Dimensión fractal

Relación que proporciona un índice estadístico de variación de la complejidad con la escala

Figura 1. A medida que la longitud de la vara de medir se hace cada vez más pequeña, la longitud total de la costa medida aumenta (véase Paradoja de la costa ).

En matemáticas , una dimensión fractal es un término que se utiliza en la ciencia de la geometría para proporcionar un índice estadístico racional de la complejidad de los detalles de un patrón . Un patrón fractal cambia con la escala en la que se mide. También es una medida de la capacidad de un patrón para llenar el espacio y nos indica cómo un fractal se escala de manera diferente en una dimensión fractal (no entera). ^{[1] [2] [3]}

La idea principal de las dimensiones "fracturadas" tiene una larga historia en matemáticas, pero el término en sí fue introducido por Benoit Mandelbrot con base en su artículo de 1967 sobre autosimilitud en el que discutió las dimensiones fraccionarias . ^[4] En ese artículo, Mandelbrot citó el trabajo previo de Lewis Fry Richardson que describe la noción contra-intuitiva de que la longitud medida de una línea de costa cambia con la longitud de la vara de medir utilizada (ver Figura 1). En términos de esa noción, la dimensión fractal de una línea de costa cuantifica cómo el número de varas de medir escaladas requeridas para medir la línea de costa cambia con la escala aplicada a la vara. ^[5] Hay varias definiciones matemáticas formales de dimensión fractal que se basan en este concepto básico de cambio en detalle con cambio de escala: vea la sección Ejemplos.

Finalmente, el término dimensión fractal se convirtió en la frase con la que el propio Mandelbrot se sintió más cómodo a la hora de resumir el significado de la palabra fractal , un término que él mismo creó. Después de varias iteraciones a lo largo de los años, Mandelbrot se decidió por este uso del lenguaje: "...utilizar fractal sin una definición pedante, utilizar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes". ^[6]

Un ejemplo no trivial es la dimensión fractal de un copo de nieve de Koch . Tiene una dimensión topológica de 1, pero de ninguna manera es rectificable : la longitud de la curva entre dos puntos cualesquiera en el copo de nieve de Koch es infinita . Ninguna pequeña parte de ella es como una línea, sino que está compuesta por un número infinito de segmentos unidos en diferentes ángulos. La dimensión fractal de una curva se puede explicar intuitivamente pensando en una línea fractal como un objeto demasiado detallado para ser unidimensional, pero demasiado simple para ser bidimensional. ^[7] Por lo tanto, su dimensión podría describirse mejor no por su dimensión topológica habitual de 1 sino por su dimensión fractal, que a menudo es un número entre uno y dos; en el caso del copo de nieve de Koch, es aproximadamente 1,2619.

Introducción

Figura 2. Fractal cuadrático de 32 segmentos escalado y visto a través de cajas de diferentes tamaños. El patrón ilustra la autosimilitud . La dimensión fractal teórica de este fractal es 5/3 ≈ 1,67; su dimensión fractal empírica a partir del análisis de conteo de cajas es ±1% ^[8] utilizando un software de análisis fractal .

Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio en el detalle y el cambio en la escala. ^{[5] : 1} Se pueden medir varios tipos de dimensión fractal de forma teórica y empírica (véase la figura 2). ^{[3] [9]} Las dimensiones fractales se utilizan para caracterizar un amplio espectro de objetos que van desde lo abstracto ^{[1] [3]} hasta los fenómenos prácticos, incluyendo la turbulencia, ^{[5] : 97–104} redes fluviales, ^{: 246–247} crecimiento urbano, ^{[10] [11]} fisiología humana, ^{[12] [13]} medicina, ^[9] y tendencias del mercado. ^[14] La idea esencial de las dimensiones fraccionarias o fractales tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII, ^{[5] : 19  [15]} pero los términos fractal y dimensión fractal fueron acuñados por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. ^{[1] [2] [5] [9] [14] [16]}

Las dimensiones fractales se aplicaron por primera vez como un índice que caracterizaba formas geométricas complicadas para las que los detalles parecían más importantes que la imagen general. ^[16] Para los conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la familiar dimensión euclidiana o topológica del conjunto . Por lo tanto, es 0 para los conjuntos que describen puntos (conjuntos de dimensión 0); 1 para los conjuntos que describen líneas (conjuntos unidimensionales que solo tienen longitud); 2 para los conjuntos que describen superficies (conjuntos bidimensionales que tienen longitud y ancho); y 3 para los conjuntos que describen volúmenes (conjuntos tridimensionales que tienen longitud, ancho y altura). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto excede su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal. ^[17]

A diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede tomar valores no enteros , ^[18] lo que indica que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente de manera diferente a como lo hace un conjunto geométrico ordinario. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1.10, se comporta bastante como una línea ordinaria, pero una curva con una dimensión fractal de 1.9 serpentea enrevesadamente a través del espacio casi como una superficie. De manera similar, una superficie con una dimensión fractal de 2.1 llena el espacio de manera muy similar a una superficie ordinaria, pero una con una dimensión fractal de 2.9 se pliega y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. ^{[17] : 48  [notas 1]} Esta relación general se puede ver en las dos imágenes de curvas fractales en las figuras 2 y 3: el contorno de 32 segmentos en la figura 2, convolucionado y que llena el espacio, tiene una dimensión fractal de 1,67, en comparación con la curva de Koch perceptiblemente menos compleja en la figura 3, que tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,2619.

Figura 3. La curva de Koch es una clásica curva fractal iterada . Es una construcción teórica que se realiza escalando iterativamente un segmento inicial. Como se muestra, cada segmento nuevo se escala en 1/3 en 4 nuevas piezas dispuestas de extremo a extremo con 2 piezas intermedias inclinadas una hacia la otra entre las otras dos piezas, de modo que si fueran un triángulo su base sería la longitud de la pieza intermedia, de modo que todo el segmento nuevo encaja a lo largo de la longitud medida tradicionalmente entre los puntos finales del segmento anterior. Mientras que la animación solo muestra unas pocas iteraciones, la curva teórica se escala de esta manera infinitamente. Más allá de aproximadamente 6 iteraciones en una imagen tan pequeña, se pierde el detalle.

La relación de una dimensión fractal creciente con el llenado del espacio podría interpretarse como que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; las dos no están estrictamente correlacionadas. ^[8] En cambio, una dimensión fractal mide la complejidad, un concepto relacionado con ciertas características clave de los fractales: autosimilitud y detalle o irregularidad . ^{[notas 2]} Estas características son evidentes en los dos ejemplos de curvas fractales. Ambas son curvas con dimensión topológica de 1, por lo que uno podría esperar poder medir su longitud y derivada de la misma manera que con las curvas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque las curvas fractales tienen complejidad en forma de autosimilitud y detalle de los que carecen las curvas ordinarias. ^[5] La autosimilitud reside en la escala infinita y el detalle en los elementos que definen cada conjunto. La longitud entre dos puntos cualesquiera de estas curvas es infinita, sin importar cuán cerca estén los dos puntos, lo que significa que es imposible aproximar la longitud de dicha curva dividiéndola en muchos segmentos pequeños. ^[19] Cada pieza más pequeña está compuesta por un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. Estas no son curvas rectificables , lo que significa que no se pueden medir al dividirlas en muchos segmentos que se aproximen a sus respectivas longitudes. No se pueden caracterizar de manera significativa al encontrar sus longitudes y derivadas. Sin embargo, se pueden determinar sus dimensiones fractales, lo que muestra que ambas llenan el espacio más que las líneas ordinarias pero menos que las superficies, y permite compararlas en este sentido.

Las dos curvas fractales descritas anteriormente muestran un tipo de autosimilitud que es exacta con una unidad repetitiva de detalle que se visualiza fácilmente. Este tipo de estructura se puede extender a otros espacios (por ejemplo, un fractal que extiende la curva de Koch al espacio 3-d tiene un D teórico = 2,5849). Sin embargo, esta complejidad claramente contable es solo un ejemplo de la autosimilitud y el detalle que están presentes en los fractales. ^{[3] [14]} El ejemplo de la línea costera de Gran Bretaña, por ejemplo, exhibe autosimilitud de un patrón aproximado con escala aproximada. ^{[5] : 26} En general, los fractales muestran varios tipos y grados de autosimilitud y detalle que pueden no visualizarse fácilmente. Estos incluyen, como ejemplos, atractores extraños para los cuales el detalle se ha descrito como, en esencia, porciones suaves amontonadas, ^{[17] : 49} el conjunto de Julia , que puede verse como remolinos complejos sobre remolinos, y frecuencias cardíacas, que son patrones de picos ásperos repetidos y escalados en el tiempo. ^[20] La complejidad fractal no siempre puede resolverse en unidades de detalle y escala fácilmente comprensibles sin métodos analíticos complejos, pero aún es cuantificable a través de dimensiones fractales. ^{[5] : 197, 262}

Historia

Los términos dimensión fractal y fractal fueron acuñados por Mandelbrot en 1975, ^[16] aproximadamente una década después de que publicara su artículo sobre la autosimilitud en la costa de Gran Bretaña. Varias autoridades históricas le atribuyen también el mérito de sintetizar siglos de complicadas matemáticas teóricas y trabajos de ingeniería y de aplicarlos de una manera nueva para estudiar geometrías complejas que desafiaban la descripción en los términos lineales habituales. ^{[15] [21] [22]} Las primeras raíces de lo que Mandelbrot sintetizó como la dimensión fractal se remontan claramente a escritos sobre funciones no diferenciables, infinitamente autosimilares, que son importantes en la definición matemática de los fractales, en torno a la época en que se descubrió el cálculo a mediados del siglo XVII. ^{[5] : 405} Hubo una pausa en el trabajo publicado sobre tales funciones durante un tiempo después de eso, luego una renovación que comenzó a fines del siglo XIX con la publicación de funciones matemáticas y conjuntos que hoy se llaman fractales canónicos (como los trabajos homónimos de von Koch , ^[19] Sierpiński y Julia ), pero que en el momento de su formulación a menudo se consideraban "monstruos" matemáticos antitéticos. ^{[15] [22]} Estos trabajos fueron acompañados por quizás el punto más crucial en el desarrollo del concepto de una dimensión fractal a través del trabajo de Hausdorff a principios de la década de 1900, quien definió una dimensión "fraccional" que llegó a recibir su nombre y se invoca con frecuencia para definir fractales modernos . ^{[4] [5] : 44  [17] [21]}

Consulte la historia fractal para obtener más información.

El papel del escalamiento

Figura 4. Nociones tradicionales de geometría para definir escala y dimensión. , , , , , , ^[23]
${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1^{2}{=}1}$ ${\displaystyle 1^{3}{=}1}$
${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2^{2}{=}4}$ ${\displaystyle 2^{3}{=}8}$
${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{2}{=}9}$ ${\displaystyle 3^{3}{=}27}$

El concepto de dimensión fractal se basa en puntos de vista no convencionales sobre la escala y la dimensión. ^[24] Como ilustra la figura 4, las nociones tradicionales de geometría dictan que las formas se escalan de manera predecible según ideas intuitivas y familiares sobre el espacio que las contiene, de modo que, por ejemplo, medir una línea utilizando primero una vara de medir y luego otra de 1/3 de su tamaño, dará para la segunda vara una longitud total de 3 veces más varas que con la primera. Esto también es válido en dos dimensiones. Si se mide el área de un cuadrado y luego se mide nuevamente con una caja de una longitud de lado de 1/3 del tamaño de la original, se obtendrán 9 veces más cuadrados que con la primera medida. Estas relaciones de escala familiares se pueden definir matemáticamente mediante la regla de escala general de la ecuación 1, donde la variable representa el número de unidades de medida (varas, cuadrados, etc.), el factor de escala y la dimensión fractal: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle D}$

Esta regla de escala ejemplifica las reglas convencionales sobre geometría y dimensión; en referencia a los ejemplos anteriores, cuantifica que para las líneas porque cuando , y que para los cuadrados porque cuando ${\displaystyle D=1}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=2}$ ${\displaystyle N=9}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}.}$

Figura 5. Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch , que tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,2619.

La misma regla se aplica a la geometría fractal, pero de forma menos intuitiva. Para explicarlo mejor, una línea fractal que al principio se midió como una longitud, cuando se vuelve a medir utilizando una nueva vara escalada por 1/3 de la anterior, puede tener una longitud cuatro veces mayor que la de las tres varas escaladas esperadas (véase la figura 5). En este caso, cuando y el valor de se pueden encontrar reordenando la ecuación 1: ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},}$ ${\displaystyle D}$

Es decir, para un fractal descrito por cuando , como el copo de nieve de Koch , , un valor no entero que sugiere que el fractal tiene una dimensión no igual al espacio en el que reside. ^[3] ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=1.26185\ldots }$

Cabe señalar que las imágenes que se muestran en esta página no son fractales verdaderos porque el escalamiento descrito por no puede continuar más allá del punto de su componente más pequeño, un píxel. Sin embargo, los patrones teóricos que representan las imágenes no tienen piezas discretas similares a píxeles, sino que están compuestos por un número infinito de segmentos de escala infinita y, de hecho, tienen las dimensiones fractales declaradas. ^{[5] [24]} ${\displaystyle D}$

Dno es un descriptor único

Figura 6. Dos fractales ramificados de sistemas L que se crean produciendo 4 partes nuevas por cada 1/3 de escala , por lo que tienen la misma teoría que la curva de Koch y para los cuales se ha demostrado el conteo de cajas empírico con una precisión del 2%. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Al igual que sucede con las dimensiones determinadas para líneas, cuadrados y cubos, las dimensiones fractales son descripciones generales que no definen patrones de forma única. ^{[24] [25]} El valor de D para el fractal de Koch analizado anteriormente, por ejemplo, cuantifica la escala inherente del patrón, pero no lo describe de forma única ni proporciona suficiente información para reconstruirlo. Se podrían construir muchas estructuras o patrones fractales que tengan la misma relación de escala pero sean radicalmente diferentes de la curva de Koch, como se ilustra en la Figura 6.

Para ver ejemplos de cómo se pueden construir patrones fractales, consulte Fractal , Triángulo de Sierpinski , Conjunto de Mandelbrot , Agregación limitada por difusión , Sistema L.

Estructuras de superficies fractales

El concepto de fractalidad se aplica cada vez más en el campo de la ciencia de superficies , proporcionando un puente entre las características de la superficie y las propiedades funcionales. ^[26] Se utilizan numerosos descriptores de superficie para interpretar la estructura de superficies nominalmente planas, que a menudo muestran características autoafines en múltiples escalas de longitud. La rugosidad media de la superficie , normalmente denotada como R _A , es el descriptor de superficie que se aplica con más frecuencia, sin embargo, se aplican regularmente otros numerosos descriptores, incluida la pendiente media, la rugosidad cuadrática media (R _RMS ) y otros. Sin embargo, se ha descubierto que muchos fenómenos físicos de la superficie no se pueden interpretar fácilmente con referencia a dichos descriptores, por lo que la dimensión fractal se aplica cada vez más para establecer correlaciones entre la estructura de la superficie en términos de comportamiento de escala y rendimiento. ^[27] Las dimensiones fractales de las superficies se han empleado para explicar y comprender mejor los fenómenos en áreas de mecánica de contacto , ^[28] comportamiento de fricción , ^[29] resistencia de contacto eléctrico ^[30] y óxidos conductores transparentes . ^[31]

Figura 7: Ilustración de fractalidad superficial creciente. Superficies autoafines (izquierda) y perfiles de superficie correspondientes (derecha) que muestran una dimensión fractal creciente D _f

Ejemplos

El concepto de dimensión fractal descrito en este artículo es una visión básica de un concepto complejo. Los ejemplos que se analizan aquí se eligieron por su claridad, y la unidad de escala y las proporciones se conocían de antemano. En la práctica, sin embargo, las dimensiones fractales se pueden determinar utilizando técnicas que aproximan la escala y el detalle a partir de límites estimados a partir de líneas de regresión sobre gráficos logarítmicos de tamaño frente a escala. A continuación se enumeran varias definiciones matemáticas formales de diferentes tipos de dimensión fractal. Aunque para conjuntos compactos con autosimilitud afín exacta todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes:

• Dimensión de conteo de cajas : D se estima como el exponente de una ley de potencia .

${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• Dimensión de información : D considera cómo la información promedio necesaria para identificar una caja ocupada escala con el tamaño de la caja; es una probabilidad. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}$

• Dimensión de correlación : D se basa en el número de puntos utilizados para generar una representación de un fractal y g _ε , el número de pares de puntos más cercanos que ε entre sí. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}}$ ^{[ cita requerida ]}

• Dimensiones generalizadas o de Rényi: Las dimensiones de conteo de cajas, información y correlación pueden verse como casos especiales de un espectro continuo de dimensiones generalizadas de orden α, definidas por:

${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}}$

• Dimensión de Higuchi ^[32]

${\displaystyle D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}}}$

• Dimensión de Lyapunov
• Dimensiones multifractales : un caso especial de dimensiones de Rényi donde el comportamiento de escala varía en diferentes partes del patrón.
• exponente de incertidumbre
• Dimensión de Hausdorff : para cualquier subconjunto de un espacio métrico y , el contenido de Hausdorff de dimensión d de S se define por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ there is a cover of }}S{\text{ by balls with radii }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

La dimensión de Hausdorff de S se define por

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• Dimensiones del embalaje
• Dimensión de Assouad
• Dimensión local conectada ^[33]
• Dimensión de grado: describe la naturaleza fractal de la distribución de grados de los gráficos. ^[34]

• Dimensión parabólica de Hausdorff

Estimación a partir de datos del mundo real

Muchos fenómenos del mundo real exhiben propiedades fractales limitadas o estadísticas y dimensiones fractales que se han estimado a partir de datos muestreados utilizando técnicas de análisis fractal basadas en computadora . En la práctica, las mediciones de la dimensión fractal se ven afectadas por varios problemas metodológicos y son sensibles al ruido numérico o experimental y a las limitaciones en la cantidad de datos. No obstante, el campo está creciendo rápidamente ya que las dimensiones fractales estimadas para fenómenos estadísticamente autosimilares pueden tener muchas aplicaciones prácticas en varios campos, incluyendo astronomía, ^[35] acústica, ^{[36] [37]} geología y ciencias de la tierra, ^[38] diagnóstico por imágenes, ^{[39] [40] [41]} ecología, ^[42] procesos electroquímicos, ^[43] análisis de imágenes, ^{[44] [ 45] [46] [47]} biología y medicina, ^{[48] [49] [50]} neurociencia, ^{[51] [13]} análisis de redes , fisiología, ^[12] física, ^{[52] [53]} y ceros zeta de Riemann. ^[54] También se ha demostrado que las estimaciones de la dimensión fractal se correlacionan con la complejidad de Lempel-Ziv en conjuntos de datos del mundo real de psicoacústica y neurociencia. ^{[55] [36]}

Una alternativa a la medición directa es considerar un modelo matemático que se asemeje a la formación de un objeto fractal del mundo real. En este caso, también se puede realizar una validación comparando propiedades distintas a las fractales implícitas en el modelo con los datos medidos. En física coloidal surgen sistemas compuestos por partículas con diversas dimensiones fractales. Para describir estos sistemas, es conveniente hablar de una distribución de dimensiones fractales y, eventualmente, de una evolución temporal de estas últimas: un proceso que está impulsado por una compleja interacción entre agregación y coalescencia . ^[56]

Véase también

• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Lacunaridad  – Término en geometría y análisis fractal
• Derivada fractal  – Generalización de la derivada a los fractales

Notas

1. Vea una representación gráfica de diferentes dimensiones fractales
2. Ver Características fractales

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Lectura adicional

• Mandelbrot, Benoit B. ; Hudson, Richard L. (2010). El (mal) comportamiento de los mercados: una visión fractal del riesgo, la ruina y la recompensa. Profile Books. ISBN 978-1-84765-155-6.

Enlaces externos

• Benoit, el producto de software de análisis fractal de TruSoft, calcula las dimensiones fractales y los exponentes de Hurst.
• Una aplicación Java para calcular dimensiones fractales
• Introducción al análisis fractal
• Bowley, Roger (2009). "Dimensión fractal". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• "Los fractales normalmente no son autosimilares". 3Blue1Brown .