinto grado y de orden superior). Sin embargo, sí existe una fórmula que implica un número finito de sumas, multiplicaciones, extracciones de raíces y evaluaciones de funciones hipergeométricas (para polinomios de grado mayor que cinco, se necesitan generalizaciones de las funciones hipergeométricas). -- jimbo 00:44, 12 de octubre de 2005 (CDT)

Descripción del círculo

Algunas curvas que parecen simples, como el círculo, no pueden describirse mediante una curva de Bézier o una curva de Bézier por partes
. Tengo una opinión diferente. Si creas una curva de Bézière cúbica que comienza en [0,1], pasa por [sqrt(1/2),sqrt(1/2)] y termina en [1,0] (sus puntos de control son [0,1],[x,1],[1,x],[1,0] donde x=0,552285), la curva resultante es equivalente a un círculo - la distancia entre puntos y el radio sólo difiere en décimas de por mil del radio.--janndvorakk 10:13, 1 enero 2006 (UTC) [ responder ]

Si hay alguna diferencia en el radio, por minúscula que sea, entonces la curva no puede describir el círculo. Disprosia 10:24, 1 enero 2006 (UTC) [ responder ]

El artículo sobre la spline de Bézier y su correspondiente página de discusión es un mejor lugar para describir una spline de Bézier que parece un círculo. -- DavidCary ( discusión ) 22:03 8 ago 2011 (UTC) [ responder ]

Construcción de curvas de Bézier

He añadido una sección sobre la construcción de curvas de Bézier, que incluye algunos GIF animados, porque creo que ayuda a visualizar las fórmulas de las curvas de Bézier. Pensé en añadir una derivación para que puedas ver a partir de la construcción cómo surge la fórmula de Bézier, porque alguien se quejaba diciendo: "Vaya, si hubiera una explicación para el profano". Por ejemplo, algo como esto para una curva cuadrática:

$\mathbf {Q} _{0}(t)=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$

$\mathbf {Q} _{1}(t)=(1-t)\mathbf {P} _{1}+t\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$

$\mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {Q} _{0}+t\mathbf {Q} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$

Entonces, haciendo alguna sustitución...

$\mathbf {B} (t)=(1-t)((1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1})+t((1-t)\mathbf {P} _{1}+t\mathbf {P} _{2}){\mbox{ , }}t\in [0,1]$

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}){\mbox{ , }}t\in [0,1]$

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$

Decidí que esto era más apropiado para un libro de texto de secundaria que para una enciclopedia, así que lo omití. Twirlip 16:43, 27 de agosto de 2006 (UTC) [ responder ]

Vaya, tu sección es genial. El artículo era bastante comprensible, pero tu sección realmente lo remató todo (especialmente las animaciones sexys). Gracias JakeParker 02:07, 2 de septiembre de 2006 (UTC) [ responder ]

En la página principal he cambiado estas fórmulas:

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n-1}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)$

Fórmulas correctas (la curva de Bézier es una interpolación entre dos curvas de Bézier de grado): $n-1$

Animaciones

Las animaciones de las curvas son demasiado rápidas para cualquiera que quiera estudiarlas. Tal vez sea mejor reducirlas un cincuenta por ciento aproximadamente.

Radical 05:34 10 septiembre 2006 (UTC) [ responder ]

¿Cómo es eso? Twirlip 20:15, 12 de septiembre de 2006 (UTC) [ responder ]

¡Estas animaciones son geniales! Alguien debería nominar una como animación destacada. Nunca comprendí las curvas de Bézier tan completamente como debería, pero todas las matemáticas son claras, sin siquiera leer las matemáticas. --jacobus (t) 17:53, 12 de octubre de 2006 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo, las animaciones son increíblemente útiles. 70.22.140.232 22:09, 3 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

También estoy de acuerdo y he sugerido las animaciones para WP:FPC en WP:PPR ( Wikipedia:Revisión por pares de imágenes/Animaciones de curvas de Bézier ). --Lph 01:09, 11 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ]

Estas animaciones finalmente me ayudaron a entender qué tienen de especial las curvas de Bézier. El pequeño tamaño del código C de muestra también da una pista de su importancia; son mucho más fáciles que las fórmulas que aparecen tan prominentes al principio del artículo. Incluso agregaría que tuve suerte de pasar por alto esas fórmulas y llegar a la sección de animación y código antes de descartar el artículo y permanecer en la oscuridad.

Resulta que las animaciones parecen indicar que las figuras hechas con clavos y cuerdas, como se muestra, por ejemplo, en http://www.stitchingcards.com/section.php?xSec=25, forman el contorno de una curva de Bézier. (Probablemente pensarás que lo próximo que haré será promocionar lámparas de lava en artículos relacionados con la convección o el cambio de densidad de los materiales con la temperatura)

En cuanto a la comprensión por parte de los profanos de qué son las curvas de Bézier o por qué son tan útiles, me gustaría sugerir que se cambie el orden del artículo para que las explicaciones más sencillas para los profanos comiencen primero. Después de todo, pocos de nosotros nunca habríamos aprendido que existe algo llamado curva de Bézier si no fuera por su construcción simple. --DevaSatyam 12:07, 19 de agosto de 2007 (UTC) [ responder ]

Nuevos enlaces

Agregué algunos enlaces a mis páginas sobre cómo construir curvas de Bézier geométricamente . Si desea incorporarlos al artículo principal, hágalo. - SharkD 21:45, 30 de octubre de 2006 (UTC) [ responder ]

Una pequeña duda...agradecería que me la respondieran

Bueno, estoy en la escuela secundaria, así que no entiendo mucho sobre curvas de Bézier. Pero estaba tratando de trazar una curva de Bézier en PowerToy Calc. Usé la fórmula que se proporciona en la sección de la charla "Construcción de curvas de Bézier". Esto fue lo que usé:

B(t) = ((1 - t)^2)*p + (2*t*(1 - t))*q + (t^2)*r

Aquí, p, q y r eran variables integrales a las que les di valores diferentes más tarde. Ahora mi duda era... lo que sea que esté haciendo, ¿está bien? porque las curvas que se trazaron... realmente no me parecieron curvas de Bézier. Si no lo estoy haciendo bien... ¿cómo se hace bien? Agradecería la ayuda.

Rohan2kool 10:47 11 abril 2007 (UTC) [ responder ]

Para obtener una curva, p, q y r deben ser vectores bidimensionales (es decir, puntos). Si solo utiliza valores escalares, probablemente obtendrá una parábola. No estoy familiarizado con PowerToy Calc, por lo que no sé qué tipo de compatibilidad tiene con ecuaciones paramétricas. Espero que esto ayude.

mistercow ( discusión ) 01:11 26 ene 2008 (UTC) [ responder ]

Enlace de referencia en duda

La primera referencia a las curvas de Bézier , [1], redirige a [2], que trata sobre las superficies de Bézier. Me pregunto si quizás esta página [3] sobre las curvas de Bézier era una intención. -- Jwwalker 18:11, 10 de agosto de 2007 (UTC) [ responder ]

El código para renderizar

El código C que presentamos para representar la curva Béziers cúbica es muy ineficiente. ¿Por qué no presentamos la técnica estándar de dividir repetidamente la curva en dos hasta que cada parte se acerque lo suficiente a una línea recta? -- Doradus 14:55, 19 de agosto de 2007 (UTC) [ responder ]

Lo he eliminado. El algoritmo de De Casteljau es mucho más eficiente. -- Doradus ( discusión ) 01:22 14 dic 2007 (UTC) [ responder ]

Beziers cúbicos en fuentes

Debería decirse que una de las razones por las que las curvas Bézier cúbicas son convenientes en las fuentes (como en PostScript Type 1, etc.) es que se puede exigir que una curva cúbica tenga dos puntos finales específicos y un ángulo tangente específico en cada punto final, y aún así tener un mayor control sobre la forma de la curva entre los puntos finales. Por el contrario, si se utilizan curvas Bézier cuadráticas, al especificar dos puntos finales y dos ángulos tangentes correspondientes se especifica por completo la forma de la curva; si luego se desea cambiar la forma de la curva, la única manera es volver a cortarla (utilizando puntos finales diferentes), y esto puede tener un efecto de reacción en cadena adicional sobre los segmentos de curva cuadrática vecinos (el temido problema de no localidad al intentar editar fuentes Truetype en formato nativo, es decir, sin convertirlas). AnonMoos 18:47, 1 de septiembre de 2007 (UTC) [ responder ]

¿Posdata?

Teniendo en cuenta que la curva de Bézier se popularizó digitalmente antes de Illustrator, etc. con PostScript, ¿no merece PostScript una mención? En particular porque PostScript ofrece entidades de lenguaje ciudadano de primera clase para definir estas curvas. —Comentario anterior sin firmar añadido por 70.68.70.186 ( discusión ) 00:20, 16 de agosto de 2008 (UTC) [ responder ]

Sí, sólo un ejemplo más de cómo PostScript *podría* ser uno de los lenguajes informáticos más subestimados y pasados por alto. Toddcs ( discusión ) 06:13, 31 de agosto de 2009 (UTC) [ responder ]

¿Alguien sabe por qué se eligieron originalmente las curvas de Bézier para Postscript? (¿Serían "DAK" en lenguaje textual?) ¿Son matemáticamente más fáciles de evaluar (menor intensidad de cálculo) que otras curvas polinómicas, o permiten una mejor relación "detalle/capacidad gráfica/carga de cálculo"? ¿O ya se utilizaban en aplicaciones especializadas cuando Adobe creó el estándar Postscript? Sería bueno tener una fuente citable, pero probablemente sería difícil de conseguir. Tal vez algo en folklore.org. (Probablemente no citable, pero tal vez como enlace externo) Gracias. Jimw338 ( discusión ) 18:17 29 septiembre 2019 (UTC) [ responder ]

Bézier cúbico, fórmula corregida

Hola, he corregido ([email protected]) la fórmula cúbica de Bezier de: B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2, t3P3, tE[0,1] a: B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3(1-t)t2P2, t3P3, tE[0,1] Saludos desde Holanda :) —Comentario anterior sin firmar añadido por 212.29.183.137 (discusión) 12:30, 30 de diciembre de 2008 (UTC) [ responder ]

Nombres de las curvas

Hola, ¿los encabezados de las curvas cúbicas y cuadráticas están al revés? —Comentario anterior sin firmar añadido por 81.167.94.214 (discusión) 19:24, 7 de mayo de 2009 (UTC) [ responder ]

Te perdiste un encabezado, así que agregué uno. No, los nombres no están al revés, aunque suene como si lo estuvieran. Las ecuaciones son polinomios y los nombres provienen de su grado : lineal, cuadrático, cúbico, cuártico, etc. Puedo ver cómo " cuadrático " suena como si debiera significar "de grado 4", pero no es así, significa "de grado 2". Para citar la página de desambiguación de Wikipedia:

En matemáticas, el término cuadrático describe algo que pertenece a los cuadrados, a la operación de elevar al cuadrado, a términos de segundo grado o a ecuaciones o fórmulas que involucran dichos términos. Quadratus es la palabra latina para cuadrado.

192.171.3.126 ( discusión ) 11:55 12 may 2009 (UTC) [ responder ]

¿Baja importancia?

No creo que deba restarle importancia a esto: es muy visitado y es importante para los editores gráficos como Inkscape y GIMP. Resident Mario ( discusión ) 18:55 18 ene 2009 (UTC) [ responder ]

Es el proyecto de matemáticas el que lo ha calificado como bajo, es decir, tiene una prioridad baja con respecto a los objetivos del proyecto. Otros proyectos son libres de darle una prioridad diferente. -- RDBury ( discusión ) 22:25 6 jun 2010 (UTC) [ responder ]

Por favor, ilustra los conceptos un poco más.

Por ejemplo:

Para garantizar la suavidad, el punto de control en el que se encuentran dos curvas debe estar en la línea entre los dos puntos de control de cada lado.

Sería bueno mostrar "dos curvas que se encuentran" y el punto de control "en el que se encuentran". Es posible que se intuya que la suavidad se logra después de ilustrar lo anterior.

Veo una ilustración con el título "Ejemplo de dos curvas Bézier cúbicas unidas...", pero no queda claro que haya dos curvas dentro. ¿Soy un poco lento?

Jgsack (discusión) 20:07 30 jun 2009 (UTC)jim [ responder ]

Derivado

Se eliminó el siguiente texto: "En otras palabras, las tangentes en P ₀ y P ₂ pasan ambas por P ₁ ". Sin embargo, ese texto es correcto. Las líneas tangentes a la curva de Bézier en cada uno de los puntos finales son líneas que pasan por P ₁ . Por favor, explique por qué cree que esto no es cierto. − Woodstone ( discusión ) 00:05 13 abr 2010 (UTC) [ responder ]

¿No deberían eliminarse los puntos, ya que se trata de productos normales, no de productos punto? Me da reparo hacerlo, ya que no es mi área de especialización, pero me desconcertó. ¿He pasado algo por alto? 72.48.211.208 (discusión) 04:31 20 feb 2014 (UTC) [ responder ]

Los puntos también se pueden utilizar para la multiplicación escalar, pero los escalares no deberían estar en negrita. − Woodstone ( discusión ) 16:19 20 feb 2014 (UTC) [ responder ]

Spline espiro

¿Es una spline espiro una curva de Bézier especial?-- 92.227.184.234 (discusión) 16:45 21 jul 2010 (UTC) [ responder ]

Sección eliminada

Forma cerrada para la función Bézier cuadrática 2D

Usando , y , el bezier 2D se puede escribir en la forma: $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ $(x_{2},z_{2})$

x_{0}(1-t)^{2}+2x_{1}(1-t)t+x_{2}t^{2}=x

y_{0}(1-t)^{2}+2y_{1}(1-t)t+y_{2}t^{2}=y

\alpha t^{2}+\beta t=\gamma

\delta t^{2}+\xi t=\eta

dónde

\alpha =x_{0}+x_{2}-2x_{1},

\beta =2x_{1}-2x_{0},

\gamma =x-x_{0},

\delta =y_{0}+y_{2}-2y_{1},

\xi =2y_{1}-2y_{0},

\eta =y-y_{0}.

De las ecuaciones anteriores podemos encontrar : $t$

t={\frac {\gamma \delta -\eta \alpha }{\beta \delta -\xi \alpha }}

Completando una de las dos ecuaciones encontramos la forma cerrada: $t$

\gamma ^{2}\delta ^{2}+\eta ^{2}\alpha ^{2}-2\gamma \eta \delta \alpha +(\beta \delta -\xi \alpha )(\xi \gamma -\eta \beta )=0

(x-x_{0})^{2}\delta ^{2}+(y-y_{0})^{2}\alpha ^{2}-2(x-x_{0})(y-y_{0})\delta \alpha +(x-x_{0})\xi (\beta \delta -\xi \alpha )-(y-y_{0})\beta (\beta \delta -\xi \alpha )=0.

Podemos ver que hemos escrito la curva de Bézier en una sola ecuación.

Acabo de eliminar la sección anterior porque tiene varios problemas. Es una pieza sencilla de manipulación algebraica, pero incluso en el caso más simple da como resultado una expresión mucho más compleja para la curva que pierde información de la forma x(t), y(t), como los puntos dados por t = 0, t = 1, etc., y no vale la pena hacerlo ya que es solo un caso especial: 2D y cuadrático. Por lo tanto, sospecho que no proviene de ninguna fuente, sino que es OR. Está escrito de manera no enciclopédica (demasiado en primera persona principalmente) y tiene al menos dos errores: uno trivial en la primera línea y uno más serio que no maneja varios casos. Podría haber más, ya que no puedo verificar ninguna fuente y no me puedo molestar en reproducir los pasos para la última expresión demasiado compleja (que ni siquiera está completamente expandida, lo que la haría aún más compleja). -- JohnBlackburne ^palabras_hechos 14:30, 13 agosto 2010 (UTC) [ responder ]

Bueno, es útil para demostrar que una curva de Bézier cuadrática es un segmento de una parábola, ya que el discriminante de la sección cónica es 0. Y como cualesquiera 3 puntos se encuentran en algún plano, incluso en dimensiones superiores, podemos encontrar un plano en el que se encuentren los 3 puntos, así como la curva de Bézier cuadrática, por lo que las propiedades siguen siendo válidas. -- 24.130.148.132 (discusión) 21:07 27 abr 2013 (UTC) [ responder ]

forma cerrada

Agregué una solución de forma cerrada para una curva de Bézier cuadrática. Sin embargo, en cuestión de minutos, JohnBlackburne revirtió mi contribución como: Rv sin fuentes, resultado no notable (¿O?), escrito de manera no enciclopédica con errores triviales y no triviales.

Permítame comentar eso.

Sin fuentes: No tiene fuentes, ya que lo obtuve yo mismo, ya que no pude encontrar la solución en la web. Puedo brindarte alguna solución más para que puedas seguirla.

No es destacable: Puede que así sea, pero en ningún lugar de Internet pude encontrar la solución o una pista para encontrarla. Así que al menos estaba buscando la respuesta. Así que puede que haya otras personas también, así que pensé en ayudar a otras personas. Además, no se puede decir que no tiene fuentes y que no es destacable. Si no es destacable, no debería necesitar una fuente.

Escrito de manera poco enciclopédica con errores triviales y no triviales: Bueno, poco enciclopédico tal vez, tal vez no. Si crees que puedes mejorar mi artículo, hazlo; errores triviales y no triviales, por favor, indícamelos o corrígelos.

Por cierto, ¿qué pasa con la gente que, si ve una nueva incorporación, quiere que se marque como "Sé lo que es mejor" y la elimina inmediatamente? ¡Caray! Intento contribuir a la comunidad y la eliminan en cuestión de minutos. La próxima vez no me molestaré. Muchas gracias. Buen trabajo. —Comentario anterior sin firmar añadido por 88.159.78.227 (discusión) 14:34, 13 de agosto de 2010 (UTC) [ responder ]

Vea mis comentarios anteriores para conocer mis razones ampliadas. Dice que no tiene fuentes y que usted mismo lo obtuvo. Eso lo convertiría en investigación original y Wikipedia tiene una política muy clara sobre investigación original, en Wikipedia:No original research . Por no notable me refiero a que, aunque no haya proporcionado una fuente, no creo que pueda encontrar una, ya que parece diferente a todo lo que alguien se molestaría en hacer y publicar. Los errores también lo indicaron.

Cualquiera de nosotros podría hacer cálculos matemáticos y añadirlos a Wikipedia: yo podría derivar una fórmula bastante más compleja para, por ejemplo, curvas cúbicas, y añadirla. Luego, otro editor podría añadir otro resultado derivado por él mismo, luego otro, etc. Para detener esto, que causaría caos en muchos artículos, los editores sólo deberían añadir contenido a los artículos que parezcan fuentes fiables. Deberían utilizar sus propias palabras y pueden hacer cálculos sencillos por su cuenta cuando sea apropiado, pero las derivaciones algebraicas largas como ésta deben tener sus fuentes. -- JohnBlackburne ^palabras_hechos 14:46, 13 de agosto de 2010 (UTC) [ responder ]

Mejor aún, se deberían evitar por completo las derivaciones algebraicas tan largas como ésta. Esta es una enciclopedia, no una hoja de ejercicios de álgebra. — Emil J. 14:55, 13 de agosto de 2010 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo en que cualquiera de nosotros podría hacerlo y de ninguna manera publicaría esto en una revista científica, por lo tanto no es OR, fue pensado como una adición útil. Lo siento, agregué la derivación, pensé que podría ayudar a alguien. Y para ser honesto, gran parte de esta página tiene expansiones triviales ("examen de casos", ejemplo n = 5 en "generalización", "grado de elevación", etc.) que aún son útiles. Pero si es necesario, puedo proporcionar una versión de una línea. Sobre que no es útil. Fue útil para mí, para calcular intersecciones de líneas. Y estoy seguro de que si fue útil para mí, será útil para alguien más. También se puede encontrar fácilmente el caso 3D. Superior a cuadrático también se puede hacer fácilmente de la misma manera. Acabo de publicar el cuadrático 2D como muestra el método. Sobre la forma de primera persona, bueno, eso es una cuestión de estilo. Una gran cantidad de investigaciones se escriben en la forma "nosotros". Debes saberlo. Generalmente se piensa que la forma "nosotros" se lee más fácilmente, pero es un tema de debate.

Para concluir, si crees que se trata de una "investigación propia", entonces está bien, déjalo. Si crees que no es útil, entonces esa es tu opinión, alguien más podría tener otra. Creo que la forma cerrada al menos merece una mención. —Comentario anterior sin firmar agregado por 88.159.78.227 (discusión) 15:35, 13 de agosto de 2010 (UTC) [ responder ]

Animaciones increíbles

Me conecté solo para decir que las animaciones de Twirlip son simplemente increíbles. Felicitaciones por tus contribuciones, Twirlip. Realmente son excelentes. -- Mecanismo | Talk

De nada :) Twirlip ( discusión ) —Comentario anterior sin fecha añadido a las 19:05, 24 de febrero de 2011 (UTC).[ responder ]

Enlaces externos

Agregué el enlace externo a mi libro electrónico gratuito en la Web. Es un tratamiento más completo de la interpolación por partes para quienes no conocen el tema y está orientado a los gráficos. Agregaré referencias a otras páginas Wiki relacionadas en el futuro.

Mi libro electrónico es a la vez un estudio de los fundamentos descritos en términos simples y una referencia que muestra muchos tipos de interpolación polinómica, tanto los tipos comunes como algunos desarrollados por el autor. También muestra algunas técnicas que no se ven en ningún otro lugar. La interpolación lineal se analiza con atención y se muestra como la base para todos los tipos más avanzados utilizando solo álgebra. Solo después de comprender cómo la adición de términos al cuadrado y al cubo causa curvas suaves, se examinan las curvas más avanzadas, como Bezier, Catmul-Rom, b-spline y Hermite. Los conceptos y notaciones matemáticas más avanzadas se reducen al mínimo. Se examinan algunas técnicas adicionales sugeridas por las matemáticas y que el autor no ha visto en ningún otro lugar. También se incluye una referencia con todos los métodos de dibujo de curvas más comunes e incluye dibujos para permitir la comparación con otros tipos.

POR QUÉ: Tenía la esperanza, pero no pude encontrar, de encontrar un libro que explicara los conceptos básicos de la interpolación polinómica y pensé que seguramente debía existir una colección de tipos de interpolación. Encontré pruebas puramente matemáticas o textos avanzados de gráficos. Varios años después, comencé a leer los "grupos" originales de Usenet en Internet, comp.graphics.algorithms, e hice muchas búsquedas en la red. Guardé todo lo que encontré relacionado con splines y curvas, pero no lo miré ni traté de entender nada hasta principios de 1996, cuando decidí mirar lo que había recopilado y comencé a entender las cosas. Comencé a registrar mis pensamientos para futuras referencias y este es el resultado. El mismo libro que quería originalmente ahora está disponible gratuitamente para otros.

No creo que esto tenga ningún problema con las pautas de autocita de Wiki. -- Steve -- ( discusión ) 22:50 28 ago 2011 (UTC) [ responder ]

Curva de Bézier en el Universo

Después de leer los comentarios, me gustaría saber si es posible un ejemplo de curva de Bézier en 3D. En mi opinión, una hélice es un ejemplo de curva de Bézier en 3D. Otra observación que he hecho me sugiere que todas las líneas del universo (espacio) son curvas de Bézier en 3D, por lo que ¿puedo decir que no es posible una línea recta en el espacio? Esto se basa en mi comprensión de que un punto en este universo siempre tiene tres dimensiones. Por favor, comenten. Pathare Prabhu ( discusión ) 03:35 3 abr 2012 (UTC) [ responder ]

Sí, son posibles las curvas de Bézier en 3D. Su definición es idéntica a las dadas, pero los vectores P _i deberían ser puntos en el espacio 3D. Un círculo, o parte de él, no puede escribirse como una curva de Bézier, por lo que tampoco puede ser una hélice. Por el contrario, un segmento de línea recta puede representarse mediante una curva de Bézier de cualquier orden, teniendo todos los puntos de control en la línea. − Woodstone ( discusión ) 08:51 3 abr 2012 (UTC) [ responder ]

Examen de casos

¿Podría algún matemático añadir a esta sección una explicación de cómo cambia una curva de orden inferior a medida que se añaden más puntos (es decir, una curva cuadrática a través de 6 puntos)? Visité muchos sitios web antes de poder terminar mi programa, que todavía es ad hoc. Sospecho que hay una explicación muy bonita de cómo se eligen los diferentes polinomios de Bernstein en este caso, y esta matemática ayudaría a los programadores a no extraviarse. Gracias. — Comentario anterior sin firmar añadido por Greg Fichter (discusión • contribuciones ) 15:36, 30 de diciembre de 2013 (UTC) [ responder ]

La pregunta es bastante vaga. ¿Podrías ser más explícito en lo que quieres decir? ¿Cómo quieres "agregar más puntos"? ¿Eres consciente de que la curva no pasa "por" muchos de los puntos de control? − Woodstone ( discusión ) 16:31 30 dic 2013 (UTC) [ responder ]

Greg, esto puede ser un malentendido fundamental del método de curva por partes. Para una curva de Bézier/Bernstein cuadrática (o cualquiera de estos tipos de curvas), no se "seleccionan" diferentes polinomios cuando se utilizan más puntos, solo se agregan segmentos de curva del mismo tipo y se deben agregar puntos en el incremento requerido (tres a la vez para cuadrática). Si aumenta el orden y pasa a cúbica, entonces los polinomios cambian y necesita cuatro puntos para cada segmento. Mi libro está diseñado para ayudar a comprender cosas como esta y creo que lo ayudará a comprender este concepto. Puede descargar mi libro de forma gratuita aquí:

http://k9dci.home.comcast.net/~k9dci/site/?/page/Piezawise_Polynomial_Interpolation/

Si ese enlace no está permitido aquí, vaya a mi página de usuario y haga clic a la mitad, donde dice "El texto completo, Los fundamentos de la interpolación polinomial por partes... descargar en este sitio".

Como no puedo entender exactamente lo que estás pensando, no estoy seguro de a dónde indicarte. Es posible que tengas que empezar al principio del libro, pero prueba con las páginas 12 sobre grado/orden, 28 sobre grado/forma y, luego, el capítulo 6 sobre la curva Bézier en sí. También puedes ponerte en contacto conmigo a través de ese sitio si necesitas más ayuda, pero pasé años editando el libro para que fuera claro en este nivel fundamental. Tendría que revisar el artículo para ver si el concepto de segmentación por partes no es lo suficientemente explícito...

Saludos cordiales, -- Steve -- ( discusión ) 16:01 31 dic 2013 (UTC) [ responder ]

Pensando en esto, quizás la respuesta a tu pregunta sea simplemente que cuando agregas un segmento, la forma del nuevo segmento se establece de la misma manera que en el primer segmento, pero por el nuevo conjunto de puntos de control. Tienen una forma independiente (para Bézier). Es otro segmento igual que el primero. Ese es el propósito de estos métodos. Tienes control local de partes de una curva compleja por un pequeño conjunto de puntos de control. Estos segmentos simplemente se apilan de extremo a extremo para obtener una curva más compleja. -- Steve -- ( discusión ) 16:12 31 dic 2013 (UTC) [ responder ]

Prueba de correo electrónico: IGNORE ESTO. No recibía correo electrónico, ESteve. — Comentario anterior sin firmar agregado por 67.162.42.48 (discusión) 17:00, 31 de diciembre de 2013 (UTC)[ responder ]

Las subcurvas son al menos del orden de la padre, supongo, pero no estoy seguro a partir de esta cita.

Una curva se puede dividir en cualquier punto en dos subcurvas, o en cualquier número de subcurvas, cada una de las cuales es también una curva de Bézier.

Modernizando un poco la terminología

Me gustaría modernizar la terminología del artículo en algunos lugares. En particular, me gustaría reemplazar las referencias a "línea recta" por simplemente "línea", ya que las líneas siempre son rectas en la terminología moderna, y ver el término "línea recta" puede dar a los lectores la idea confusa de que las líneas pueden no ser siempre rectas. Pero no quiero hacer esto sin darles a los custodios la oportunidad de comentar... Eleuther ( discusión ) 00:51 13 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Las líneas no siempre son rectas en la “terminología moderna”. Son rectas en el ámbito de la geometría euclidiana moderna. Ni siquiera son “rectas” en matemáticas en general, y ciertamente no son rectas sin calificación en inglés general. Pensar que las líneas pueden no ser rectas no significa que alguien esté confundido. Significa que habla un inglés sencillo.

Del diccionario americano New Oxford:

Una marca o banda larga y estrecha: una fila de puntos muy juntos se verá como una línea continua. | No puedo dibujar una línea recta.
Matemáticas : Extensión continua, recta o curva, de longitud sin ancho.

…

(en un mapa o gráfico) una curva que conecta todos los puntos que tienen una propiedad común especificada.

… etcétera.

El artículo está destinado al lector general de inglés, no a los geómetras. Me opongo a este cambio, ya que hace que el artículo sea menos comprensible para algunas personas. Dejarlo como “línea recta” no confunde a nadie. Strebe ( discusión ) 05:55 17 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Bueno, no estoy de acuerdo con casi nada de lo que acabas de decir, pero no hay necesidad de apasionarse por ello. Como odias tanto mis cambios, los he revertido. Creo que estás siendo estúpido, pero no lucharé contra ello. Eleuther ( discusión ) 07:17 19 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Siempre me ha convencido más el argumento ad hominem . Su invocación demuestra claramente que el proveedor no ve la necesidad de apasionarse. Strebe ( discusión ) 18:28 19 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Sea lo que sea lo que eso significa. Cuando digo "ser estúpido", me refiero a que pareces estar argumentando, de manera bastante explícita, a favor de simplificar el lenguaje a costa de la precisión. Debería haberlo dicho con más precisión. Eleuther ( discusión ) 07:29 21 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Hay que encontrar un equilibrio entre utilizar un significado técnico preciso de las palabras y escribir de una manera que se pueda entender. Estas páginas se pueden utilizar para debatir ese equilibrio. Lo ideal sería que esa discusión fuera agradable y, en general, encantadora. La frase “Creo que estás siendo estúpido” no alcanza ese estándar técnico. JDAWiseman ( discusión ) 07:35 21 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Gracias, JDA. Ya me he disculpado por usar la palabra estúpido, pero lo hago de nuevo ahora. Lo que me molestó fue el uso insultante que hizo Strebe de la palabra geómetra. Eleuther ( discusión ) 09:13 21 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Mi título universitario en matemáticas tiene más de un cuarto de siglo de antigüedad, por lo que puede que me esté perdiendo algo, pero "geometrista" no es obviamente un insulto. Y Strebe ni siquiera te llamó con la palabra g—: lo dijo de tu aparente audiencia. JDAWiseman ( discusión ) 09:24 21 sep 2016 (UTC) [ responder ]

La mía es aún más antigua, pero trato de mantenerme actualizado, en la medida de lo posible. La palabra habitual es geómetra. Geometrista es un sinónimo que rara vez se utiliza. Strebe claramente está usando este término oscuro para agregar insulto a su afirmación de que la geometría abstracta moderna es irrelevante para los lectores en general. Eleuther ( discusión ) 14:54 23 septiembre 2016 (UTC) [ responder ]

Guau. Simplemente... guau. Strebe ( discusión ) 20:57, 23 de septiembre de 2016 (UTC) [ respuesta ]

¿Qué estás tratando de decir? Por favor, explícalo un poco. ¿O simplemente estás tratando de hacernos saber que estás drogado? Eleuther ( discusión ) 18:41 25 sep 2016 (UTC) [ responder ]

Incluso en el campo de las matemáticas, una línea es simplemente una entidad unidimensional. No necesariamente recta.− Woodstone ( discusión ) 09:19 19 sep 2016 (UTC) [ responder ]

No lo sentí con mucha fuerza, pero en general pensé que el término "recto", aunque técnicamente es redundante, aportaba claridad. JDAWiseman ( discusión ) 14:06 19 sep 2016 (UTC) [ responder ]

"Aplicabilidad a los gráficos" en 1912-1962

He eliminado la segunda parte de la frase " La base matemática de las curvas de Bézier -el polinomio de Bernstein- se conoce desde 1912, pero su aplicabilidad a los gráficos no se comprendió hasta medio siglo después ". Esta es una trivialidad del mismo tipo que " La criptografía se conoce desde 1900 a. C., pero su aplicabilidad a la banca por Internet no se comprendió hasta 38 siglos después " . -- Alexey Muranov ( discusión ) 16:21 25 septiembre 2017 (UTC) [ responder ]

¿Por qué estás tan obsesionado con eliminar este comentario inofensivo e informativo, sobre la base de argumentos tan insensatos? Pareces oponerte a él basándote en una interpretación errónea, deliberada y obtusa de lo que realmente dice. En particular, pareces pensar que, como no había computadoras en 1912, no había gráficos en 1912. Pero la gente había estado creando gráficos basados en fórmulas matemáticas durante siglos antes de 1912. El comentario simplemente dice que los polinomios de Bernstein no fueron considerados en este papel hasta aproximadamente 50 años después de que se definieron por primera vez. Eleuther ( discusión ) 14:23 28 sep 2017 (UTC) [ responder ]

Mencionar un propósito para el cual no se utilizó una herramienta específica en algún momento es una puerta abierta a una expansión infinita. Guárdelo hasta el momento en que se utilice. − Woodstone ( discusión ) 12:19 29 sep 2017 (UTC) [ responder ]

Gracias, Woodstone. Volveré a aplicar la observación de una forma que espero satisfaga a todos los involucrados. Eleuther ( discusión ) 13:23 30 sep 2017 (UTC) [ responder ]

No he encontrado ninguna aplicación de las curvas de Bézier en ningún tipo de gráficos, excepto en gráficos por ordenador. (Si he entendido bien, su uso por parte de Pierre Bézier era en gráficos por ordenador). Agradecería cualquier referencia a cualquier ejemplo en el que alguien haya dibujado algunas curvas de Bézier a mano, sin utilizar ordenadores. Me refiero al último medio siglo, cuando su aplicación en "gráficos" es bien conocida. -- Alexey Muranov ( discusión ) 21:29 15 may 2018 (UTC) [ responder ]

Enlaces externos modificados

Hola compañeros wikipedistas,

Acabo de modificar 2 enlaces externos en la curva de Bézier . Tómese un momento para revisar mi edición . Si tiene alguna pregunta o necesita que el robot ignore los enlaces o la página en su totalidad, visite esta sencilla sección de preguntas frecuentes para obtener información adicional. Hice los siguientes cambios:

Se agregó el archivo https://web.archive.org/web/20110718131613/http://www.xlrotor.com/resources/files.shtml a http://www.xlrotor.com/resources/files.shtml
Se agregó el archivo https://web.archive.org/web/20090719011857/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/bezier/index.html a http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/bezier/index.html

Cuando haya terminado de revisar mis cambios, puede seguir las instrucciones de la plantilla a continuación para solucionar cualquier problema con las URL.

Y Un editor revisó esta edición y corrigió todos los errores encontrados.

Si ha descubierto URL que el bot consideró erróneamente como muertas, puede informarlas con esta herramienta.
Si encuentra un error con algún archivo o con las URL en sí, puede solucionarlo con esta herramienta.

Saludos.— InternetArchiveBot ( Reportar error ) 20:52 1 dic 2017 (UTC) [ responder ]

La imagen de este artículo aparecerá pronto como POTD

¡Hola! Esta es una nota para informar a los editores de este artículo que File:Bézier 2 big.gif aparecerá como imagen del día el 23 de octubre de 2018. Puedes ver y editar la descripción del día en Template:POTD/2018-10-23 . Si este artículo necesita alguna atención o mantenimiento, sería preferible que se pudiera hacer antes de su aparición en la página principal . Gracias — Amakuru ( discusión ) 12:47 16 octubre 2018 (UTC) [ responder ]

Imagen del día

Una curva de Bézier es una curva paramétrica que se utiliza en gráficos por ordenador y campos relacionados. La curva, que está relacionada con el polinomio de Bernstein , recibe su nombre de Pierre Bézier , quien la utilizó en la década de 1960 para diseñar curvas para la carrocería de los coches Renault . Otros usos incluyen el diseño de fuentes y animaciones por ordenador. Las curvas de Bézier se pueden combinar para formar un spline de Bézier o generalizar a dimensiones superiores para formar superficies de Bézier .Imagen: Phil Tregoning

Representación matricial

Cuando vi esta página originalmente, esperaba ver información relacionada con la representación matricial de la spline. Ver: Curvaturas de Bézier como operaciones matriciales. --SomeTimeLater (discusión) 17:40 24 dic 2021 (UTC) [ responder ]

Introducción

La introducción debe ser más clara para el lector general (no informático). Creo que es importante mencionar desde el principio que la curva se obtiene mediante un algoritmo informático, con los puntos de control como entrada. De ahí que la versión anterior dijera: "Un conjunto de puntos de control discretos define una curva continua suave, obtenida mediante un algoritmo".

Decir simplemente que las curvas están definidas por puntos de control es incompleto. La forma en que estos puntos de control definen una curva suave es un misterio para quienes no son científicos informáticos (los científicos informáticos pueden suponer que se hace mediante un código).

En cuanto a "en cualquier caso, los puntos de control pueden simplemente elegirse para definir una curva, en lugar de al revés". No todas las curvas continuas son estrictamente de Bézier (es decir, no se puede encontrar un número finito de puntos de control para una curva dada, aunque se pueden encontrar ajustes muy buenos). Tal vez debería mencionarse que la mayoría de las curvas se pueden aproximar con mucha precisión con curvas de Bézier. Pskuri ( discusión ) 00:52 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Pskuri ( discusión ) 00:52 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Creo que entiendo uno de tus puntos, pero no estoy seguro de cómo transmitir lo que quieres decir sin causar más confusión. En particular, el uso del término “algoritmo” puede ser engañoso. La curva está relacionada con los puntos a través de una fórmula, no de un algoritmo. Es cierto que un algoritmo se utiliza, en la práctica, para determinar cuáles deben ser los puntos de control para aproximar una curva, dado que no existe una fórmula cerrada para la inversa (curva a puntos). Sin embargo, no es cierto que solo la inversa sea útil e importante, y no es cierto que un “algoritmo” sea la relación. Un algoritmo es solo un método computacional. En cuanto a tus otros puntos, no estoy de acuerdo con que “cómo estos puntos de control definen una curva suave se deje como un misterio”: el resto del artículo lo explica, al igual que los diagramas. A veces, detalles como ese no se adaptan a la brevedad del inicio. Sin embargo, lo intentaré. Strebe ( discusión ) 18:11 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Mi última versión fue:

"Los "puntos de control" discretos determinan una fórmula (una función vectorial) que define una curva continua y suave. Las curvas de Bézier pueden aproximarse a una amplia variedad de formas, incluidas las que se encuentran en el mundo real y que tienen representaciones matemáticas complicadas o desconocidas".

Creo que mi versión es a) más sucinta. b) No estoy seguro de que "generalmente estén destinadas" a aproximarse a formas del mundo real, aunque, por supuesto, se pueden usar para eso. c) Todas las ecuaciones que definen la curva utilizada en el artículo son funciones vectoriales que están determinadas por los puntos de control (ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:B%C3%A9zier_curve/B%C3%A9zier_curve#General_definition)

Ignorando c), pensé que una edición anterior era solo una versión más sucinta de la tuya:

"Los "puntos de control" discretos con una fórmula definen una curva continua y suave. Las curvas de Bézier pueden aproximarse a una amplia variedad de formas, incluidas las que se encuentran en el mundo real y que tienen representaciones matemáticas complicadas o desconocidas".

Gracias Pskuri ( discusión ) 21:36 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Una versión alternativa más sucinta (aceptando mi punto respecto a c)

"Los "puntos de control" discretos determinan una función vectorial que define una curva continua suave. Las curvas de Bézier pueden aproximarse a una amplia variedad de formas, incluidas las que se encuentran en el mundo real y que tienen representaciones matemáticas complicadas o desconocidas". Pskuri ( discusión ) 21:41 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

La función no está determinada por los puntos de control; la función está parametrizada por los puntos de control. La función en sí es la misma independientemente de los puntos de control y "existe" independientemente de cualquier punto de control en particular. Por lo tanto, encontré confusa su redacción. Las curvas de Bézier se utilizan generalmente para modelar formas (más generalmente, funciones) que no son, en sí mismas, curvas de Bézier. A veces se utilizan para interpolar. Pero, dado que casi cualquier programa de modelado/arte vectorial y todas las fuentes modernas utilizan curvas de Bézier para representar formas que no son, inherentemente, curvas de Bézier, no creo que deba ser controvertido indicar para qué están destinadas habitualmente. Strebe ( discusión ) 22:33, 17 de febrero de 2022 (UTC) [ responder ]

No creo que la expresión "normalmente prevista" sea adecuada, ya que no sabemos cuáles son las intenciones de los dibujantes. Además, en muchos casos, como por ejemplo los coches, no intentan aproximarse a objetos del mundo real, sino que crean nuevas curvas.

Me tomó mucho tiempo hacer que esas dos oraciones fueran concisas y claras. ¿Asumo que no estaba menospreciando mis esfuerzos sinceros al llamarlas "palabras sueltas"?

Todas las ecuaciones que definen las curvas de Bézier son funciones vectoriales. Cada curva de Bézier tiene su propia función vectorial, que se escribe en términos del vector de posición de los puntos de control.

Propongo por ahora utilizar mi versión anterior:

Esta versión utiliza menos palabras que la actual y también elimina el problema de afirmar la intención habitual.

Sugiero que otro editor con formación matemática revise mi definición propuesta:

"Los "puntos de control" discretos determinan una función vectorial que define una curva continua suave".

La razón por la que prefiero esto es porque considero que la "fórmula" es demasiado vaga, además creo que este es un resumen muy simple de las ecuaciones de la página. Muchas gracias Pskuri ( discusión ) 23:29 17 feb 2022 (UTC) [ responder ]

¿Supongo que no menospreciaste mis sinceros esfuerzos al llamarlo "palabras burdas"? ¿Por qué lo supusiste?
No creo que “mundo real” implique “ya existente”; creo que un coche que puede o no fabricarse es un ejemplo del mundo real. Lo que no es “mundo real” es, por ejemplo, utilizar una curva de Bézier para aproximar una función que no pretende representar nada físico en el contexto en el que se utiliza. Sin embargo, si este uso de “mundo real” te ha confundido, entonces estoy de acuerdo en que deberíamos encontrar algo más claro.
"Los "puntos de control" discretos con una fórmula definen una curva continua suave. Nuevamente, esto me parece vago en el mejor de los casos; si lo leyera (como alguien que hace muchas matemáticas) no estaría seguro de lo que significa. Esta redacción me parece relativamente completa e inequívoca: "Los puntos de control discretos utilizados como parámetros para una función generadora de Bézier definen una curva continua suave".
"Los "puntos de control" discretos determinan una función vectorial que define una curva continua y uniforme". El término "función vectorial" no se utiliza en ningún otro lugar de la página y no creo que haya una buena razón para introducirlo aquí. Mucho más importante es que la curva es paramétrica, lo cual ya se ha indicado. También estoy en desacuerdo con el término "determina", como ya señalé y expliqué.
Si crees que “normalmente” es problemático, te sugiero que uses “comúnmente”. El objetivo es informar a los lectores por qué podrían molestarse en interesarse por el tema.

Strebe ( discusión ) 00:33 18 feb 2022 (UTC) [ responder ]

La parte sobre la aproximación de formas del "mundo real" se aplica a los splines de Bézier (una cadena de curvas de Bézier), no tanto a las curvas de Bézier individuales. Por lo tanto, esa oración del inicio puede resultar confusa. No todas las curvas de Bézier son "suaves". Una curva de Bézier de tercer orden puede tener cúspide. Lo que queda puede enunciarse como: "Una fórmula aplicada a un conjunto discreto de puntos de control define una curva continua". − Woodstone ( discusión ) 04:08 18 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Gracias por tu aporte. Creo que Strebe puede estar usando mal la palabra "verbiage", que significa "el uso excesivo y a menudo sin sentido de las palabras", y por lo tanto puede resultar ofensivo (sin querer).

Consideré que "mundo real" significaba el mundo físico (es decir, no el mundo virtual ni la imaginación del dibujante).

Esto presenta algunos problemas: “Los puntos de control discretos utilizados como parámetros para una función generadora de Bézier definen una curva suave y continua”.

El parámetro en las funciones vectoriales que definen las curvas (en el artículo) es 't'. Los vectores de posición actúan de manera similar a los coeficientes en las ecuaciones de escala. (Creo que la oración estaría bien si dijéramos "los puntos de control son parámetros de un algoritmo generador de Bezier", es decir, parámetros en el sentido de programación informática ).

En cuanto a "Los "puntos de control" discretos determinan una función vectorial que define una curva continua suave": sigo pensando que esto es correcto. Por supuesto, el lector deberá conocer o buscar funciones vectoriales (un ejercicio útil para comprender las matemáticas más adelante). Actualmente, no está claro qué queremos decir exactamente con "fórmula". En este caso, se refiere a las funciones vectoriales que definen la curva.

Teniendo en cuenta los comentarios de Woodstone anteriores, propongo, por el momento:

"Los "puntos de control" discretos con una fórmula definen una curva continua. Las curvas de Bézier pueden aproximarse a una amplia variedad de curvas, incluidas las que se encuentran en el mundo real y que tienen representaciones matemáticas complicadas o desconocidas".

Pskuri ( discusión ) 05:34 18 feb 2022 (UTC) [ responder ]

No estoy seguro de qué significa "discreto" para un punto de control. Un punto siempre es discreto. Lo que se quiere decir aquí es un "conjunto discreto" de puntos de control (en contraposición a la cantidad infinita de puntos en la curva). Aún así, preferiría algo un poco más preciso: "Se aplica una fórmula a un conjunto discreto de puntos de control para definir una curva continua".

La oración sobre aproximación debería trasladarse unas líneas más abajo para que se aplique a las B-splines.

− Woodstone ( discusión ) 05:55 18 feb 2022 (UTC) [ responder ]

¿Qué tal "Los puntos de control" con una fórmula definen una curva continua"? Esta frase tiene menos palabras que "Se aplica una fórmula...". No creo que sea necesario "conjunto de discretos", ya que el valor predeterminado es asumir que la cantidad de puntos de control será finita. Con respecto al punto sobre los splines de Bézier (supongo que te referías a splines de Bézier, no a splines B ), ¿qué tal esto para el párrafo inicial?

Entonces, ¿qué tal:

Una curva de Bézier ( /ˈbɛz.i.eɪ / BEH - zee-ay ) ^[1] es una curva paramétrica utilizada en gráficos por computadora y campos relacionados. ^{[2] Los "puntos}de control" con una fórmula definen una curva continua. Las curvas de Bézier se pueden combinar para formar un spline de Bézier , que se utilizan para aproximar una amplia variedad de curvas, incluidas las que se encuentran en el mundo real, que tienen representaciones matemáticas complicadas o desconocidas. Las curvas de Bézier también se pueden generalizar a dimensiones superiores para formar superficies de Bézier . ^[3] El triángulo de Bézier es un caso especial de este último. La curva de Bézier recibe su nombre del ingeniero francés Pierre Bézier , quien la utilizó en la década de 1960 para diseñar curvas para la carrocería de los automóviles Renault . ^[3] Otros usos incluyen el diseño de fuentes de computadora y animación. ^[3]

Pskuri ( discusión ) 16:40 18 feb 2022 (UTC) [ responder ]

La reformulación ultracorta pierde la idea de que la fórmula es siempre la misma (por orden). Una abreviación intermedia podría ser: "Una fórmula aplicada a una serie de puntos de control define una curva continua". El resto de la propuesta anterior parece correcta (me refería a la curva de Bézier). − Woodstone ( discusión ) 07:01 19 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Referencias

^ Wells, John (3 de abril de 2008). Longman Pronunciation Dictionary (3.ª ed.). Pearson Longman. ISBN 978-1-4058-8118-0.
^ Mortenson, Michael E. (1999). Matemáticas para aplicaciones gráficas de computadora. Industrial Press Inc. p. 264. ISBN 9780831131111.
^ abc Hazewinkel, Michiel (1997). Enciclopedia de matemáticas: suplemento. Vol. 1. Springer Science & Business Media. pág. 119. ISBN 9780792347095.

Imagen destacada programada para el Día del Padre

¡Hola! Este mensaje es para informar a los editores que File:Bézier 1 big.gif , una imagen destacada utilizada en este artículo, ha sido seleccionada como la imagen del día (POTD) de Wikipedia en inglés para el 13 de diciembre de 2023. A continuación se muestra una vista previa de la POTD y se puede editar en Template:POTD/2023-12-13 . Para el mayor beneficio de los lectores, cualquier posible mejora o mantenimiento que pueda beneficiar la calidad de este artículo debe realizarse antes de su aparición programada en la Página principal . Si tiene alguna inquietud, coloque un mensaje en Wikipedia discusión:Imagen del día . ¡Gracias! — Amakuru ( discusión ) 10:35, 8 de diciembre de 2023 (UTC) [ responder ]

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Número de lerps en el algoritmo de De Castlejau

Movido desde la discusión del usuario:jacobolus § Reversión de mi edición en la curva de Bézier

– jacobolus (t) 16:42, 20 de junio de 2024 (UTC)[ responder ]

Tu reversión [jacobolus] [ special:diff/1228623498 ] de mi edición en la curva de Bézier se basó en argumentos incorrectos. El número de lerps no es un número triangular. La evaluación requiere O(2^n) lerps debido al simple hecho de que se llama a sí misma dos veces en cada nivel y el tamaño del problema se reduce en 1 en cada nivel, lo que la hace muy ineficiente y eso debe tenerse en cuenta. Te agradecería que deshaceras la reversión. Curtmcd ( discusión ) 23:11 12 jun 2024 (UTC) [ responder ]

@Curtmcd Esto es incorrecto. Hacemos n lerps en el primer nivel, luego n-1 lerps en el siguiente nivel, etc., hasta llegar a un lerp final. El número total de lerps es el n-ésimo número triangular. Si tu implementación de esto necesita 2^n lerps, algo está yendo muy, muy mal. – jacobolus (t) 23:51, 12 de junio de 2024 (UTC) [ responder ]

No, es 2^n, porque cada nivel llama al nivel inmediatamente inferior de recursión B(t) *dos veces*. Dados n puntos de control, se necesitan exactamente 2^n - 1 lerps para evaluar un único punto de la curva. Esta facilidad para malentendidos es una justificación obvia para incluir esta información en la sección de definición de recursividad. Por esa razón, le pido que deshaga la reversión. Curtmcd ( discusión ) 07:10, 20 de junio de 2024 (UTC) [ responder ]

Parece que se calcula solo para los rangos

j

k

en lugar de para todos los subconjuntos de

{0, ...,

n

}

. Como tal, solo hay

O

(

n

2

)

valores para calcular, no

O

(2

n

)

. La cantidad de cálculo para cada uno es

O

(1)

, por lo que el tiempo de ejecución parece

O

(

n

2

)

. El requisito de memoria parece

O

(

n

)

si uno guarda solo los valores para rangos de longitud

l

l

+ 1

en un momento dado. — Q uantling ( discusión | contribs ) 13:37, 20 de junio de 2024 (UTC) [ responder ]

{\textstyle \mathbf {B} _{\mathbf {P} _{j}\mathbf {P} _{j+1}\ldots \mathbf {P} _{k-1}\mathbf {P} _{k}}(t)}

@Curtmcd En el primer nivel, calculas exactamente ⁠ ⁠

n

lerps, ⁠ ⁠

\textstyle p_{1,0}(t)=\operatorname {lerp} (p_{0},p_{1},t)

a ⁠ ⁠

\textstyle p_{1,n-1}(t)=\operatorname {lerp} (p_{n-1},p_{n},t)

comenzando desde los ⁠ ⁠

n+1

puntos de control. En el siguiente nivel, calculas exactamente ⁠ ⁠

n-1

lerps, usando los ⁠ ⁠

n

valores que calculaste en el primer nivel, ⁠ ⁠

\textstyle p_{2,0}(t)=\operatorname {lerp} (p_{1,0}(t),p_{1,1}(t),t)

a ⁠ ⁠

\textstyle p_{2,n-2}(t)=\operatorname {lerp} (p_{1,n-2}(t),p_{1,n-1}(t),t)

. Luego sigues hasta llegar a un lerp final ⁠ ⁠

\textstyle p(t)=p_{n,0}(t)=\operatorname {lerp} (p_{n-1,0}(t),p_{n-1,1}(t),t)

, calculado a partir de los 2 valores en el penúltimo nivel. En total, el número de lerps es el número triangular para ⁠ ⁠

n

. Si escribes esto como una función recursiva ingenua, estás recalculando las mismas cantidades una y otra vez en un desperdicio absurdo, similar a calcular un número de Fibonacci calculando recursivamente cada uno de los dos números de Fibonacci anteriores en cada paso sin reutilizar nada de tu trabajo. No hagas eso. – jacobolus (t) 15:33, 20 de junio de 2024 (UTC) [ responder ]

Para más información sobre esto, consulte el algoritmo de De Casteljau . – jacobolus (t) 16:47, 20 de junio de 2024 (UTC) [ responder ]

El triángulo de Pascal y las curvas de Bézier

Propongo ampliar la sección sobre curvas de Bézier para tratar explícitamente el papel del triángulo de Pascal en la construcción de estas curvas. El triángulo de Pascal es fundamental para entender cómo se formulan las curvas de Bézier, en particular en el contexto de los polinomios de Bernstein.

Relación entre el triángulo de Pascal y las curvas de Bézier

Las curvas de Bézier se definen mediante polinomios de Bernstein, que son sumas ponderadas de puntos de control. Los pesos de estos puntos de control se dan mediante los polinomios de Bernstein, definidos como: b _i, n (t) = (i, n) * (t^i) * (1−t)^(n−i) donde (i, n) es el coeficiente binomial, que se puede obtener directamente a partir del triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal es una matriz triangular de coeficientes binomiales, donde la fila n proporciona los coeficientes (i, n) necesarios para una curva de Bézier de grado n.

Importancia en la construcción de curvas

Cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes de los polinomios de Bernstein para una curva de Bézier de ese grado. Por ejemplo, una curva de Bézier cuadrática (grado 2) utiliza la tercera fila del triángulo de Pascal (1, 2, 1), y una curva de Bézier cúbica (grado 3) utiliza la cuarta fila (1, 3, 3, 1). Estos coeficientes determinan la influencia de cada punto de control en la curva a medida que varía el parámetro t.

Propuesta de adición al artículo

Sugiero agregar una breve subsección o párrafo que explique esta conexión. Esto aclararía a los lectores que el triángulo de Pascal no es solo una curiosidad matemática sino una herramienta esencial en gráficos de computadora y diseño de curvas. En particular, destacar que los coeficientes binomiales del triángulo de Pascal se utilizan directamente en el cálculo de curvas de Bézier podría mejorar la comprensión del lector sobre ambos temas.

¿Qué opinan los demás sobre esta adición? ¿Deberíamos incluir un ejemplo visual para ilustrar esta conexión? 158.174.20.2 (discusión) 20:50 23 ago 2024 (UTC) [ responder ]