En la teoría matemática de los nudos , el nudo no trivial o nudo desnudado es el menos anudado de todos los nudos. Intuitivamente, el nudo no trivial es un bucle cerrado de cuerda sin un nudo atado a él, desnudado. Para un teórico de nudos, un nudo no trivial es cualquier círculo topológico incrustado en la 3-esfera que es isotópico ambiental (es decir, deformable) a un círculo geométricamente redondo , el nudo no trivial estándar .
El nudo no es el único nudo que es el límite de un disco incrustado , lo que da la caracterización de que solo los nudos no tienen género Seifert 0. De manera similar, el nudo no es el elemento identidad con respecto a la operación de suma de nudos .
La decisión de si un nudo en particular es el nudo desenredado fue una de las principales fuerzas impulsoras de los invariantes de nudos , ya que se pensaba que este enfoque posiblemente proporcionaría un algoritmo eficiente para reconocer el nudo desenredado a partir de alguna presentación, como un diagrama de nudos . Se sabe que el reconocimiento de nudos desenredados se da tanto en NP como en co-NP .
Se sabe que la homología de nudos de Floer y la homología de Khovanov detectan el nudo desenredado, pero no se sabe si se pueden calcular de manera eficiente para este propósito. No se sabe si el polinomio de Jones o los invariantes de tipo finito pueden detectar el nudo desenredado.
Puede resultar difícil encontrar una forma de desenredar una cuerda, aunque el hecho de que al principio estuviera desenredada demuestra que la tarea es posible. Thistlethwaite y Ochiai proporcionaron muchos ejemplos de diagramas de nudos que no tienen una forma obvia de simplificarlos, lo que requiere que uno aumente temporalmente el número de cruces del diagrama .
Aunque la cuerda no suele tener la forma de un bucle cerrado, a veces existe una forma canónica de imaginar que los extremos se unen. Desde este punto de vista, muchos nudos prácticos útiles son en realidad nudos desenrollados, incluidos aquellos que se pueden atar en forma de bucle . [1]
Todo nudo domesticado puede representarse como un enlace , que es una colección de segmentos de línea rígidos conectados por juntas universales en sus puntos finales. El número de palo es el número mínimo de segmentos necesarios para representar un nudo como un enlace, y un nudo desconectado es un enlace desconectado particular que no se puede reconfigurar en un polígono convexo plano. [2] Al igual que el número de cruce, es posible que sea necesario hacer más complejo un enlace subdividiendo sus segmentos antes de poder simplificarlo.
El polinomio de Alexander-Conway y el polinomio de Jones del nudo no son triviales:
Ningún otro nudo con 10 cruces o menos tiene un polinomio de Alexander trivial, pero el nudo Kinoshita-Terasaka y el nudo Conway (ambos con 11 cruces) tienen los mismos polinomios de Alexander y Conway que el nudo no trivial. Es un problema abierto si algún nudo no trivial tiene el mismo polinomio de Jones que el nudo no trivial.
El nudo inconexo es el único nudo cuyo grupo de nudos es un grupo cíclico infinito , y su complemento de nudo es homeomorfo a un toro sólido .
