Descomposición semiortogonal

En matemáticas, una descomposición semiortogonal es una forma de dividir una categoría triangulada en partes más simples. Una forma de producir una descomposición semiortogonal es a partir de una colección excepcional , una secuencia especial de objetos en una categoría triangulada. Para una variedad algebraica X , ha resultado fructífero estudiar descomposiciones semiortogonales de la categoría derivada acotada de haces coherentes . ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$

Descomposición semiortogonal

Alexei Bondal y Mikhail Kapranov (1989) definieron una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada como una secuencia de subcategorías trianguladas estrictamente completas tales que: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$

• para todos y todos los objetos y , cada morfismo de a es cero. Es decir, "no existen morfismos de derecha a izquierda". ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es generado por . Es decir, la subcategoría de contenido estrictamente triangulada más pequeña es igual a . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

La notación se utiliza para una descomposición semiortogonal. ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$

Tener una descomposición semiortogonal implica que todo objeto de tiene una "filtración" canónica cuyas piezas graduadas se encuentran (sucesivamente) en las subcategorías . Es decir, para cada objeto T de , existe una secuencia ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T}$

de morfismos en tal que el cono de está en , para cada i . Además, esta secuencia es única hasta un isomorfismo único. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle T_{i}\to T_{i-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$

También se pueden considerar descomposiciones "ortogonales" de una categoría triangulada, al requerir que no haya morfismos de a para ninguno . Sin embargo, esa propiedad es demasiado fuerte para la mayoría de los propósitos. Por ejemplo, para una variedad proyectiva suave (irreducible) X sobre un campo , la categoría derivada acotada de haces coherentes nunca tiene una descomposición ortogonal no trivial, mientras que puede tener una descomposición semiortogonal, según los ejemplos siguientes. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$

Una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada puede considerarse análoga a una filtración finita de un grupo abeliano . Alternativamente, se puede considerar una descomposición semiortogonal más cercana a una secuencia exacta dividida , porque la secuencia exacta de categorías trianguladas se divide por la subcategoría , mapeándose isomórficamente a . ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}}$

Usando esa observación, una descomposición semiortogonal implica una división por suma directa de grupos de Grothendieck : ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$

${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal {A_{n}}}).}$

Por ejemplo, cuando la categoría derivada acotada de haces coherentes en una variedad proyectiva suave X se puede identificar con el grupo de Grothendieck de haces de vectores algebraicos en X. En esta situación geométrica, usando eso que proviene de una categoría dg , una descomposición semiortogonal en realidad da una división de todos los K-grupos algebraicos de X : ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$

${\displaystyle K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})}$

para todos yo . ^[3]

Subcategoría admisible

Una forma de producir una descomposición semiortogonal es a partir de una subcategoría admisible. Por definición, una subcategoría triangulada completa se deja admisible si el funtor de inclusión tiene un funtor adjunto izquierdo , escrito . Asimismo, es admisible por derecho si la inclusión tiene un adjunto derecho, escrito , y es admisible si es admisible tanto por izquierda como por derecha. ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle i\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle i^{!}}$

Una subcategoría admisible por la derecha determina una descomposición semiortogonal ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle }$,

dónde

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}}$

es la ortogonal derecha de en . ^[2] Por el contrario, toda descomposición semiortogonal surge de esta manera, en el sentido de que es derecho admisible y . Asimismo, para cualquier descomposición semiortogonal , la subcategoría se deja admisible, y , donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}}$

es la ortogonal izquierda de . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Si es la categoría derivada acotada de una variedad proyectiva suave sobre un campo k , entonces cada subcategoría de izquierda o derecha admisible es de hecho admisible. ^[4] Según los resultados de Bondal y Michel Van den Bergh , esto es válido de manera más general para cualquier categoría regular triangulada propia que sea idempotente-completa . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Además, para una categoría triangulada regular idempotente-completa , una subcategoría triangulada completa es admisible si y sólo si es regular e idempotente-completa. Estas propiedades son intrínsecas a la subcategoría. ^[6] Por ejemplo, para X una variedad proyectiva suave y Y una subvariedad no igual a X , la subcategoría de objetos apoyados en Y no es admisible. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$

Colección excepcional

Sea k un campo y sea una k categoría triangulada lineal. Un objeto E de se llama excepcional si Hom( E , E ) = k y Hom( E , E [ t ]) = 0 para todos los enteros t distintos de cero , donde [ t ] es el funtor de desplazamiento en . (En la categoría derivada de una variedad proyectiva compleja suave X , el espacio de deformación de primer orden de un objeto E es , por lo que un objeto excepcional es en particular rígido. De ello se deduce, por ejemplo, que hay, como máximo, un número contable de objetos excepcionales en , hasta el isomorfismo. Eso ayuda a explicar el nombre). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$

La subcategoría triangulada generada por un objeto excepcional E es equivalente a la categoría derivada de espacios k -vectoriales de dimensión finita , la categoría triangulada más simple en este contexto. (Por ejemplo, cada objeto de esa subcategoría es isomorfo a una suma directa finita de desplazamientos de E ). ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$

Alexei Gorodentsev y Alexei Rudakov (1987) definieron una colección excepcional como una secuencia de objetos excepcionales tal que para todo i < j y todos los enteros t . (Es decir, "no hay morfismos de derecha a izquierda"). En una categoría triangulada adecuada sobre k , como la categoría derivada acotada de haces coherentes en una variedad proyectiva suave, cada colección excepcional genera una subcategoría admisible, por lo que determina una descomposición semiortogonal: ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ,}$

donde , y denota la subcategoría triangulada completa generada por el objeto . ^[7] Una colección excepcional se llama completa si la subcategoría es cero. (Así, una colección excepcional completa divide toda la categoría triangulada en un número finito de copias de .) ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ^{\perp }}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$

En particular, si X es una variedad proyectiva suave tal que tiene una colección excepcional completa , entonces el grupo de Grothendieck de paquetes de vectores algebraicos en X es el grupo abeliano libre en las clases de estos objetos: ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$

${\displaystyle K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.}$

Una variedad proyectiva compleja suave X con una colección excepcional completa debe tener una teoría trivial de Hodge , en el sentido de que para todos ; además, el mapa de clases de ciclo debe ser un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$

Ejemplos

El ejemplo original de una colección excepcional completa fue descubierto por Alexander Beilinson (1978): la categoría derivada de espacio proyectivo sobre un campo tiene la colección excepcional completa.

${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n})=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle }$,

donde O( j ) para números enteros j son los paquetes de líneas en el espacio proyectivo . ^[9] También se han construido colecciones completas excepcionales en todas las variedades tóricas proyectivas lisas , superficies del Pezzo , muchas variedades proyectivas homogéneas y algunas otras variedades Fano . ^[10]

De manera más general, si X es una variedad proyectiva suave de dimensión positiva tal que los grupos de cohomología de haz coherente son cero para i > 0, entonces el objeto in es excepcional y, por lo tanto, induce una descomposición semiortogonal no trivial . Esto se aplica, por ejemplo, a todas las variedades de Fano en un campo de característica cero . También se aplica a algunas otras variedades, como las superficies Enriques y algunas superficies de tipo general . ${\displaystyle H^{i}(X,O_{X})}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X})^{\perp },O_{X}\rangle }$

Una fuente de ejemplos es la fórmula de ampliación de Orlov relativa a la ampliación de un esquema en un subesquema de intersección localmente completo de codimensión con un lugar excepcional . Hay una descomposición semiortogonal donde está el funtor y el mapa natural. ^[11] ${\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{Z}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \iota :E\simeq \mathbb {P} _{Z}(N_{Z/Y})\to X}$ ${\displaystyle D^{b}(X)=\langle \Phi _{1-k}(D^{b}(Z)),\ldots ,\Phi _{-1}(D^{b}(Z)),\pi ^{*}(D^{b}(Y))\rangle }$ ${\displaystyle \Phi _{i}:D^{b}(Z)\to D^{b}(X)}$ ${\displaystyle \Phi _{i}(-)=\iota _{*}({\mathcal {O}}_{E}(k))\otimes p^{*}(-))}$ ${\displaystyle p:X\to Y}$

Si bien estos ejemplos abarcan una gran cantidad de categorías derivadas bien estudiadas, muchas categorías trianguladas que ocurren naturalmente son "indescomponibles". En particular, para una variedad proyectiva suave X cuyo paquete canónico no tiene puntos de base , toda descomposición semiortogonal es trivial en el sentido de que o debe ser cero. ^[12] Por ejemplo, esto se aplica a cada variedad que es Calabi-Yau en el sentido de que su conjunto canónico es trivial. ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Ver también

• Geometría algebraica no conmutativa derivada

Notas

1. Huybrechts 2006, Definición 1.59.
2. Bondal y Kapranov 1990, Proposición 1.5.
3. Orlov 2016, Sección 1.2.
4. Kuznetsov 2007, Lemas 2.10, 2.11 y 2.12.
5. Orlov 2016, Teorema 3.16.
6. Orlov 2016, Proposiciones 3.17 y 3.20.
7. Huybrechts 2006, Lema 1.58.
8. Marcolli y Tabuada 2015, Proposición 1.9.
9. Huybrechts 2006, Corolario 8.29.
10. Kuznetsov 2014, sección 2.2.
11. Orlov, DO (28 de febrero de 1993). "PAQUETES PROYECTIVOS, TRANSFORMACIONES MONoidalES Y CATEGORÍAS DERIVADAS DE POLEAS COHERENTES". Academia de Ciencias de Rusia. Matemáticas de la Izvestia . 41 (1): 133-141. doi :10.1070/im1993v041n01abeh002182. ISSN  1064-5632.
12. Kuznetsov 2014, sección 2.5.

Referencias

• Bondal, Alexéi; Kapranov, Mikhail (1990), "Functores representables, functores de Serre y reconstrucciones", Matemáticas de la URSS-Izvestiya , 35 : 519–541, doi :10.1070/IM1990v035n03ABEH000716, MR  1039961
• Huybrechts, Daniel (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, señor  2244106
• Kuznetsov, Alexander (2007), "Dualidad proyectiva homológica", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 105 : 157–220, arXiv : math/0507292 , doi : 10.1007/s10240-007-0006-8, MR  2354207
• Kuznetsov, Alexander (2014), "Descomposiciones semiortogonales en geometría algebraica", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Seúl, 2014) , vol. 2, Seúl: Kyung Moon Sa, págs. 635–660, arXiv : 1404.3143 , MR  3728631
• Marcolli, Matilde ; Tabuada, Gonçalo (2015), "De colecciones excepcionales a descomposiciones motívicas mediante motivos no conmutativos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 701 : 153–167, arXiv : 1202.6297 , doi : 10.1515/crelle-2013-0027, MR  3331729
• Orlov, Dmitri (2016), "Esquemas no conmutativos suaves y adecuados y pegado de categorías DG", Avances en Matemáticas , 302 : 59–105, arXiv : 1402.7364 , doi : 10.1016/j.aim.2016.07.014 , MR  3545926