Diferencial inexacto

Un diferencial inexacto o un diferencial imperfecto es un diferencial cuya integral depende de la trayectoria. Se utiliza con mayor frecuencia en termodinámica para expresar cambios en cantidades dependientes de la trayectoria, como el calor y el trabajo, pero se define de manera más general en matemáticas como un tipo de forma diferencial . Por el contrario, una integral de un diferencial exacto siempre es independiente de la trayectoria ya que la integral actúa para invertir el operador diferencial. En consecuencia, una cantidad con un diferencial inexacto no puede expresarse únicamente como función de las variables dentro del diferencial. Es decir, su valor no puede inferirse simplemente observando los estados inicial y final de un sistema determinado. ^[1] Los diferenciales inexactos se utilizan principalmente en cálculos que implican calor y trabajo porque son funciones de trayectoria , no funciones de estado .

Definición

Un diferencial inexacto es un diferencial para el cual la integral de dos caminos con los mismos puntos finales es diferente. Específicamente, existen caminos integrables tales que , y ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)}$ ${\displaystyle \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)}$

$${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u}$$

${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{1}}}$ ${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{2}}}$ ${\displaystyle u}$

De manera más general, un diferencial inexacto es una forma diferencial que no es un diferencial exacto , es decir, para todas las funciones , ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \mathrm {d} f\neq \delta u}$$

El teorema fundamental del cálculo para integrales de línea requiere independencia de trayectoria para expresar los valores de un campo vectorial dado en términos de las derivadas parciales de otra función que sea el análogo multivariado de la antiderivada. Esto se debe a que no puede haber una representación única de una antiderivada para diferenciales inexactos, ya que su variación es inconsistente a lo largo de diferentes caminos. Esta estipulación de independencia de camino es un complemento necesario al teorema fundamental del cálculo porque en el cálculo unidimensional solo hay un camino entre dos puntos definidos por una función.

Notación

Termodinámica

En lugar del símbolo diferencial d , se utiliza el símbolo δ , una convención que se originó en el trabajo del matemático alemán Carl Gottfried Neumann del siglo XIX , ^[2] que indica que Q (calor) y W (trabajo) dependen de la trayectoria, mientras que U (energía interna) no lo es.

Mecánica estadística

Dentro de la mecánica estadística, los diferenciales inexactos a menudo se indican con una barra a través del operador diferencial, đ . ^[3] En LaTeX el comando "\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}" es una aproximación o simplemente "\dj" para un carácter tinte , que necesita la codificación T1 . ^{[ cita necesaria ]}

Matemáticas

En matemáticas, los diferenciales inexactos generalmente se denominan formas diferenciales que a menudo se escriben simplemente como . ^[4] ${\displaystyle \omega }$

Ejemplos

Distancia total

Cuando caminas de un punto a otro a lo largo de una línea (sin cambiar de dirección), tu desplazamiento neto y la distancia total recorrida son iguales a la longitud de dicha línea . Si luego regresa al punto (sin cambiar de dirección), entonces su desplazamiento neto es cero, mientras que la distancia total recorrida es . Este ejemplo captura la idea esencial detrás del diferencial inexacto en una dimensión. Tenga en cuenta que si nos permitiéramos cambiar de dirección, entonces podríamos dar un paso adelante y luego retroceder en cualquier momento al ir de a y, al hacerlo, aumentar la distancia total recorrida a un número arbitrariamente grande manteniendo el desplazamiento neto. constante. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Reelaborando lo anterior con diferenciales y considerando que está a lo largo del eje -, el diferencial de distancia neta es un diferencial exacto con antiderivada . Por otro lado, el diferencial de distancia total es , que no tiene primitiva. El camino tomado es aquel en el que existe un tiempo que es estrictamente creciente antes y estrictamente decreciente después. Entonces es positivo antes y negativo después, dando las integrales, ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f=\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |\mathrm {d} x|}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0}$$

$${\displaystyle \Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm {d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{B}\mathrm {d} x=2AB}$$

Primera ley de la termodinámica

Los diferenciales inexactos aparecen explícitamente en la primera ley de la termodinámica ,

$${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W}$$

ciclo de Carnot ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta Q=TdS}$ ${\displaystyle \delta W=PdV}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$

La energía interna U es una función de estado , lo que significa que su cambio se puede inferir simplemente comparando dos estados diferentes del sistema (independientemente de su trayectoria de transición), que por lo tanto podemos indicar con U ₁ y U ₂ . Dado que podemos pasar del estado U ₁ al estado U ₂ ya sea proporcionando calor Q = U ₂ − U ₁ o trabajo W = U ₂ − U ₁ , tal cambio de estado no identifica de manera única la cantidad de trabajo W realizado al sistema o calor Q transferido, pero solo el cambio en la energía interna Δ U .

Calor y trabajo

Un incendio requiere calor, combustible y un agente oxidante. La energía necesaria para superar la barrera de energía de activación para la combustión se transfiere en forma de calor al sistema, lo que produce cambios en la energía interna del sistema. En un proceso, la entrada de energía para iniciar un incendio puede comprender tanto trabajo como calor, como cuando uno frota yesca (trabajo) y experimenta fricción (calor) para iniciar un incendio. La combustión resultante es altamente exotérmica y libera calor. El cambio general en la energía interna no revela el modo de transferencia de energía y cuantifica sólo el trabajo y el calor netos. La diferencia entre los estados inicial y final de la energía interna del sistema no explica el alcance de las interacciones energéticas ocurridas. Por lo tanto, la energía interna es una función de estado (es decir, diferencial exacta), mientras que el calor y el trabajo son funciones de trayectoria (es decir, diferenciales inexactas) porque la integración debe tener en cuenta la trayectoria seguida.

Factores integrantes

A veces es posible convertir un diferencial inexacto en uno exacto mediante un factor integrante . El ejemplo más común de esto en termodinámica es la definición de entropía :

$${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$$

δQδWtemperaturay_revS

Ejemplo

Considere la forma diferencial inexacta,

$${\displaystyle \delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.}$$

(1,1)yxyxyxx ${\textstyle \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$ ${\displaystyle \delta u}$

$${\displaystyle x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)}$$

${\displaystyle x\,\delta u}$

Ver también

• Formas diferenciales cerradas y exactas para un tratamiento de nivel superior.
• Diferencial (matemáticas)
• Diferencial exacto
• Ecuación diferencial exacta
• Factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales no exactas haciéndolas exactas
• Campo vectorial conservador

Referencias

1. Laidler, Keith, J. (1993). El mundo de la química física . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855919-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Neumann, Carl G. (1875). Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme [Conferencias sobre la teoría mecánica del calor ]. Leipzig: Teubner.
3. Reif, Fredrick (1965). Fundamentos de Física Estadística y Térmica . McGraw-Hill.
4. Rudin, Walter (2013). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill.

enlaces externos

• Diferencial inexacto - de Wolfram MathWorld
• Diferenciales exactas e inexactas - Universidad de Arizona
• Diferenciales exactas e inexactas - Universidad de Texas
• Diferencial exacto - de Wolfram MathWorld