Momento dipolar eléctrico

Medida de cargas positivas y negativas

El momento dipolar eléctrico es una medida de la separación de las cargas eléctricas positivas y negativas dentro de un sistema: es decir, una medida de la polaridad general del sistema . La unidad del SI para el momento dipolar eléctrico es el coulomb - metro (C⋅m). El debye (D) es otra unidad de medida utilizada en la física y la química atómicas.

En teoría, un dipolo eléctrico se define por el término de primer orden de la expansión multipolar ; consiste en dos cargas iguales y opuestas que están infinitesimalmente próximas entre sí, aunque los dipolos reales tienen cargas separadas. ^{[notas 1]}

Definición elemental

Magnitudes que definen el momento dipolar eléctrico de dos cargas puntuales.

A menudo, en física, las dimensiones de un objeto se pueden ignorar para que se lo pueda tratar como un objeto puntual, es decir, una partícula puntual . Las partículas puntuales con carga eléctrica se denominan cargas puntuales . Dos cargas puntuales, una con carga + q y la otra con carga − q separadas por una distancia d , constituyen un dipolo eléctrico (un caso simple de un multipolo eléctrico ). Para este caso, el momento dipolar eléctrico tiene una magnitud y está dirigido desde la carga negativa a la positiva. Algunos autores pueden dividir d por la mitad y usar s = d /2 ya que esta cantidad es la distancia entre cualquiera de las cargas y el centro del dipolo, lo que lleva a un factor de dos en la definición. $${\displaystyle p=qd}$$

Una definición matemática más sólida es utilizar el álgebra vectorial , ya que una cantidad con magnitud y dirección, como el momento dipolar de dos cargas puntuales, se puede expresar en forma vectorial donde d es el vector de desplazamiento que apunta desde la carga negativa a la carga positiva. El vector del momento dipolar eléctrico p también apunta desde la carga negativa a la carga positiva. Con esta definición, la dirección del dipolo tiende a alinearse con un campo eléctrico externo (y observe que las líneas de flujo eléctrico producidas por las cargas del propio dipolo, que apuntan desde la carga positiva a la carga negativa, tienden entonces a oponerse a las líneas de flujo del campo externo). Tenga en cuenta que esta convención de signos se utiliza en física, mientras que la convención de signos opuesta para el dipolo, de la carga positiva a la carga negativa, se utiliza en química. ^[1] $${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$$

Una idealización de este sistema de dos cargas es el dipolo puntual eléctrico que consta de dos cargas (infinitas) separadas sólo infinitesimalmente, pero con una p finita . Esta cantidad se utiliza en la definición de densidad de polarización .

Energía y par

Dipolo eléctrico p y su par τ en un campo E uniforme.

Un objeto con un momento dipolar eléctrico p está sujeto a un par τ cuando se coloca en un campo eléctrico externo E . El par tiende a alinear el dipolo con el campo. Un dipolo alineado en paralelo a un campo eléctrico tiene una energía potencial menor que un dipolo que forma un ángulo distinto de cero con él. Para un campo eléctrico uniforme en el espacio a través de la pequeña región ocupada por el dipolo, la energía U y el par están dados por ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} .}$$

El producto escalar del punto " ⋅ " y el signo negativo muestra que la energía potencial se minimiza cuando el dipolo es paralelo al campo, se maximiza cuando es antiparalelo y es cero cuando es perpendicular. El símbolo " × " se refiere al producto vectorial . El vector del campo E y el vector del dipolo definen un plano, y el par se dirige de manera normal a ese plano con la dirección dada por la regla de la mano derecha . Un dipolo en un campo uniforme de este tipo puede torcerse y oscilar, pero no recibe ninguna fuerza neta total sin aceleración lineal del dipolo. El dipolo se tuerce para alinearse con el campo externo.

Sin embargo, en un campo eléctrico no uniforme, un dipolo puede recibir una fuerza neta, ya que la fuerza en un extremo del dipolo ya no equilibra la del otro extremo. Se puede demostrar que esta fuerza neta es generalmente paralela al momento dipolar.

Expresión (caso general)

De manera más general, para una distribución continua de carga confinada a un volumen V , la expresión correspondiente para el momento dipolar es: $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',}$$

donde r ubica el punto de observación y d ³ r ′ denota un volumen elemental en V . Para una matriz de cargas puntuales, la densidad de carga se convierte en una suma de funciones delta de Dirac : $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),}$$

donde cada r _i es un vector desde un punto de referencia hasta la carga q _i . La sustitución en la fórmula de integración anterior proporciona: $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).}$$

Esta expresión es equivalente a la expresión anterior en el caso de neutralidad de carga y N = 2. Para dos cargas opuestas, denotando la ubicación de la carga positiva del par como r ₊ y la ubicación de la carga negativa como r ₋ : $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,}$$

mostrando que el vector del momento dipolar se dirige desde la carga negativa a la carga positiva porque el vector de posición de un punto se dirige hacia afuera desde el origen hasta ese punto.

El momento dipolar es particularmente útil en el contexto de un sistema neutro de cargas, como un par de cargas opuestas o un conductor neutro en un campo eléctrico uniforme. Para un sistema de este tipo, visualizado como una matriz de cargas opuestas emparejadas, la relación para el momento dipolar eléctrico es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}}$$

donde r es el punto de observación y d _i = r ' _i − r _i , siendo r _i la posición de la carga negativa en el dipolo i , y r ' _i la posición de la carga positiva. Esta es la suma vectorial de los momentos dipolares individuales de los pares de cargas neutras. (Debido a la neutralidad de carga general, el momento dipolar es independiente de la posición del observador r .) Por lo tanto, el valor de p es independiente de la elección del punto de referencia, siempre que la carga general del sistema sea cero.

Cuando se analiza el momento dipolar de un sistema no neutro, como el momento dipolar del protón , surge una dependencia de la elección del punto de referencia. En tales casos, es convencional elegir el punto de referencia como el centro de masa del sistema, no un origen arbitrario. ^[3] Esta elección no es solo una cuestión de convención: la noción de momento dipolar se deriva esencialmente de la noción mecánica de torque y, como en mecánica, es computacional y teóricamente útil elegir el centro de masa como el punto de observación. Para una molécula cargada, el centro de carga debería ser el punto de referencia en lugar del centro de masa. Para sistemas neutros, el punto de referencia no es importante y el momento dipolar es una propiedad intrínseca del sistema.

Potencial y campo de un dipolo eléctrico

Mapa de potencial de un dipolo eléctrico físico . Los potenciales negativos están en azul; los potenciales positivos, en rojo.

Un dipolo ideal está formado por dos cargas opuestas con una separación infinitesimal. Calculamos el potencial y el campo de dicho dipolo ideal partiendo de dos cargas opuestas con una separación d > 0 y tomando como límite d → 0.

Dos cargas opuestas muy próximas entre sí ± q tienen un potencial de la forma: correspondiente a la densidad de carga por la ley de Coulomb , donde la separación de carga es: $${\displaystyle V(\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}V\ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.}$$

Sea R el vector de posición relativa al punto medio , y el vector unitario correspondiente: ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{|\mathbf {R} |}}\,,}$$

La expansión de Taylor en (ver expansión multipolar y cuadrupolo ) expresa este potencial como una serie. ^{[4] [5]} donde los términos de orden superior en la serie se desvanecen a grandes distancias, R , en comparación con d . ^{[notas 2]} Aquí, el momento dipolar eléctrico p es, como se indicó anteriormente: ${\displaystyle {\tfrac {d}{R}}}$ $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.}$$

El resultado para el potencial dipolar también se puede expresar como: ^[7] $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,}$$

que relaciona el potencial dipolar con el de una carga puntual. Un punto clave es que el potencial del dipolo disminuye más rápido con la distancia R que el de la carga puntual.

El campo eléctrico del dipolo es el gradiente negativo del potencial, lo que conduce a: ^[7] $${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.}$$

Así, aunque dos cargas opuestas muy próximas entre sí no son exactamente un dipolo eléctrico ideal (porque su potencial a distancias cortas no es el de un dipolo), a distancias mucho mayores que su separación, su momento dipolar p aparece directamente en su potencial y campo.

A medida que las dos cargas se acercan ( d se hace más pequeña), el término dipolar en la expansión multipolar basada en la relación d / R se convierte en el único término significativo a distancias cada vez más cercanas R , y en el límite de separación infinitesimal, el término dipolar en esta expansión es todo lo que importa. Sin embargo, a medida que d se hace infinitesimal, la carga dipolar debe aumentar para mantener p constante. Este proceso limitante da como resultado un "dipolo puntual".

Densidad de momento dipolar y densidad de polarización

El momento dipolar de una matriz de cargas, $${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d_{i}} \,,}$$

determina el grado de polaridad de la matriz, pero para una matriz neutra es simplemente una propiedad vectorial de la matriz sin información sobre la ubicación absoluta de la matriz. La densidad del momento dipolar de la matriz p ( r ) contiene tanto la ubicación de la matriz como su momento dipolar. Cuando llega el momento de calcular el campo eléctrico en alguna región que contiene la matriz, se resuelven las ecuaciones de Maxwell y la información sobre la matriz de carga está contenida en la densidad de polarización P ( r ) de las ecuaciones de Maxwell. Dependiendo de qué tan fina sea la evaluación del campo eléctrico que se requiera, se deberá expresar más o menos información sobre la matriz de carga mediante P ( r ). Como se explica a continuación, a veces es suficientemente preciso tomar P ( r ) = p ( r ). A veces se necesita una descripción más detallada (por ejemplo, complementando la densidad del momento dipolar con una densidad cuadrupolo adicional) y, a veces, son necesarias versiones aún más elaboradas de P ( r ).

Ahora se explora de qué manera la densidad de polarización P ( r ) que entra en las ecuaciones de Maxwell está relacionada con el momento dipolar p de una matriz neutra general de cargas, y también con la densidad del momento dipolar p ( r ) (que describe no solo el momento dipolar, sino también la ubicación de la matriz). Solo se consideran situaciones estáticas en lo que sigue, por lo que P ( r ) no tiene dependencia del tiempo y no hay corriente de desplazamiento . Primero hay una discusión de la densidad de polarización P ( r ). Esa discusión es seguida por varios ejemplos particulares.

Una formulación de las ecuaciones de Maxwell basada en la división de cargas y corrientes en cargas y corrientes "libres" y "ligadas" conduce a la introducción de los campos D y P : donde P se denomina densidad de polarización . En esta formulación, la divergencia de esta ecuación produce: y como el término de divergencia en E es la carga total y ρ _f es "carga libre", nos queda la relación: con ρ _b como la carga ligada, por lo que se entiende la diferencia entre las densidades de carga total y libre. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{b}\,,}$$

Por cierto, en ausencia de efectos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell especifican que $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,}$$

Lo que implica $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,}$$

Aplicando la descomposición de Helmholtz : ^[8] para algún potencial escalar φ , y: $${\displaystyle \mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \varphi \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi \,.}$$

Supongamos que las cargas se dividen en libres y ligadas, y el potencial se divide en

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}\,.}$$

La satisfacción de las condiciones de contorno sobre φ se puede dividir arbitrariamente entre φ _f y φ _b porque solo la suma φ debe satisfacer estas condiciones. De ello se deduce que P es simplemente proporcional al campo eléctrico debido a las cargas seleccionadas como límite, con condiciones de contorno que resultan convenientes. ^{[notas 3] [notas 4]} En particular, cuando no hay carga libre presente, una opción posible es P = ε ₀ E .

A continuación se analiza cómo se relacionan varias descripciones diferentes del momento dipolar de un medio con la polarización que entra en las ecuaciones de Maxwell.

Medio con densidades de carga y dipolares

Como se describe a continuación, un modelo para la densidad del momento de polarización p ( r ) da como resultado una polarización restringida al mismo modelo. Para una distribución del momento dipolar que varía suavemente p ( r ), la densidad de carga ligada correspondiente es simplemente como estableceremos en breve mediante la integración por partes . Sin embargo, si p ( r ) exhibe un paso abrupto en el momento dipolar en un límite entre dos regiones, ∇· p ( r ) da como resultado un componente de carga superficial de carga ligada. Esta carga superficial se puede tratar a través de una integral de superficie o utilizando condiciones de discontinuidad en el límite, como se ilustra en los diversos ejemplos a continuación. $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{b},}$$

Como primer ejemplo que relaciona el momento dipolar con la polarización, considere un medio formado por una densidad de carga continua ρ ( r ) y una distribución de momento dipolar continua p ( r ). ^{[notas 5]} El potencial en una posición r es: ^{[10] [11]} $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}$$

donde ρ ( r ) es la densidad de carga desapareada, y p ( r ) es la densidad del momento dipolar. ^{[notas 6]} Usando una identidad: la integral de polarización puede ser transformada: donde la identidad vectorial fue usada en los últimos pasos. El primer término puede ser transformado a una integral sobre la superficie que limita el volumen de integración, y contribuye a una densidad de carga superficial, discutida más adelante. Poniendo este resultado de nuevo en el potencial, e ignorando la carga superficial por ahora: donde la integración de volumen se extiende solo hasta la superficie limitante, y no incluye esta superficie. $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}}$$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,,}$$

El potencial está determinado por la carga total, que como se muestra arriba se compone de: demostrando que: $${\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$ $${\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{b}\,.}$$

En resumen, la densidad del momento dipolar p ( r ) cumple la función de densidad de polarización P para este medio. Observe que p ( r ) tiene una divergencia distinta de cero igual a la densidad de carga ligada (como se modela en esta aproximación).

Cabe señalar que este enfoque se puede ampliar para incluir todos los multipolos: dipolo, cuadrupolo, etc. ^{[12] [13]} Utilizando la relación: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}\,,}$$

Se encuentra que la densidad de polarización es: $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,}$$

donde los términos añadidos tienen por objeto indicar contribuciones de multipolos superiores. Evidentemente, la inclusión de multipolos superiores significa que la densidad de polarización P ya no está determinada únicamente por una densidad de momento dipolar p . Por ejemplo, al considerar la dispersión de una matriz de cargas, diferentes multipolos dispersan una onda electromagnética de forma diferente e independiente, lo que requiere una representación de las cargas que vaya más allá de la aproximación dipolar. ^{[14] [15]}

Carga superficial

Una matriz uniforme de dipolos idénticos es equivalente a una carga superficial.

En el punto anterior, la discusión se pospuso para el primer término en la expresión del potencial debido a los dipolos. La integración de la divergencia da como resultado una carga superficial. La figura de la derecha proporciona una idea intuitiva de por qué surge una carga superficial. La figura muestra una matriz uniforme de dipolos idénticos entre dos superficies. Internamente, las cabezas y las colas de los dipolos son adyacentes y se cancelan. Sin embargo, en las superficies límite no se produce ninguna cancelación. En cambio, en una superficie las cabezas de los dipolos crean una carga superficial positiva, mientras que en la superficie opuesta las colas de los dipolos crean una carga superficial negativa. Estas dos cargas superficiales opuestas crean un campo eléctrico neto en una dirección opuesta a la dirección de los dipolos.

Esta idea se expresa matemáticamente mediante la expresión de potencial anterior. Ignorando la carga libre, el potencial es: $${\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.}$$

Utilizando el teorema de divergencia , el término de divergencia se transforma en la integral de superficie: $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,}$$

con d A ₀ un elemento de área superficial del volumen. En el caso de que p ( r ) sea una constante, solo sobrevive el término de superficie: con d A ₀ un área elemental de la superficie que limita las cargas. En palabras, el potencial debido a una constante p dentro de la superficie es equivalente al de una carga superficial que es positiva para elementos de superficie con un componente en la dirección de p y negativa para elementos de superficie que apuntan en sentido opuesto. (Por lo general, se considera que la dirección de un elemento de superficie es la de la normal exterior a la superficie en la ubicación del elemento). $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} }$$

Si la superficie límite es una esfera y el punto de observación está en el centro de esta esfera, la integración sobre la superficie de la esfera es cero: las contribuciones de las cargas superficiales positivas y negativas al potencial se cancelan. Sin embargo, si el punto de observación está descentrado, puede resultar un potencial neto (dependiendo de la situación) porque las cargas positivas y negativas están a diferentes distancias del punto de observación. ^{[notas 7]} El campo debido a la carga superficial es: que, en el centro de una superficie límite esférica no es cero (los campos de cargas negativas y positivas en lados opuestos del centro se suman porque ambos campos apuntan en la misma dirección) sino que es: ^[17] $${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Si suponemos que la polarización de los dipolos fue inducida por un campo externo, el campo de polarización se opone al campo aplicado y a veces se denomina campo de despolarización . ^{[18] [19]} En el caso en que la polarización esté fuera de una cavidad esférica, el campo en la cavidad debido a los dipolos circundantes está en la misma dirección que la polarización. ^{[notas 8]}

En particular, si la susceptibilidad eléctrica se introduce a través de la aproximación: donde E , en este caso y en el siguiente, representa el campo externo que induce la polarización. $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,}$$

Entonces: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{b}\,.}$$

Siempre que se utiliza χ ( r ) para modelar una discontinuidad escalonada en el límite entre dos regiones, el escalón produce una capa de carga superficial. Por ejemplo, al integrar a lo largo de una normal a la superficie límite desde un punto justo en el interior de una superficie hasta otro punto justo en el exterior: $${\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{b}=0\,,}$$

donde A _n , Ω _n indican el área y el volumen de una región elemental que se extiende a ambos lados del límite entre las regiones, y una unidad normal a la superficie. El lado derecho se desvanece a medida que el volumen se contrae, puesto que ρ _b es finito, lo que indica una discontinuidad en E y, por lo tanto, una carga superficial. Es decir, cuando el medio modelado incluye un paso en la permitividad, la densidad de polarización corresponde a la densidad del momento dipolar. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

incluye necesariamente la contribución de una carga superficial. ^{[21] [22] [23]}

Un modelo físicamente más realista de p ( r ) haría que la densidad del momento dipolar disminuyera rápidamente, pero de manera suave, hasta llegar a cero en el límite de la región de confinamiento, en lugar de dar un salto repentino hasta llegar a una densidad cero. En ese caso, la carga superficial no se concentrará en una superficie infinitamente delgada, sino que, al ser la divergencia de una densidad del momento dipolar que varía de manera suave, se distribuirá por una capa de transición delgada, pero finita.

Esfera dieléctrica en campo eléctrico externo uniforme

Líneas de campo del campo D en una esfera dieléctrica con mayor susceptibilidad que sus alrededores, colocada en un campo previamente uniforme. ^{[notas 9]} Las líneas de campo del campo E (no mostradas) coinciden en todas partes con las del campo D , pero dentro de la esfera, su densidad es menor, lo que corresponde al hecho de que el campo E es más débil dentro de la esfera que fuera. Muchas de las líneas externas del campo E terminan en la superficie de la esfera, donde hay una carga ligada.

Las observaciones generales anteriores sobre la carga superficial se hacen más concretas al considerar el ejemplo de una esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme. ^{[25] [26]} Se descubre que la esfera adopta una carga superficial relacionada con el momento dipolar de su interior.

Se supone que un campo eléctrico externo uniforme apunta en la dirección z , y se introducen coordenadas esféricas-polares de modo que el potencial creado por este campo es: $${\displaystyle \phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.}$$

Se supone que la esfera está descrita por una constante dieléctrica κ , es decir, $${\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,}$$

y dentro de la esfera el potencial satisface la ecuación de Laplace. Saltándonos algunos detalles, la solución dentro de la esfera es: $${\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \,,}$$

mientras esté fuera de la esfera: $${\displaystyle \phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$$

A grandes distancias, φ _> → φ _∞ por lo que B = − E _∞ . La continuidad del potencial y de la componente radial del desplazamiento D = κε ₀ E determina las otras dos constantes. Suponiendo que el radio de la esfera es R , $${\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,}$$

En consecuencia, el potencial es: que es el potencial debido al campo aplicado y, además, un dipolo en la dirección del campo aplicado (la dirección z ) del momento dipolar: $${\displaystyle \phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

o, por unidad de volumen: $${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.}$$

El factor ( κ − 1)/( κ + 2) se denomina factor de Clausius-Mossotti y muestra que la polarización inducida cambia de signo si κ < 1. Por supuesto, esto no puede suceder en este ejemplo, pero en un ejemplo con dos dieléctricos diferentes, κ se reemplaza por la relación entre las constantes dieléctricas de la región interna y la externa, que puede ser mayor o menor que uno. El potencial dentro de la esfera es: $${\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,}$$

conduciendo al campo dentro de la esfera: $${\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

Se muestra el efecto despolarizante del dipolo. Observe que el campo dentro de la esfera es uniforme y paralelo al campo aplicado. El momento dipolar es uniforme en todo el interior de la esfera. La densidad de carga superficial en la esfera es la diferencia entre los componentes radiales del campo: $${\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.}$$

Este ejemplo dieléctrico lineal muestra que el tratamiento de la constante dieléctrica es equivalente al modelo de momento dipolar uniforme y conduce a carga cero en todas partes excepto en la carga superficial en el límite de la esfera.

Medios generales

Si la observación se limita a regiones suficientemente alejadas de un sistema de cargas, se puede realizar una expansión multipolar de la densidad de polarización exacta. Al truncar esta expansión (por ejemplo, conservando solo los términos dipolares, o solo los términos dipolares y cuadrupolares, o etc. ), se recuperan los resultados de la sección anterior. En particular, al truncar la expansión en el término dipolar, el resultado es indistinguible de la densidad de polarización generada por un momento dipolar uniforme confinado a la región de carga. Para la precisión de esta aproximación dipolar, como se muestra en la sección anterior, la densidad del momento dipolar p ( r ) (que incluye no solo p sino la ubicación de p ) sirve como P ( r ).

En ubicaciones dentro de la matriz de carga, para conectar una matriz de cargas pareadas a una aproximación que involucra solo una densidad de momento dipolar p ( r ) se requieren consideraciones adicionales. La aproximación más simple es reemplazar la matriz de carga con un modelo de dipolos ideales (espaciados infinitesimalmente). En particular, como en el ejemplo anterior que usa una densidad de momento dipolar constante confinada a una región finita, resulta un campo de despolarización y carga superficial. Una versión más general de este modelo (que permite que la polarización varíe con la posición) es el enfoque habitual que usa susceptibilidad eléctrica o permitividad eléctrica .

Un modelo más complejo de la matriz de carga puntual introduce un medio efectivo promediando las cargas microscópicas; ^[19] por ejemplo, el promedio puede disponer que solo los campos dipolares desempeñen un papel. ^{[27] [28]} Un enfoque relacionado es dividir las cargas en aquellas cercanas al punto de observación y aquellas lo suficientemente alejadas como para permitir una expansión multipolar. Las cargas cercanas dan lugar entonces a efectos de campo locales . ^{[17] [29]} En un modelo común de este tipo, las cargas distantes se tratan como un medio homogéneo utilizando una constante dieléctrica, y las cargas cercanas se tratan solo en una aproximación dipolar. ^[30] La aproximación de un medio o una matriz de cargas solo por dipolos y su densidad de momento dipolar asociada a veces se denomina aproximación dipolar puntual , aproximación dipolar discreta o simplemente aproximación dipolar . ^{[31] [32] [33]}

Momentos dipolares eléctricos de partículas fundamentales

No deben confundirse con los momentos dipolares magnéticos de las partículas; se está realizando mucho trabajo experimental para medir los momentos dipolares eléctricos (EDM; o momento dipolar eléctrico anómalo ) de partículas fundamentales y compuestas, es decir, las del electrón y el neutrón , respectivamente. Como los EDM violan tanto la simetría de paridad (P) como la de inversión temporal (T), sus valores producen una medida mayoritariamente independiente del modelo de la violación de CP en la naturaleza (suponiendo que la simetría CPT sea válida). ^[34] Por lo tanto, los valores de estos EDM imponen fuertes restricciones a la escala de violación de CP que las extensiones al modelo estándar de física de partículas pueden permitir. Las generaciones actuales de experimentos están diseñadas para ser sensibles al rango de supersimetría de los EDM, lo que proporciona experimentos complementarios a los realizados en el LHC . ^[35]

De hecho, muchas teorías son inconsistentes con los límites actuales y han sido efectivamente descartadas, y la teoría establecida permite un valor mucho mayor que estos límites, lo que conduce al fuerte problema CP y estimula la búsqueda de nuevas partículas como el axión . ^[36]

Sabemos al menos en el sector de Yukawa a partir de oscilaciones de kaones neutrales que el CP está roto. Se han realizado experimentos para medir el momento dipolar eléctrico de varias partículas como el electrón y el neutrón . Muchos modelos más allá del modelo estándar con términos adicionales que violan el CP predicen genéricamente un momento dipolar eléctrico distinto de cero y, por lo tanto, son sensibles a esa nueva física. Las correcciones de instantón a partir de un término θ distinto de cero en cromodinámica cuántica predicen un momento dipolar eléctrico distinto de cero para el neutrón y el protón, que no se han observado en experimentos (donde los mejores límites provienen del análisis de neutrones). Este es el problema CP fuerte y es una predicción de la teoría de perturbación quiral .

Momentos dipolares de las moléculas

Los momentos dipolares en las moléculas son responsables del comportamiento de una sustancia en presencia de campos eléctricos externos. Los dipolos tienden a estar alineados con el campo externo, que puede ser constante o dependiente del tiempo. Este efecto constituye la base de una técnica experimental moderna llamada espectroscopia dieléctrica .

Los momentos dipolares se pueden encontrar en moléculas comunes como el agua y también en biomoléculas como las proteínas. ^[37]

Mediante el momento dipolar total de un material se puede calcular la constante dieléctrica, que está relacionada con el concepto más intuitivo de conductividad. Si es el momento dipolar total de la muestra, entonces la constante dieléctrica viene dada por, donde k es una constante y es la función de correlación temporal del momento dipolar total. En general, el momento dipolar total tiene contribuciones provenientes de las traslaciones y rotaciones de las moléculas en la muestra, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}$ $${\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$$

Por lo tanto, la constante dieléctrica (y la conductividad) tienen contribuciones de ambos términos. Este enfoque se puede generalizar para calcular la función dieléctrica dependiente de la frecuencia. ^[38]

Es posible calcular momentos dipolares a partir de la teoría de la estructura electrónica , ya sea como respuesta a campos eléctricos constantes o a partir de la matriz de densidad. ^[39] Sin embargo, dichos valores no son directamente comparables con los experimentos debido a la posible presencia de efectos cuánticos nucleares, que pueden ser sustanciales incluso para sistemas simples como la molécula de amoníaco. ^[40] La teoría de cúmulos acoplados (especialmente CCSD(T) ^[41] ) puede proporcionar momentos dipolares muy precisos, ^[42] aunque es posible obtener estimaciones razonables (dentro de aproximadamente el 5%) a partir de la teoría de funcionales de la densidad , especialmente si se emplean funcionales híbridos o doblemente híbridos. ^[43] El momento dipolar de una molécula también se puede calcular en función de la estructura molecular utilizando el concepto de métodos de contribución de grupo. ^[44]

Véase también

• Momento dipolar magnético anómalo
• Momento dipolar de enlace
• Momento dipolar eléctrico del neutrón
• Momento dipolar eléctrico del electrón
• Momento dipolar toroidal
• Dipolo toroidal dinámico
• Expansión multipolar
• Momentos multipolares
• Armónicos sólidos
• Momentos multipolares axiales
• Momentos multipolares cilíndricos
• Momentos multipolares esféricos
• Expansión de Laplace
• Polinomios de Legendre

Notas

1. Muchos teóricos predicen que las partículas elementales pueden tener momentos dipolares eléctricos muy pequeños, posiblemente sin carga separada. Estos dipolos grandes no suponen ninguna diferencia para la física cotidiana y aún no se han observado. (Véase momento dipolar eléctrico del electrón ). Sin embargo, al realizar mediciones a una distancia mucho mayor que la separación de cargas, el dipolo proporciona una buena aproximación del campo eléctrico real. El dipolo está representado por un vector desde la carga negativa hacia la carga positiva.
2. Cada término sucesivo proporciona una visión más detallada de la distribución de carga y disminuye más rápidamente con la distancia. Por ejemplo, el momento cuadrupolar es la base del siguiente término: con r ₀ = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ). ^[6] $${\displaystyle Q_{ij}=\int d^{3}\mathbf {r} _{0}\left(3x_{i}x_{j}-r_{0}^{2}\delta _{ij}\right)\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$
3. Por ejemplo, se podría colocar el límite alrededor de las cargas ligadas en el infinito. Entonces φ _b disminuye con la distancia desde las cargas ligadas. Si hay un campo externo y carga libre cero, el campo puede tenerse en cuenta en la contribución de φ _f , que se encargaría de satisfacer las condiciones de límite y la ecuación de Laplace. $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{f}=0\,.}$$
4. En principio, se podría añadir el mismo rizo arbitrario a D y P , lo que cancelaría la diferencia D − P . Sin embargo, suponiendo que D y P se originan en una simple división de cargas en libres y ligadas, son formalmente similares a los campos eléctricos y, por lo tanto, tienen un rizo cero .
5. Este medio puede verse como una idealización que surge de la expansión multipolar del potencial de una distribución de carga arbitrariamente compleja, el truncamiento de la expansión y la aplicación forzada de la forma truncada en todas partes. El resultado es un medio hipotético. ^[9]
6. Por ejemplo, para un sistema de dipolos ideales con un momento dipolar p confinado dentro de una superficie cerrada, la densidad dipolar p ( r ) es igual a p dentro de la superficie, pero es cero fuera de ella. Es decir, la densidad dipolar incluye una función escalonada de Heaviside que ubica los dipolos dentro de la superficie.
7. Se puede realizar una evaluación de fuerza bruta de la integral utilizando una expansión multipolar: ^[16] $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}=\sum _{\ell ,\ m}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{\ell }{Y^{*}}_{\ell }^{m}\left(\theta _{0},\ \phi _{0}\right)Y_{\ell }^{m}\left(\theta ,\ \phi \right).}$$
8. Por ejemplo, una gota en un medio circundante experimenta un campo interno mayor o menor dependiendo de si el medio tiene una constante dieléctrica mayor o menor que la de la gota. ^[20]
9. Basado en ecuaciones de Andrew Grey, ^[24] que hace referencia a artículos de Sir W. Thomson.

Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Momento dipolar eléctrico: del libro El mundo de la física de Eric Weisstein
• Modelo multifísico de dipolo electrostático ^{[ enlace muerto permanente ]}