Método directo en el cálculo de variaciones

Método para construir pruebas de existencia y calcular soluciones en cálculo variacional

En matemáticas , el método directo en el cálculo de variaciones es un método general para construir una prueba de la existencia de un minimizador para un funcional dado , ^[1] introducido por Stanisław Zaremba y David Hilbert alrededor de 1900. El método se basa en métodos de análisis funcional y topología . Además de usarse para demostrar la existencia de una solución, los métodos directos pueden usarse para calcular la solución con la precisión deseada. ^[2]

El método

El cálculo de variaciones se ocupa de los funcionales , donde es un espacio de funciones y . El interés principal de la materia es encontrar minimizadores para dichos funcionales, es decir, funciones tales que para todo . ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle J(v)\leq J(u)}$ ${\displaystyle u\in V}$

La herramienta estándar para obtener las condiciones necesarias para que una función sea minimizadora es la ecuación de Euler-Lagrange . Pero buscar un minimizador entre las funciones que las satisfacen puede llevar a conclusiones falsas si no se establece de antemano la existencia de un minimizador.

La función debe estar limitada desde abajo para tener un minimizador. Esto significa ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

Esta condición no es suficiente para saber que existe un minimizador, sino que demuestra la existencia de una sucesión minimizadora , es decir, una sucesión en tal que ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

El método directo se puede dividir en los siguientes pasos

1. Tome una secuencia minimizadora para . ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle J}$
2. Demuestre que admite alguna subsecuencia , que converge a a con respecto a una topología en . ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (u_{n_{k}})}$ ${\displaystyle u_{0}\in V}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V}$
3. Demuestre que es secuencialmente inferior semicontinuo con respecto a la topología . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \tau }$

Para ver que esto demuestra la existencia de un minimizador, considere la siguiente caracterización de funciones semicontinuas inferiores secuenciales.

La función es secuencialmente semicontinua inferior si ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$para cualquier secuencia convergente en . ${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$ ${\displaystyle V}$

Las conclusiones se desprenden de:

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$,

en otras palabras

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$.

Detalles

Espacios de Banach

El método directo puede aplicarse a menudo con éxito cuando el espacio es un subconjunto de un espacio de Banach reflexivo separable . En este caso, el teorema secuencial de Banach-Alaoglu implica que cualquier secuencia acotada en tiene una subsecuencia que converge a algún en con respecto a la topología débil . Si es secuencialmente cerrado en , de modo que es en , el método directo puede aplicarse a un funcional mostrando ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$

1. ${\displaystyle J}$está delimitado desde abajo,
2. cualquier secuencia minimizadora para está acotada, y ${\displaystyle J}$
3. ${\displaystyle J}$es débilmente secuencialmente semicontinua inferior, es decir, para cualquier secuencia débilmente convergente se cumple que . ${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$

La segunda parte se suele realizar demostrando que se admite alguna condición de crecimiento. Un ejemplo es ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$para algunos , y . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \beta \geq 0}$

A un funcional con esta propiedad se lo denomina a veces coercitivo. Demostrar la semicontinuidad inferior secuencial suele ser la parte más difícil al aplicar el método directo. Vea a continuación algunos teoremas para una clase general de funcionales.

Espacios de Sobolev

La funcional típica en el cálculo de variaciones es una integral de la forma

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$

donde es un subconjunto de y es una función de valor real en . El argumento de es una función diferenciable y su jacobiano se identifica con un -vector. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \nabla u(x)}$ ${\displaystyle mn}$

Al derivar la ecuación de Euler-Lagrange, el enfoque común es suponer que tiene un límite y dejar que el dominio de definición para sea . Este espacio es un espacio de Banach cuando está dotado de la norma suprema , pero no es reflexivo. Al aplicar el método directo, el funcional suele definirse en un espacio de Sobolev con , que es un espacio de Banach reflexivo. Las derivadas de en la fórmula para deben tomarse entonces como derivadas débiles . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle J}$

Otro espacio de funciones común es el que es el subespacio afín de funciones cuya traza es alguna función fija en la imagen del operador de traza. Esta restricción permite encontrar minimizadores de la funcional que satisfacen algunas condiciones de contorno deseadas. Esto es similar a resolver la ecuación de Euler-Lagrange con condiciones de contorno de Dirichlet. Además, hay configuraciones en las que hay minimizadores en pero no en . La idea de resolver problemas de minimización mientras se restringen los valores en el contorno se puede generalizar aún más al observar espacios de funciones donde la traza está fija solo en una parte del contorno y puede ser arbitraria en el resto. ${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

La siguiente sección presenta teoremas relacionados con la semicontinuidad inferior secuencial débil de funcionales del tipo mencionado anteriormente.

Semicontinuidad inferior secuencial de integrales

Como muchos funcionales en el cálculo de variaciones son de la forma

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$,

donde está abierto, los teoremas que caracterizan funciones para las cuales es débilmente secuencialmente semicontinua inferior en con son de gran importancia. ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

En general se tiene lo siguiente: ^[3]

Supongamos que es una función que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle F}$

1. La función es una función Carathéodory . ${\displaystyle F}$
2. Existen con Hölder conjugado y tales que la siguiente desigualdad es válida para casi todos y cada uno : . Aquí, denota el producto interno de Frobenius de y en ). ${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$ ${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$ ${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$

Si la función es convexa para casi todos y cada uno , ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$

luego es secuencialmente débilmente inferior semicontinuo. ${\displaystyle J}$

Cuando se cumple el siguiente teorema de tipo inverso ^[4] ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle m=1}$

Suponga que es continua y satisface ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

para cada , y una función fija creciente en y , y localmente integrable en . Si es secuencialmente débilmente semicontinua inferior, entonces para cualquier función dada es convexa. ${\displaystyle (x,y,A)}$ ${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

En conclusión, cuando o , la funcional , asumiendo un crecimiento y acotación razonables en , es débilmente secuencialmente semicontinua inferior si, y sólo si la función es convexa. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

Sin embargo, hay muchos casos interesantes en los que no se puede asumir que es convexo. El siguiente teorema ^[5] demuestra la semicontinuidad inferior secuencial utilizando una noción más débil de convexidad: ${\displaystyle F}$

Supongamos que es una función que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}$

1. La función es una función Carathéodory . ${\displaystyle F}$
2. La función tiene -crecimiento para algunos : Existe una constante tal que para cada y para casi cada . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}$
3. Para cada y para casi cada , la función es cuasiconvexa: existe un cubo tal que para cada se cumple: ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

$${\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}$$

¿Dónde está el volumen de ? ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle D}$

Entonces es secuencialmente débilmente inferior semicontinuo en . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

Un teorema inverso en este caso es el siguiente: ^[6]

Suponga que es continua y satisface ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

para cada , y una función fija creciente en y , y localmente integrable en . Si es secuencialmente débilmente semicontinua inferior, entonces para cualquier función dada es cuasiconvexa. La afirmación es verdadera incluso cuando ambas son mayores que y coincide con la afirmación anterior cuando o , ya que entonces la cuasiconvexidad es equivalente a la convexidad. ${\displaystyle (x,y,A)}$ ${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$

Notas

1. Dacorogna, págs. 1–43.
2. IM Gelfand; SV Fomin (1991). Cálculo de variaciones . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-41448-5.
3. Dacorogna, págs. 74–79.
4. Dacorogna, págs. 66–74.
5. Acerbi-Fusco
6. Dacorogna, págs. 156.

Referencias y lecturas adicionales

• Dacorogna, Bernard (1989). Métodos directos en el cálculo de variaciones . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Fonseca, Irene ; Giovanni Leoni (2007). Métodos modernos en el cálculo de variaciones: espacios ${\displaystyle L^{p}}$ . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
• Morrey, CB, Jr.: Integrales múltiples en el cálculo de variaciones . Springer, 1966 (reimpreso en 2008), Berlín ISBN 978-3-540-69915-6 . 
• Jindřich Nečas: Métodos directos en la teoría de ecuaciones elípticas . (Traducción del original en francés de 1967 por A.Kufner y G.Tronel), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 . 
• T. Roubíček (2000). "Método directo para problemas parabólicos". Adv. Math. Sci. Appl . Vol. 10. págs. 57–65. MR  1769181.
• Acerbi Emilio, Fusco Nicola. "Problemas de semicontinuidad en el cálculo de variaciones". Archivo de Rational Mechanics and Analysis 86.2 (1984): 125-145