Adición de Minkowski

Suma los conjuntos de vectores A y B sumando cada vector de A a cada vector de B

La cifra roja es la suma de Minkowski de las cifras azules y verdes.

En geometría , la suma de Minkowski de dos conjuntos de vectores de posición A y B en el espacio euclidiano se forma sumando cada vector en A a cada vector en B :

${\displaystyle A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}}$

La diferencia de Minkowski (también sustracción de Minkowski , descomposición de Minkowski o diferencia geométrica ) ^[1] es la inversa correspondiente, donde produce un conjunto que podría sumarse con B para recuperar A. Esto se define como el complemento de la suma de Minkowski del complemento de A con la reflexión de B sobre el origen. ^[2] ${\displaystyle (A-B)}$

${\displaystyle -B=\{\mathbf {-b} \,|\,\mathbf {b} \in B\}}$

${\displaystyle A-B=(A^{\complement }+(-B))^{\complement }}$

Esta definición permite una relación simétrica entre la suma y la diferencia de Minkowski. Nótese que tomar alternativamente la suma y la diferencia con B no es necesariamente equivalente. La suma puede llenar espacios que la diferencia no puede volver a abrir, y la diferencia puede borrar pequeñas islas que la suma no puede recrear de la nada.

${\displaystyle (A-B)+B\subseteq A}$

${\displaystyle (A+B)-B\supseteq A}$

${\displaystyle A-B=(A^{\complement }+(-B))^{\complement }}$

${\displaystyle A+B=(A^{\complement }-(-B))^{\complement }}$

En el procesamiento de imágenes 2D , la suma y la diferencia de Minkowski se conocen como dilatación y erosión .

A veces se utiliza una definición alternativa de la diferencia de Minkowski para calcular la intersección de formas convexas. ^[3] Esta no es equivalente a la definición anterior y no es una operación inversa de la suma. En cambio, reemplaza la suma vectorial de la suma de Minkowski con una resta vectorial . Si las dos formas convexas se intersecan, el conjunto resultante contendrá el origen.

${\displaystyle A-B=\{\mathbf {a} -\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}=A+(-B)}$

El concepto lleva el nombre de Hermann Minkowski .

Ejemplo

Suma de Minkowski A + B

Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos A y B , cada uno de ellos formado por tres vectores de posición (informalmente, tres puntos), que representan los vértices de dos triángulos en , con coordenadas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}}$

y

${\displaystyle B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\}}$

entonces su suma de Minkowski es

${\displaystyle A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,-1),(1,0),(1,-2)\},}$

que comprende los vértices de un hexágono y su centro.

Para la adición de Minkowski, el conjunto cero , que contiene solo el vector cero , 0, es un elemento identidad : para cada subconjunto S de un espacio vectorial, ${\displaystyle \{0\},}$

${\displaystyle S+\{0\}=S.}$

El conjunto vacío es importante en la adición de Minkowski, porque el conjunto vacío aniquila cualquier otro subconjunto: para cada subconjunto S de un espacio vectorial, su suma con el conjunto vacío es vacía:

${\displaystyle S+\emptyset =\emptyset .}$

Para otro ejemplo, considere las sumas de Minkowski de bolas abiertas o cerradas en el campo que son los números reales o los números complejos Si es la bola cerrada de radio centrada en en entonces para cualquier y también se cumplirán para cualquier escalar tal que el producto esté definido (lo que sucede cuando o ). Si y son todos distintos de cero, entonces las mismas igualdades todavía se cumplirían si se hubieran definido como la bola abierta, en lugar de la bola cerrada, centrada en (la suposición distinta de cero es necesaria porque la bola abierta de radio es el conjunto vacío). La suma de Minkowski de una bola cerrada y una bola abierta es una bola abierta. De manera más general, la suma de Minkowski de un subconjunto abierto con cualquier otro conjunto será un subconjunto abierto. ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ ${\displaystyle r\in [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle r,s\in [0,\infty ],}$ ${\displaystyle B_{r}+B_{s}=B_{r+s}}$ ${\displaystyle cB_{r}=B_{|c|r}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|r}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle r,s,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Si es el gráfico de y si y es el eje en entonces la suma de Minkowski de estos dos subconjuntos cerrados del plano es el conjunto abierto que consiste en todo lo que no sea el eje . Esto demuestra que la suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados no es necesariamente un conjunto cerrado. Sin embargo, la suma de Minkowski de dos subconjuntos cerrados será un subconjunto cerrado si al menos uno de estos conjuntos es también un subconjunto compacto . ${\displaystyle G=\{(x,1/x):0\neq x\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle G+Y=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\neq 0\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$ ${\displaystyle y}$

Envolturas convexas de sumas de Minkowski

La adición de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar envolturas convexas , como lo demuestra la siguiente proposición:

Para todos los subconjuntos no vacíos y de un espacio vectorial real, la envoltura convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus envolturas convexas: ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$

Este resultado se aplica de forma más general a cualquier colección finita de conjuntos no vacíos:

${\textstyle \operatorname {Conv} \left(\sum {S_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S_{n}).}$

En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formación de envolturas convexas son operaciones conmutativas . ^{[4] [5]}

Si es un conjunto convexo entonces también es un conjunto convexo; además ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu S+\lambda S}$

${\displaystyle \mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S}$

para cada . Por el contrario, si esta " propiedad distributiva " se cumple para todos los números reales no negativos, , entonces el conjunto es convexo. ^[6] ${\displaystyle \mu ,\lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \mu ,\lambda }$

Un ejemplo de un conjunto no convexo tal que ${\displaystyle A+A\neq 2A.}$

La figura de la derecha muestra un ejemplo de un conjunto no convexo para el cual ${\displaystyle A+A\subsetneq 2A.}$

Un ejemplo de dimensión es: Se puede calcular fácilmente que pero por lo tanto nuevamente ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B=[1,2]\cup [4,5].}$ ${\displaystyle 2B=[2,4]\cup [8,10]}$ ${\displaystyle B+B=[2,4]\cup [5,7]\cup [8,10],}$ ${\displaystyle B+B\subsetneq 2B.}$

Las sumas de Minkowski actúan linealmente sobre el perímetro de cuerpos convexos bidimensionales: el perímetro de la suma es igual a la suma de los perímetros. Además, si es (el interior de) una curva de ancho constante , entonces la suma de Minkowski de y de su rotación es un disco. Estos dos hechos se pueden combinar para dar una prueba breve del teorema de Barbier sobre el perímetro de curvas de ancho constante. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$

Aplicaciones

La adición de Minkowski desempeña un papel central en la morfología matemática . Surge en el paradigma de pincelada y trazo de los gráficos por ordenador en 2D (con diversos usos, en particular por parte de Donald E. Knuth en Metafont ) y como la operación de barrido sólido de los gráficos por ordenador en 3D . También se ha demostrado que está estrechamente relacionada con la distancia de la excavadora y, por extensión, con el transporte óptimo . ^[8]

Planificación del movimiento

Las sumas de Minkowski se utilizan en la planificación del movimiento de un objeto entre obstáculos. Se utilizan para el cálculo del espacio de configuración , que es el conjunto de todas las posiciones admisibles del objeto. En el modelo simple de movimiento de traslación de un objeto en el plano, donde la posición de un objeto puede especificarse de forma única mediante la posición de un punto fijo de este objeto, el espacio de configuración es la suma de Minkowski del conjunto de obstáculos y el objeto móvil colocado en el origen y rotado 180 grados.

Mecanizado por control numérico (NC)

En el mecanizado de control numérico , la programación de la herramienta NC aprovecha el hecho de que la suma de Minkowski de la pieza de corte con su trayectoria da la forma del corte en el material.

Modelado de sólidos en 3D

En OpenSCAD, las sumas de Minkowski se utilizan para delinear una forma con otra forma, creando una composición de ambas formas.

Teoría de la agregación

Las sumas de Minkowski también se utilizan con frecuencia en la teoría de agregación cuando los objetos individuales que se van a agregar se caracterizan mediante conjuntos. ^{[9] [10]}

Detección de colisiones

Las sumas de Minkowski, específicamente las diferencias de Minkowski, se utilizan a menudo junto con los algoritmos GJK para calcular la detección de colisiones para cascos convexos en motores de física .

Algoritmos para calcular sumas de Minkowski

Adición de Minkowski y envolturas convexas. Los dieciséis puntos de color rojo oscuro (a la derecha) forman la suma de Minkowski de los cuatro conjuntos no convexos (a la izquierda), cada uno de los cuales consta de un par de puntos rojos. Sus envolturas convexas (sombreadas en rosa) contienen signos más (+): el signo más de la derecha es la suma de los signos más de la izquierda.

Caso planar

Dos polígonos convexos en el plano

Para dos polígonos convexos P y Q en el plano con m y n vértices, su suma de Minkowski es un polígono convexo con a lo sumo m + n vértices y puede calcularse en tiempo O( m + n ) mediante un procedimiento muy simple, que puede describirse informalmente como sigue. Supongamos que se dan los bordes de un polígono y la dirección, digamos, en sentido antihorario, a lo largo del límite del polígono. Entonces se ve fácilmente que estos bordes del polígono convexo están ordenados por ángulo polar . Fusionemos las secuencias ordenadas de los bordes dirigidos de P y Q en una única secuencia ordenada S . Imaginemos que estos bordes son flechas sólidas que se pueden mover libremente mientras se mantienen paralelas a su dirección original. Ensamblemos estas flechas en el orden de la secuencia S uniendo la cola de la siguiente flecha a la punta de la flecha anterior. Resulta que la cadena poligonal resultante será de hecho un polígono convexo que es la suma de Minkowski de P y Q .

Otro

Si un polígono es convexo y otro no, la complejidad de su suma de Minkowski es O( nm ). Si ambos son no convexos, su complejidad de suma de Minkowski es O(( mn ) ² ).

Suma esencial de Minkowski

También existe una noción de suma esencial de Minkowski + _e de dos subconjuntos del espacio euclidiano. La suma habitual de Minkowski se puede escribir como

${\displaystyle A+B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,A\cap (z-B)\neq \emptyset \right\}.}$

Por tanto, la suma esencial de Minkowski se define por

${\displaystyle A+_{\mathrm {e} }B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\mu \left[A\cap (z-B)\right]>0\right\},}$

donde μ denota la medida de Lebesgue n -dimensional . La razón del término "esencial" es la siguiente propiedad de las funciones indicadoras : mientras

${\displaystyle 1_{A\,+\,B}(z)=\sup _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$

se puede ver que

${\displaystyle 1_{A\,+_{\mathrm {e} }\,B}(z)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$

donde "ess sup" denota lo esencial supremo .

L pSuma de Minkowski

Para los subconjuntos convexos compactos K y L en , la suma de Minkowski se puede describir mediante la función de soporte de los conjuntos convexos: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h_{K+L}=h_{K}+h_{L}.}$

Para p ≥ 1, Firey ^[11] definió la suma de Minkowski L ^p K + _p L de los conjuntos convexos compactos K y L que contienen el origen como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h_{K+_{p}L}^{p}=h_{K}^{p}+h_{L}^{p}.}$

Por la desigualdad de Minkowski , la función h _{K+ p L} es nuevamente homogénea positiva y convexa y, por lo tanto, la función de soporte de un conjunto compacto convexo. Esta definición es fundamental en la teoría de Brunn-Minkowski L ^{p .}

Véase también

• Suma de Blaschke  : politopo que combina dos politopos más pequeños
• Teorema de Brunn-Minkowski  : teorema en geometría Pages displaying wikidata descriptions as a fallback, una desigualdad sobre los volúmenes de las sumas de Minkowski
• Convolución  : Integral que expresa la cantidad de superposición de una función a medida que se desplaza sobre otra.
• Dilatación  – Operación en morfología matemática
• Erosión  – Operación básica en morfología matemática
• Aritmética de intervalos  : método para limitar los errores de los cálculos numéricos
• Volumen mixto (también conocido como volumen intrínseco o Quermassintegral )
• Curva paralela  – Generalización del concepto de rectas paralelas
• Lema de Shapley-Folkman  : las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas
• Conjunto sumatorio  : conjunto de todas las sumas posibles de un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto BPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico#Propiedades  – Espacio vectorial con noción de proximidad
• Zonotopo  – Poliedro convexo proyectado a partir de un hipercuboPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Hadwiger, Hugo (1950), "Minkowskische Suma y resta beliebiger Punktmengen und die Theoreme von Erhard Schmidt", Matemáticas. Z. , 53 (3): 210–218, doi :10.1007/BF01175656, S2CID  121604732 , consultado el 12 de enero de 2023
2. Li, Wei (otoño de 2011). Cálculo basado en GPU de sumas de Minkowski voxelizadas con aplicaciones (doctorado). UC Berkeley . págs. 13–14 . Consultado el 10 de enero de 2023 .
3. Lozano-Pérez, Tomás (febrero de 1983). "Planificación espacial: un enfoque espacial de configuración" (PDF) . IEEE Transactions on Computers . C-32 (2): 111. doi :10.1109/TC.1983.1676196. hdl :1721.1/5684. S2CID  18978404 . Consultado el 10 de enero de 2023 .
4. Teorema 3 (páginas 562–563): Krein, M. ; Šmulian, V. (1940). "Sobre conjuntos regularmente convexos en el espacio conjugado a un espacio de Banach". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 41 (3): 556–583. doi :10.2307/1968735. JSTOR  1968735. MR  0002009.
5. Para la conmutatividad de la suma y convexificación de Minkowski , véase el teorema 1.1.2 (páginas 2-3) en Schneider; esta referencia analiza gran parte de la literatura sobre las envolturas convexas de los conjuntos suma de Minkowski en su "Capítulo 3 Suma de Minkowski" (páginas 126-196): Schneider, Rolf (1993). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8.Señor 1216521  .
6. Capítulo 1: Schneider, Rolf (1993). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8.Señor 1216521  .
7. El teorema de Barbier (Java) en cut-the-knot .
8. Kline, Jeffery (2019). "Propiedades del problema del movimiento de tierra de dimensión d". Matemáticas Aplicadas Discretas . 265 : 128–141. doi : 10.1016/j.dam.2019.02.042 . S2CID  127962240.
9. Zelenyuk, V (2015). "Agregación de eficiencia de escala". Revista Europea de Investigación Operativa . 240 (1): 269–277. doi :10.1016/j.ejor.2014.06.038.
10. Mayer, A.; Zelenyuk, V. (2014). "Agregación de índices de productividad de Malmquist que permiten la reasignación de recursos". Revista Europea de Investigación Operativa . 238 (3): 774–785. doi :10.1016/j.ejor.2014.04.003.
11. Firey, William J. (1962), " p -medias de cuerpos convexos", Math. Scand. , 10 : 17–24, doi : 10.7146/math.scand.a-10510

Referencias

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• Gardner, Richard J. (2002), "La desigualdad de Brunn-Minkowski", Bull. Amer. Math. Soc. (NS) , 39 (3): 355–405 (electrónico), doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2
• Green, Jerry; Heller, Walter P. (1981). "1 Análisis matemático y convexidad con aplicaciones a la economía". En Arrow, Kenneth Joseph ; Intriligator, Michael D (eds.). Manual de economía matemática, volumen  IManuales de economía. Vol. 1. Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. 15-52. doi :10.1016/S1573-4382(81)01005-9. ISBN 978-0-444-86126-9.Sr. 0634800  .
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• Tao, Terence y Vu, Van (2006), Combinatoria aditiva , Cambridge University Press.
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Enlaces externos

• "Suma de Minkowski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Howe, Roger (1979), Sobre la tendencia hacia la convexidad de la suma vectorial de conjuntos, Documentos de debate de la Cowles Foundation, vol. 538, Cowles Foundation for Research in Economics , Universidad de Yale
• Sumas de Minkowski, en la Biblioteca de Algoritmos de Geometría Computacional
• La suma de Minkowski de dos triángulos y la suma de Minkowski de un disco y un polígono por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project .
• La adición de formas convexas de Minkowski por Alexander Bogomolny : una aplicación
• Wikilibros:Manual de usuario de OpenSCAD/Transformaciones#minkowski por Marius Kintel: Aplicación
• Aplicación de la adición de Minkowski a la robótica por Joan Gerard
• Demostración de la aditividad de Minkowski, la monotonía convexa y otras propiedades de la distancia de Earth Movers