En cálculo , una prueba de derivadas utiliza las derivadas de una función para localizar los puntos críticos de una función y determinar si cada punto es un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Las pruebas derivadas también pueden brindar información sobre la concavidad de una función.
La utilidad de las derivadas para encontrar extremos queda demostrada matemáticamente por el teorema de los puntos estacionarios de Fermat .
La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (cuando la función aumenta o disminuye ), centrándose en un punto particular de su dominio . Si la función "cambia" de aumentar a disminuir en ese punto, entonces la función alcanzará un valor más alto en ese punto. De manera similar, si la función "cambia" de disminuir a aumentar en un punto, entonces alcanzará un valor mínimo en ese punto. Si la función no "conmuta" y sigue aumentando o disminuyendo, no se alcanza ningún valor máximo ni mínimo.
Se puede examinar la monotonicidad de una función sin cálculo. Sin embargo, el cálculo suele ser útil porque existen condiciones suficientes que garantizan las propiedades de monotonicidad anteriores, y estas condiciones se aplican a la gran mayoría de funciones que uno podría encontrar.
Dicho con precisión, supongamos que f es una función de valor real definida en algún intervalo abierto que contiene el punto x y supongamos además que f es continua en x .
Tenga en cuenta que en el primer caso, no es necesario que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente a la izquierda o derecha de x , mientras que en el último caso, se requiere que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente. La razón es que en la definición de máximo y mínimo locales, no es necesario que la desigualdad sea estricta: por ejemplo, cada valor de una función constante se considera tanto un máximo local como un mínimo local.
La prueba de la primera derivada depende de la "prueba creciente-decreciente", que en sí misma es, en última instancia, una consecuencia del teorema del valor medio . Es una consecuencia directa de la forma en que se define la derivada y su conexión con la disminución y el aumento de una función localmente, combinado con la sección anterior.
Supongamos que f es una función de valor real de una variable real definida en algún intervalo que contiene el punto crítico a . Supongamos además que f es continua en a y diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en a mismo.
Nuevamente, en correspondencia con los comentarios en la sección sobre propiedades de monotonicidad, observe que en los dos primeros casos no se requiere que la desigualdad sea estricta, mientras que en el tercero sí se requiere una desigualdad estricta.
La prueba de la primera derivada es útil para resolver problemas de optimización en física, economía e ingeniería. Junto con el teorema del valor extremo , se puede utilizar para encontrar el máximo y mínimo absolutos de una función de valor real definida en un intervalo cerrado y acotado . Junto con otra información como concavidad, puntos de inflexión y asíntotas , se puede utilizar para dibujar la gráfica de una función.
Después de establecer los puntos críticos de una función, la prueba de la segunda derivada utiliza el valor de la segunda derivada en esos puntos para determinar si dichos puntos son un máximo o un mínimo local . [1] Si la función f es dos veces diferenciable en un punto crítico x (es decir, un punto donde f ′ ( x ) = 0), entonces:
En el último caso, a veces se puede utilizar el teorema de Taylor para determinar el comportamiento de f cerca de x utilizando derivadas superiores .
Supongamos que tenemos (la prueba de es análoga). Por suposición, . Entonces
Por tanto, para h suficientemente pequeño obtenemos
lo que significa que si (intuitivamente, f disminuye a medida que nos acercamos desde la izquierda), y que si (intuitivamente, f aumenta a medida que avanzamos hacia la derecha desde x ). Ahora, según la prueba de la primera derivada , tiene un mínimo local en .
Un uso relacionado pero distinto de las segundas derivadas es determinar si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en un punto. Sin embargo, no proporciona información sobre los puntos de inflexión . Específicamente, una función f dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba si y cóncava hacia abajo si . Tenga en cuenta que si , entonces tiene segunda derivada cero, pero no es un punto de inflexión, por lo que la segunda derivada por sí sola no proporciona suficiente información para determinar si un punto dado es un punto de inflexión.
La prueba de derivada de orden superior o prueba de derivada general puede determinar si los puntos críticos de una función son máximos, mínimos o puntos de inflexión para una variedad más amplia de funciones que la prueba de derivada de segundo orden. Como se muestra a continuación, la prueba de la segunda derivada es matemáticamente idéntica al caso especial de n = 1 en la prueba de la derivada de orden superior.
Sea f una función de valor real y suficientemente diferenciable en un intervalo , sea y sea un número natural . También dejemos que todas las derivadas de f en c sean cero hasta la n -ésima derivada incluida, pero siendo la ( n + 1)ésima derivada distinta de cero:
Hay cuatro posibilidades, los dos primeros casos donde c es un extremo, los dos segundos donde c es un punto de silla (local):
Dado que n debe ser par o impar, esta prueba analítica clasifica cualquier punto estacionario de f , siempre que eventualmente aparezca una derivada distinta de cero.
Digamos que queremos realizar la prueba general de la derivada de la función en el punto . Para ello, calculamos las derivadas de la función y luego las evaluamos en el punto de interés hasta que el resultado sea distinto de cero.
Como se muestra arriba, en el punto , la función tiene todas sus derivadas en 0 iguales a 0, excepto la sexta derivada, que es positiva. Por tanto, n = 5 y, según la prueba, hay un mínimo local en 0.
Para una función de más de una variable, la prueba de la segunda derivada se generaliza a una prueba basada en los valores propios de la matriz de Hesse de la función en el punto crítico. En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas en una vecindad de un punto crítico x , entonces si los valores propios del hessiano en x son todos positivos, entonces x es un mínimo local. Si todos los valores propios son negativos, entonces x es un máximo local, y si algunos son positivos y otros negativos, entonces el punto es un punto de silla . Si la matriz de Hesse es singular , entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente.
