Cociente de diferencia

Expresión en cálculo

En el cálculo de una sola variable , el cociente de diferencias suele ser el nombre de la expresión

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

que cuando se lleva al límite cuando h se acerca a 0 da la derivada de la función f . ^{[1] [2] [3] [4]} El nombre de la expresión proviene del hecho de que es el cociente de la diferencia de valores de la función por la diferencia de los valores correspondientes de su argumento (este último es ( x + h ) - x = h en este caso). ^{[5] [6]} El cociente de diferencias es una medida de la tasa promedio de cambio de la función en un intervalo (en este caso, un intervalo de longitud h ). ^{[7] [8] : 237  [9]} El límite del cociente de diferencias (es decir, la derivada) es, por lo tanto, la tasa instantánea de cambio. ^[9]

Con un ligero cambio en la notación (y punto de vista), para un intervalo [ a , b ], el cociente de diferencias

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

Se denomina ^[5] valor medio (o promedio) de la derivada de f en el intervalo [ a , b ]. Este nombre se justifica por el teorema del valor medio , que establece que para una función diferenciable f , su derivada f ′ alcanza su valor medio en algún punto del intervalo. ^[5] Geométricamente, este cociente de diferencias mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos de coordenadas ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )). ^[10]

Los cocientes de diferencias se utilizan como aproximaciones en la diferenciación numérica , ^[8] pero también han sido objeto de críticas en esta aplicación. ^[11]

Los cocientes de diferencias también pueden ser relevantes en aplicaciones que involucran discretización del tiempo , donde el ancho del paso de tiempo se utiliza para el valor de h.

El cociente diferencial a veces también se denomina cociente de Newton ^{[10] [12] [13] [14]} (en honor a Isaac Newton ) o cociente diferencial de Fermat (en honor a Pierre de Fermat ). ^[15]

Descripción general

La noción típica del cociente de diferencias que se ha analizado anteriormente es un caso particular de un concepto más general. El vehículo principal del cálculo y otras matemáticas superiores es la función . Su "valor de entrada" es su argumento , normalmente un punto ("P") expresable en un gráfico. La diferencia entre dos puntos, en sí mismos, se conoce como su Delta (Δ P ), al igual que la diferencia en el resultado de su función, y la notación particular se determina por la dirección de formación:

• Diferencia hacia adelante: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) − F ( P );
• Diferencia central: δF(P) = F(P + ⁠1/2⁠ ΔP) − F(P − ⁠1/2⁠ ΔP);
• Diferencia hacia atrás: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

La preferencia general es la orientación hacia adelante, ya que F(P) es la base, a la que se le suman las diferencias (es decir, "ΔP"). Además,

• Si |ΔP| es finito (es decir, medible), entonces ΔF(P) se conoce como una diferencia finita , con denotaciones específicas de DP y DF(P);
• Si |ΔP| es infinitesimal (una cantidad infinitamente pequeña— —generalmente expresada en el análisis estándar como un límite: ), entonces ΔF(P) se conoce como una diferencia infinitesimal , con denotaciones específicas de dP y dF(P) (en gráficos de cálculo, el punto se identifica casi exclusivamente como "x" y F(x) como "y"). ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!}$

La diferencia de funciones dividida por la diferencia de puntos se conoce como "cociente de diferencias":

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!}$

Si ΔP es infinitesimal, entonces el cociente de diferencias es una derivada , de lo contrario es una diferencia dividida :

${\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!}$

${\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!}$

Definición del rango de puntos

Independientemente de si ΔP es infinitesimal o finito, existe (al menos, en el caso de la derivada, teóricamente) un rango de puntos, donde los límites son P ± (0,5) ΔP (dependiendo de la orientación: ΔF(P), δF(P) o ∇F(P)):

LB = Límite inferior; UB = Límite superior;

Las derivadas pueden considerarse como funciones en sí mismas, que albergan sus propias derivadas. Por lo tanto, cada función alberga grados secuenciales ("órdenes superiores") de derivación o diferenciación . Esta propiedad se puede generalizar a todos los cocientes de diferencias.
Como esta secuenciación requiere una fragmentación de límites correspondiente, es práctico dividir el rango de puntos en secciones más pequeñas y de igual tamaño, y cada sección está marcada por un punto intermedio ( P _i ), donde LB = P ₀ y UB = P _ń , el punto n º , que es igual al grado/orden:

 LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń − (Ń-0)Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń − (Ń-1)Δ 1 P; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń − (Ń-2)Δ ​​1 P; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń − (Ń-3)Δ 1 P; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3)Δ 1 P = P ń − 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2)Δ ​​1 P = P ń − 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1)Δ 1 P = P ń − 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0)Δ 1 P = P ń − 0Δ 1 P = P ń ;

 ΔP = Δ 1 P = P 1 − P 0 = P 2 − P 1 = P 3 − P 2 = ... = P ń − P ń-1 ;

 ΔB = UB − LB = P ń − P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.

El cociente de diferencias primarias (NORTE= 1)

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!}$

Como derivado

El cociente de diferencias como derivada no necesita explicación, salvo señalar que, dado que P ₀ es esencialmente igual a P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (ya que las diferencias son infinitesimales), la notación de Leibniz y las expresiones derivadas no distinguen entre P y P ₀ o P _ń :

${\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!}$

Existen otras notaciones derivadas , pero éstas son las designaciones estándar más reconocidas.

Como una diferencia dividida

Sin embargo, una diferencia dividida requiere mayor explicación, ya que es igual a la derivada promedio entre LB y UB incluidos:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}}$

En esta interpretación, P _ã representa un valor medio extraído de la función (rango medio, pero por lo general no exactamente punto medio), cuya valoración particular depende de la función de la que se extrae el promedio. De manera más formal, P _ã se encuentra en el teorema del valor medio del cálculo, que dice:

Para cualquier función que sea continua en [LB,UB] y diferenciable en (LB,UB) existe alguna P _ã en el intervalo (LB,UB) tal que la secante que une los puntos finales del intervalo [LB,UB] es paralela a la tangente en P _ã .

Esencialmente, P _ã denota algún valor de P entre LB y UB; por lo tanto,

${\displaystyle P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!}$

que vincula el resultado del valor medio con la diferencia dividida:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}}$

Como existe, por su propia definición, una diferencia tangible entre LB/P ₀ y UB/P _ń , las expresiones de Leibniz y derivadas requieren la divariación del argumento de la función.

Cocientes de diferencias de orden superior

Segundo orden

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}$

Tercer orden

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}$

norteel orden

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}$

Aplicando la diferencia dividida

La aplicación por excelencia de la diferencia dividida está en la presentación de la integral definida, que no es más que una diferencia finita:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}$

Dado que la expresión derivada del valor medio proporciona toda la misma información que la notación integral clásica, la expresión derivada del valor medio puede ser la expresión preferible, como en los lugares de escritura que solo admiten/aceptan texto ASCII estándar , o en casos que solo requieren la derivada promedio (como cuando se encuentra el radio promedio en una integral elíptica). Esto es especialmente cierto para las integrales definidas que técnicamente tienen (por ejemplo) 0 y o como límites, con la misma diferencia dividida que se encuentra con límites de 0 y (por lo tanto, requiere menos esfuerzo de promediado): ${\displaystyle \pi \,\!}$ ${\displaystyle 2\pi \,\!}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}}$

Esto también resulta particularmente útil cuando se trabaja con integrales iteradas y múltiples (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}}$

Por eso,

${\displaystyle F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!}$

y

${\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!}$

Véase también

• Diferencias divididas
• Teoría de Fermat
• Polinomio de Newton
• Método del rectángulo
• Regla del cociente
• Cociente de diferencias simétricas

Referencias

1. Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Springer. pág. 119. ISBN 978-1-4614-7946-8.
2. Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Cómo prepararse para el cálculo AP de Barron's . Serie educativa de Barron's. pág. 44. ISBN 978-0-7641-2382-5.
3. Mark Ryan (2010). Fundamentos de cálculo para principiantes . John Wiley & Sons. págs. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6.
4. Karla Neal; R. Gustafson; Jeff Hughes (2012). Precálculo . Cengage Learning. pág. 133. ISBN 978-0-495-82662-0.
5. Michael Comenetz (2002). Cálculo: los elementos . World Scientific. págs. 71-76 y 151-161. ISBN 978-981-02-4904-5.
6. Moritz Pasch (2010). Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas de Moritz Pasch . Saltador. pag. 157.ISBN​ 978-90-481-9416-2.
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8. Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014). Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. pág. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.
9. Thomas Hungerford; Douglas Shaw (2008). Precálculo contemporáneo: un enfoque gráfico . Cengage Learning. págs. 211–212. ISBN 978-0-495-10833-7.
10. Steven G. Krantz (2014). Fundamentos del análisis . CRC Press. pág. 127. ISBN 978-1-4822-2075-9.
11. Andreas Griewank; Andrea Walther (2008). Evaluación de derivadas: principios y técnicas de diferenciación algorítmica, segunda edición. SIAM. pp. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7.
12. Serge Lang (1968). Análisis 1. Addison-Wesley Publishing Company. pág. 56.
13. Brian D. Hahn (1994). Fortran 90 para científicos e ingenieros . Elsevier. pág. 276. ISBN. 978-0-340-60034-4.
14. Christopher Clapham; James Nicholson (2009). Diccionario Oxford conciso de matemáticas . Oxford University Press. pág. 313. ISBN 978-0-19-157976-9.
15. Donald C. Benson, Un guijarro más liso: exploraciones matemáticas , Oxford University Press, 2003, pág. 176.

Enlaces externos

• Saint Vincent College: Hno. David Carlson, OSB—MA109 El cociente de diferencias Archivado el 12 de septiembre de 2005 en Wayback Machine
• Universidad de Birmingham: Dirk Hermans: Diferencias divididas
• Mundo matemático:
  • Diferencia dividida
  • Teorema del valor medio
• Universidad de Wisconsin: Thomas W. Reps y Louis B. Rall: Diferenciación dividida computacional y aritmética de diferencia dividida
• Simulador interactivo sobre cociente de diferencias para explicar la derivada