Derivada del tiempo

Derivada de una función con respecto al tiempo

Una derivada temporal es una derivada de una función con respecto al tiempo , generalmente interpretada como la tasa de cambio del valor de la función. ^[1] La variable que denota el tiempo generalmente se escribe como . ${\displaystyle t}$

Notación

Se utilizan diversas notaciones para denotar la derivada temporal. Además de la notación normal ( de Leibniz ),

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Una notación abreviada muy común que se utiliza, especialmente en física, es el "punto sobre".

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Esto se llama notación de Newton )

También se utilizan derivadas temporales superiores: la segunda derivada con respecto al tiempo se escribe como

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

con la abreviatura correspondiente de . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Como generalización, la derivada temporal de un vector, digamos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]}$

se define como el vector cuyos componentes son las derivadas de los componentes del vector original. Es decir,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].}$

Uso en física

Las derivadas temporales son un concepto clave en física . Por ejemplo, para una posición cambiante , su derivada temporal es su velocidad y su segunda derivada con respecto al tiempo, , es su aceleración . A veces también se utilizan derivadas superiores: la tercera derivada de la posición con respecto al tiempo se conoce como tirón . Véase gráficos de movimiento y derivadas . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Un gran número de ecuaciones fundamentales en física implican derivadas temporales de primera o segunda magnitud. Muchas otras magnitudes fundamentales en ciencia son derivadas temporales entre sí:

• La fuerza es la derivada temporal del momento.
• La potencia es la derivada temporal de la energía.
• La corriente eléctrica es la derivada temporal de la carga eléctrica.

etcétera.

Un fenómeno común en física es la derivada temporal de un vector , como la velocidad o el desplazamiento. Al tratar con una derivada de este tipo, tanto la magnitud como la orientación pueden depender del tiempo.

Ejemplo: movimiento circular

Relación entre coordenadas cartesianas ( x , y ) y coordenadas polares ( r , θ ).

Por ejemplo, considere una partícula que se mueve en una trayectoria circular. Su posición está dada por el vector de desplazamiento , relacionado con el ángulo, θ , y la distancia radial, r , como se define en la figura: ${\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}}$

Para este ejemplo, suponemos que θ = t . Por lo tanto, el desplazamiento (posición) en cualquier instante t está dado por

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}}$

Esta forma muestra que el movimiento descrito por r ( t ) está en un círculo de radio r porque la magnitud de r ( t ) está dada por

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

utilizando la identidad trigonométrica sen ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1 y donde es el producto escalar euclidiano habitual. ${\displaystyle \cdot }$

Con esta forma de desplazamiento, se obtiene ahora la velocidad. La derivada temporal del vector desplazamiento es el vector velocidad. En general, la derivada de un vector es un vector formado por componentes, cada uno de los cuales es la derivada del componente correspondiente del vector original. Por lo tanto, en este caso, el vector velocidad es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la velocidad de la partícula es distinta de cero, aunque la magnitud de la posición (es decir, el radio de la trayectoria) sea constante. La velocidad está dirigida perpendicularmente al desplazamiento, como se puede establecer utilizando el producto escalar :

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

La aceleración es entonces la derivada temporal de la velocidad:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

La aceleración se dirige hacia el interior, hacia el eje de rotación. Apunta en sentido opuesto al vector de posición y perpendicular al vector de velocidad. Esta aceleración dirigida hacia el interior se denomina aceleración centrípeta .

En geometría diferencial

En geometría diferencial , las cantidades se expresan a menudo con respecto a la base covariante local , , donde i varía a lo largo del número de dimensiones. Los componentes de un vector expresados ​​de esta manera se transforman en un tensor contravariante , como se muestra en la expresión , invocando la convención de suma de Einstein . Si queremos calcular las derivadas temporales de estos componentes a lo largo de una trayectoria, de modo que tengamos , podemos definir un nuevo operador, la derivada invariante , que continuará devolviendo tensores contravariantes: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

donde ( siendo la coordenada j ) captura los componentes de la velocidad en la base covariante local, y son los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas. Nótese que la dependencia explícita de t ha sido suprimida en la notación. Podemos escribir: ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$ ${\displaystyle x^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

así como también:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

En términos de la derivada covariante , , tenemos: ${\displaystyle \nabla _{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

Uso en economía

En economía , muchos modelos teóricos de la evolución de diversas variables económicas se construyen en tiempo continuo y, por lo tanto, emplean derivadas temporales. ^{[3] : cap. 1-3} Una situación involucra una variable de stock y su derivada temporal, una variable de flujo . Algunos ejemplos incluyen:

• El flujo de inversión fija neta es la derivada temporal del stock de capital .
• El flujo de inversión en inventarios es la derivada temporal del stock de inventarios .
• La tasa de crecimiento de la oferta monetaria es la derivada temporal de la oferta monetaria dividida por la oferta monetaria misma.

A veces, la derivada temporal de una variable de flujo puede aparecer en un modelo:

• La tasa de crecimiento de la producción es la derivada temporal del flujo de producción dividida por la producción misma.
• La tasa de crecimiento de la fuerza laboral es la derivada temporal de la fuerza laboral dividida por la fuerza laboral misma.

Y a veces aparece una derivada temporal de una variable que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no se mide en unidades monetarias:

• Puede aparecer la derivada temporal de un tipo de interés clave .
• La tasa de inflación es la tasa de crecimiento del nivel de precios , es decir, la derivada temporal del nivel de precios dividida por el nivel de precios mismo.

Véase también

• Cálculo diferencial
• Notación para diferenciación
• Movimiento circular
• Fuerza centrípeta
• Derivada espacial
• Tasa temporal

Referencias

1. Chiang, Alpha C. , Métodos fundamentales de economía matemática , McGraw-Hill, tercera edición, 1984, cap. 14, 15, 18.
2. Grinfeld, Pavel. "Cálculo tensorial 6d: velocidad, aceleración, sacudida y la nueva derivada δ/δt". YouTube . Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2021.
3. Véase, por ejemplo, Romer, David (1996). Macroeconomía avanzada . McGraw-Hill. ISBN. 0-07-053667-8.