calculo fraccionario

Rama del análisis matemático con aplicaciones fraccionarias de derivadas e integrales.

El cálculo fraccional es una rama del análisis matemático que estudia las distintas posibilidades de definir potencias de números reales o potencias de números complejos del operador de diferenciación . ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$

y del operador de integración ^{[Nota 1]} ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$$

y desarrollar un cálculo para dichos operadores generalizando el clásico.

En este contexto, el término potencias se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal a una función , es decir, componer repetidamente consigo mismo, como en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, uno puede pedir una interpretación significativa de

$${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}$$

como análogo de la raíz cuadrada funcional del operador de diferenciación, es decir, una expresión para algún operador lineal que, cuando se aplica dos veces a cualquier función, tendrá el mismo efecto que la diferenciación . De manera más general, se puede considerar la cuestión de definir un operador lineal.

$${\displaystyle D^{a}}$$

para cada número real de tal manera que, cuando toma un valor entero , coincide con la diferenciación habitual de veces si , y con la potencia -ésima de cuándo . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle n<0}$

Una de las motivaciones detrás de la introducción y estudio de este tipo de extensiones del operador de diferenciación es que los conjuntos de potencias de operador definidos de esta manera son semigrupos continuos con parámetro , de los cuales el semigrupo discreto original de para entero es un subgrupo numerable : desde Los semigrupos continuos tienen una teoría matemática bien desarrollada, se pueden aplicar a otras ramas de las matemáticas. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle n}$

Las ecuaciones diferenciales fraccionarias , también conocidas como ecuaciones diferenciales extraordinarias, ^[1] son ​​una generalización de las ecuaciones diferenciales mediante la aplicación del cálculo fraccionario.

Notas históricas

En matemáticas aplicadas y análisis matemático, una derivada fraccionaria es una derivada de cualquier orden arbitrario, real o compleja. Su primera aparición es en una carta escrita a Guillaume de l'Hôpital por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1695. ^[2]  Casi al mismo tiempo, Leibniz le escribió a uno de los hermanos Bernoulli describiendo la similitud entre el teorema del binomio y la regla de Leibniz para el derivada fraccionaria de un producto de dos funciones. ^{[ cita necesaria ]}  El cálculo fraccional se introdujo en uno de los primeros artículos de Niels Henrik Abel ^[3] donde se pueden encontrar todos los elementos: la idea de integración y diferenciación de orden fraccionario, la relación mutuamente inversa entre ellos, la comprensión de que el cálculo fraccional -La diferenciación e integración de orden pueden considerarse como la misma operación generalizada, e incluso la notación unificada para la diferenciación e integración de orden real arbitrario. ^{[4] Independientemente,} Liouville sentó las bases del tema en un artículo de 1832. ^{[5] [6] [7]} El autodidacta Oliver Heaviside introdujo el uso práctico de operadores diferenciales fraccionarios en el análisis de líneas de transmisión eléctrica alrededor de 1890. ^{[ 8]} La teoría y las aplicaciones del cálculo fraccionario se expandieron enormemente durante los siglos XIX y XX, y numerosos colaboradores han dado diferentes definiciones de derivadas e integrales fraccionarias. ^[9]

Calcular la integral fraccionaria

Sea f ( x ) una función definida para x > 0 . Forme la integral definida de 0 a x . Llama esto

$${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$$

Repetir este proceso da

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}}$$

y esto puede ampliarse arbitrariamente.

La fórmula de Cauchy para la integración repetida , a saber

$${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$

n

Usar la función gamma para eliminar la naturaleza discreta de la función factorial nos brinda un candidato natural para aplicaciones fraccionarias del operador integral.

$${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

De hecho, este es un operador bien definido.

Es sencillo demostrar que el operador J satisface

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Esta relación se llama propiedad del semigrupo de operadores fraccionarios diferenciales integrales .

Integral fraccionaria de Riemann-Liouville

La forma clásica del cálculo fraccionario viene dada por la integral de Riemann-Liouville , que es esencialmente lo que se describió anteriormente. La teoría de la integración fraccionaria para funciones periódicas (por lo tanto, incluye la "condición límite" de repetición después de un período) viene dada por la integral de Weyl . Se define en series de Fourier y requiere que el coeficiente constante de Fourier desaparezca (por lo tanto, se aplica a funciones en el círculo unitario cuyas integrales se evalúan como cero). La integral de Riemann-Liouville existe en dos formas, superior e inferior. Considerando el intervalo [ a , b ] , las integrales se definen como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

Donde el primero es válido para t > a y el segundo es válido para t < b . ^[10]

Se ha sugerido ^[11] que la integral en el eje real positivo (es decir, ) se denominaría más apropiadamente integral de Abel-Riemann, sobre la base de la historia del descubrimiento y uso, y en la misma línea, la integral sobre todo el eje real positivo. línea se llamará integral de Liouville-Weyl. ${\displaystyle a=0}$

Por el contrario, la derivada de Grünwald-Letnikov comienza con la derivada en lugar de la integral.

Integral fraccionaria de Hadamard

La integral fraccionaria de Hadamard fue introducida por Jacques Hadamard ^[12] y viene dada por la siguiente fórmula,

$${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Integral fraccionaria de Atangana-Baleanu

La integral fraccionaria de Atangana-Baleanu de una función continua se define como:

$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

Derivadas fraccionarias

Desafortunadamente, el proceso comparable para el operador derivativo D es significativamente más complejo, pero se puede demostrar que D no es ni conmutativo ni aditivo en general. ^[13]

A diferencia de las derivadas newtonianas clásicas, las derivadas fraccionarias se pueden definir de diversas formas que a menudo no todas conducen al mismo resultado, incluso para funciones suaves. Algunos de estos se definen mediante una integral fraccionaria. Debido a la incompatibilidad de las definiciones, con frecuencia es necesario ser explícito sobre qué definición se utiliza.

Derivadas fraccionarias de una gaussiana, interpolando continuamente entre la función y su primera derivada.

Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville

La derivada correspondiente se calcula utilizando la regla de Lagrange para operadores diferenciales. Calculando la derivada de orden n sobre la integral de orden ( n − α ) , se obtiene la derivada de orden α . Es importante remarcar que n es el menor entero mayor que α (es decir, n = ⌈ α ⌉ ). La integral y la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville tienen múltiples aplicaciones, como en el caso de soluciones de la ecuación en el caso de sistemas múltiples, como los sistemas tokamak, y el parámetro fraccionario de orden variable. ^{[14] [15]} De manera similar a las definiciones de la integral de Riemann-Liouville, la derivada tiene variantes superior e inferior. ^[dieciséis]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

Derivada fraccionaria de Caputo

Otra opción para calcular derivadas fraccionarias es la derivada fraccionaria de Caputo. Fue introducido por Michele Caputo en su artículo de 1967. ^[17] A diferencia de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, al resolver ecuaciones diferenciales utilizando la definición de Caputo, no es necesario definir las condiciones iniciales de orden fraccionario. La definición de Caputo se ilustra de la siguiente manera, donde nuevamente n = ⌈ α ⌉ :

$${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Existe la derivada fraccionaria de Caputo definida como:

$${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$

f ( t )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

donde ϕ ( ν ) es una función de peso y que se utiliza para representar matemáticamente la presencia de múltiples formalismos de memoria.

Derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio

En un artículo de 2015, M. Caputo y M. Fabrizio presentaron una definición de derivada fraccionaria con núcleo no singular, para una función de dada por: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$

$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

dónde . ^[18] ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

Derivado fraccionario de Atangana-Baleanu

En 2016, Atangana y Baleanu sugirieron operadores diferenciales basados ​​en la función generalizada de Mittag-Leffler . El objetivo era introducir operadores diferenciales fraccionarios con núcleo no local no singular. Sus operadores diferenciales fraccionarios se dan a continuación en el sentido de Riemann-Liouville y en el sentido de Caputo, respectivamente. Para una función de dada por ^{[19] [20]} ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$

$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Si la función es continua, la derivada de Atangana-Baleanu en el sentido de Riemann-Liouville viene dada por:

$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

El núcleo utilizado en la derivada fraccionaria de Atangana-Baleanu tiene algunas propiedades de función de distribución acumulativa. Por ejemplo, para todo , la función aumenta en la recta real, converge a en y . Por lo tanto, tenemos que la función es la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad de los números reales positivos. La distribución queda por tanto definida, y cualquiera de sus múltiplos, se denomina distribución de orden de Mittag-Leffler . También es muy conocido que todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas . En particular, la función Mittag-Leffler tiene un caso particular , que es la función exponencial, la distribución de orden de Mittag-Leffler es por lo tanto una distribución exponencial . Sin embargo, para , las distribuciones de Mittag-Leffler tienen colas pesadas . Su transformada de Laplace viene dada por: ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$ ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

$${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

Esto implica directamente que, para , la expectativa es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricas estables . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Derivado de Riesz

La derivada de Riesz se define como

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

donde denota la transformada de Fourier . ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Otros tipos

Los derivados fraccionarios clásicos incluyen:

• Derivada de Grünwald-Letnikov ^{[23] [24]}
• Derivada de Sonin-Letnikov ^[24]
• Derivado de Liouville ^[23]
• Derivado de Caputo ^[23]
• Derivado de Hadamard ^{[23] [25]}
• Derivado de Marchaud ^[23]
• Derivado de Riesz ^[24]
• Derivada de Miller-Ross ^[23]
• Derivado de Weyl ^{[26] [27] [23]}
• Derivado de Erdélyi-Kober ^[23]
• F α {\displaystyle F^{\alpha }} -derivada ^[28]

Los nuevos derivados fraccionarios incluyen:

• Derivado de Coimbra ^[23]
• Derivado de Katugampola ^[29]
• Derivado de Hilfer ^[23]
• Derivado de Davidson ^[23]
• Derivado de Chen ^[23]
• Derivado de Caputo Fabrizio ^{[19] [30]}
• Derivado de Atangana-Baleanu ^{[19] [20]}

Naturaleza de la derivada fraccionaria

La -ésima derivada de una función en un punto es una propiedad local sólo cuando es un número entero; este no es el caso de los derivados de potencia no enteros. En otras palabras, una derivada fraccionaria no entera de at depende de todos los valores de , incluso aquellos que están lejos de . Por lo tanto, se espera que la operación de derivada fraccionaria implique algún tipo de condiciones de frontera , que impliquen información sobre la función más alejada. ^[31] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

La derivada fraccionaria de una función de orden hoy en día suele definirse mediante las transformadas integrales de Fourier o Mellin . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle a}$

Generalizaciones

Operador Erdélyi-Kober

El operador Erdélyi-Kober es un operador integral introducido por Arthur Erdélyi (1940). ^[32] y Hermann Kober (1940) ^[33] y viene dado por

$${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

que generaliza la integral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Weyl.

calculo funcional

En el contexto del análisis funcional , las funciones f ( D ) más generales que las potencias se estudian en el cálculo funcional de la teoría espectral . La teoría de los operadores pseudodiferenciales también permite considerar potencias de D . Los operadores que surgen son ejemplos de operadores integrales singulares ; y la generalización de la teoría clásica a dimensiones superiores se denomina teoría de los potenciales de Riesz . Por tanto, hay varias teorías contemporáneas disponibles dentro de las cuales se puede discutir el cálculo fraccionario . Véase también Operador Erdélyi-Kober , importante en la teoría de funciones especiales (Kober 1940), (Erdélyi 1950-1951).

Aplicaciones

Conservación fraccionada de masa.

Como lo describen Wheatcraft y Meerschaert (2008), ^[34] se necesita una ecuación de conservación fraccionaria de la masa para modelar el flujo de fluido cuando el volumen de control no es lo suficientemente grande en comparación con la escala de heterogeneidad y cuando el flujo dentro del volumen de control no es lo suficientemente grande. lineal. En el artículo de referencia, la ecuación de conservación fraccionaria de masa para el flujo de fluido es:

$${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

Análisis electroquímico

Cuando se estudia el comportamiento redox de un sustrato en solución, se aplica un voltaje en la superficie de un electrodo para forzar la transferencia de electrones entre el electrodo y el sustrato. La transferencia de electrones resultante se mide como una corriente. La corriente depende de la concentración de sustrato en la superficie del electrodo. A medida que se consume el sustrato, el sustrato fresco se difunde hacia el electrodo como lo describen las leyes de difusión de Fick . Tomando la transformada de Laplace de la segunda ley de Fick se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (aquí en forma adimensional):

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

cuya solución C ( x , s ) contiene una dependencia de potencia de la mitad de s . Tomando la derivada de C ( x , s ) y luego la transformada inversa de Laplace se obtiene la siguiente relación:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

que relaciona la concentración de sustrato en la superficie del electrodo con la corriente. ^[35] Esta relación se aplica en la cinética electroquímica para dilucidar el comportamiento mecanicista. Por ejemplo, se ha utilizado para estudiar la tasa de dimerización de sustratos tras la reducción electroquímica. ^[36]

Problema de flujo de agua subterránea

En 2013-2014, Atangana et al. describieron algunos problemas de flujo de agua subterránea utilizando el concepto de derivada con orden fraccionario. ^{[37] [38]} En estos trabajos, la ley clásica de Darcy se generaliza considerando el flujo de agua como una función de una derivada de orden no entero de la altura piezométrica. Esta ley generalizada y la ley de conservación de la masa se utilizan luego para derivar una nueva ecuación para el flujo de agua subterránea.

Ecuación de dispersión de advección fraccionaria

Se ha demostrado que esta ecuación ^{[ se necesita aclaración ] es útil para modelar el flujo de contaminantes en medios porosos heterogéneos. [39] [40] [41]}

Atangana y Kilicman ampliaron la ecuación de dispersión por advección fraccionaria a una ecuación de orden variable. En su trabajo, la ecuación de dispersión hidrodinámica se generalizó utilizando el concepto de derivada de orden variacional. La ecuación modificada se resolvió numéricamente mediante el método de Crank-Nicolson . La estabilidad y convergencia en simulaciones numéricas mostraron que la ecuación modificada es más confiable para predecir el movimiento de la contaminación en acuíferos deformables que las ecuaciones con derivadas fraccionarias y enteras constantes ^[42]

Modelos de ecuaciones de difusión fraccionaria tiempo-espacio

Los procesos de difusión anómalos en medios complejos se pueden caracterizar bien mediante el uso de modelos de ecuaciones de difusión de orden fraccionario. ^{[43] [44]} El término de derivada temporal corresponde a la desintegración intensa de la cola a largo plazo y la derivada espacial para la no localidad de difusión. La ecuación que rige la difusión fraccional tiempo-espacio se puede escribir como

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Una extensión simple de la derivada fraccionaria es la derivada fraccionaria de orden variable, α y β se cambian en α ( x , t ) y β ( x , t ) . Sus aplicaciones en el modelado de difusión anómala se pueden encontrar en la referencia. ^{[42] [45] [46]}

Modelos de amortiguación estructural

Los derivados fraccionarios se utilizan para modelar la amortiguación viscoelástica en ciertos tipos de materiales como los polímeros. ^[11]

Controladores PID

Generalizar los controladores PID para que utilicen órdenes fraccionarias puede aumentar su grado de libertad. La nueva ecuación que relaciona la variable de control u ( t ) en términos de un valor de error medido e ( t ) se puede escribir como

$${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

donde α y β son órdenes fraccionarios positivos y K _p , K _i y K _d , todos no negativos, denotan los coeficientes de los términos proporcional , integral y derivada , respectivamente (a veces denominados P , I y D ). ^[47]

Ecuaciones de ondas acústicas para medios complejos.

La propagación de ondas acústicas en medios complejos, como en tejidos biológicos, comúnmente implica una atenuación que obedece a una ley de potencia de frecuencia. Este tipo de fenómeno puede describirse utilizando una ecuación de onda causal que incorpora derivadas fraccionarias del tiempo:

$${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Véase también Holm & Näsholm (2011) ^[48] y las referencias allí contenidas. Estos modelos están vinculados a la hipótesis comúnmente aceptada de que múltiples fenómenos de relajación dan lugar a la atenuación medida en medios complejos. Este vínculo se describe con más detalle en Näsholm & Holm (2011b) ^[49] y en el artículo de la encuesta, ^[50], así como en el artículo sobre atenuación acústica . Véase Holm & Nasholm (2013) ^[51] para un artículo que compara ecuaciones de ondas fraccionarias que modelan la atenuación de la ley de potencia. Este libro sobre atenuación según la ley de potencia también cubre el tema con más detalle. ^[52]

Pandey y Holm dieron un significado físico a las ecuaciones diferenciales fraccionarias derivándolas de principios físicos e interpretando el orden fraccionario en términos de los parámetros de los medios acústicos, por ejemplo en sedimentos marinos granulares no consolidados saturados de fluidos. ^[53] Curiosamente, Pandey y Holm derivaron la ley de Lomnitz en sismología y la ley de Nutting en reología no newtoniana utilizando el marco del cálculo fraccionario. ^[54] La ley de Nutting se utilizó para modelar la propagación de ondas en sedimentos marinos utilizando derivadas fraccionarias. ^[53]

Ecuación fraccionaria de Schrödinger en teoría cuántica

La ecuación fraccionaria de Schrödinger, una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccionaria, tiene la siguiente forma: ^{[55] [56]}

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

donde la solución de la ecuación es la función de onda ψ ( r , t ) , la amplitud de probabilidad de la mecánica cuántica de que la partícula tenga un vector de posición r determinado en un momento dado t , y ħ es la constante de Planck reducida . La función de energía potencial V ( r , t ) depende del sistema.

Además, es el operador de Laplace , y D _α es una constante de escala con dimensión física [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , ( en α = 2 , para una partícula de masa m ), y el operador (− ħ ² Δ) ^{α /2} es la derivada de Riesz cuántica fraccionaria tridimensional definida por ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$

$${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

El índice α en la ecuación fraccionaria de Schrödinger es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2 .

Ecuación de Schrödinger fraccional de orden variable

Como generalización natural de la ecuación de Schrödinger fraccionaria, la ecuación de Schrödinger fraccionaria de orden variable se ha aprovechado para estudiar fenómenos cuánticos fraccionarios: ^[57]

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$

donde es el operador de Laplace y el operador (− ħ ² Δ) ^{β ( t )/2} es la derivada de Riesz cuántica fraccionaria de orden variable. ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$

Ver también

• atenuación acústica
• Media móvil autorregresiva fraccionariamente integrada
• Cálculo fraccionario inicializado
• Operador no local

Otras teorías fraccionarias

• Sistema de orden fraccionario
• Transformada fraccionaria de Fourier
• Cálculo fraccional de Prabhakar

Notas

1. El símbolo se usa comúnmente en lugar del intuitivo para evitar confusión con otros conceptos identificados por glifos similares , como identidades . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Referencias

1. Daniel Zwillinger (12 de mayo de 2014). Manual de ecuaciones diferenciales. Ciencia Elsevier. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Katugampola, Udita N. (15 de octubre de 2014). "Un nuevo enfoque para las derivadas fraccionarias generalizadas" (PDF) . Boletín de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 6 (4): 1–15. arXiv : 1106.0965 .
3. Niels Henrik Abel (1823). "Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solución de un par de problemas mediante integrales definidas)" (PDF) . Revista para Naturvidenskaberne . Kristiania (Oslo): 55–68.
4. Podlubny, Igor; Magin, Richard L.; Trymorush, Irina (2017). "Niels Henrik Abel y el nacimiento del cálculo fraccionario". Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 20 (5): 1068-1075. arXiv : 1802.05441 . doi :10.1515/fca-2017-0057. S2CID  119664694.
5. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genere de calcul pour résoudre ces questions", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 1–69.
6. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 71–162.
7. Para conocer la historia del tema, consulte la tesis (en francés): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques ( histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de derivation ), Thèse, Université Paris Nord (1994)
8. Para una reseña histórica del tema hasta principios del siglo XX, ver: Bertram Ross (1977). "El desarrollo del cálculo fraccionario 1695-1900". Historia Matemática . 4 : 75–89. doi :10.1016/0315-0860(77)90039-8. S2CID  122146887.
9. Valerio, Duarte; Machado, José; Kiryakova, Virginia (1 de enero de 2014). "Algunos pioneros de las aplicaciones del cálculo fraccionario". Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 17 (2): 552–578. doi :10.2478/s13540-014-0185-1. hdl : 10400.22/5491 . ISSN  1314-2224. S2CID  121482200.
10. Hermann, Richard (2014). Cálculo fraccional: una introducción para físicos (2ª ed.). Nueva Jersey: World Scientific Publishing. pag. 46. ​​Código Bib : 2014fcip.book..... H. doi :10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6.
11. Mainardi, Francesco (mayo de 2010). Cálculo fraccional y ondas en viscoelasticidad lineal . Prensa del Colegio Imperial . doi :10.1142/p614. ISBN 978-1-84816-329-4. S2CID  118719247.
12. Hadamard, J. (1892). "Ensayo sobre el estudio de las funciones realizadas por el desarrollo de Taylor" (PDF) . Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 4 (8): 101–186.
13. Kilbas, A. Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Teoría y aplicaciones de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Elsevier. pag. 75 (Propiedad 2.4). ISBN 978-0-444-51832-3.
14. Mostafanejad, Mohammad (2021). "Paradigmas fraccionales en química cuántica". Revista Internacional de Química Cuántica . 121 (20). doi : 10.1002/qua.26762 .
15. Al-Raeei, Marwan (2021). "Aplicación de la mecánica cuántica fraccionada a sistemas con efectos de apantallamiento eléctrico". Caos, solitones y fractales . 150 (septiembre): 111209. Bibcode : 2021CSF...15011209A. doi : 10.1016/j.caos.2021.111209.
16. Herrmann, Richard, ed. (2014). Cálculo fraccional (2ª ed.). Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. p. 54 ^{[ verificación necesaria ]} . Código Bib : 2014fcip.book.....H. doi :10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
17. Caputo, Michele (1967). "Modelo lineal de disipación cuyo Q es casi independiente de la frecuencia. II". Revista Geofísica Internacional . 13 (5): 529–539. Código bibliográfico : 1967GeoJ...13..529C. doi : 10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x ..
18. Caputo, Michele; Fabricio, Mauro (2015). "Una nueva definición de derivada fraccionaria sin núcleo singular". Avances en Diferenciación Fraccionada y Aplicaciones . 1 (2): 73–85 . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
19. Algahtani, Obaid Jefain Julaighim (1 de agosto de 2016). "Comparación de la derivada de Atangana-Baleanu y Caputo-Fabrizio con orden fraccionario: modelo de Allen Cahn". Caos, solitones y fractales . Dinámica no lineal y complejidad. 89 : 552–559. Código Bib : 2016CSF....89..552A. doi :10.1016/j.caos.2016.03.026. ISSN  0960-0779.
20. Atangana, Abdón; Baleanu, Dumitru (2016). "Nuevas derivadas fraccionarias con núcleo no local y no singular: teoría y aplicación al modelo de transferencia de calor". Ciencia Térmica . 20 (2): 763–769. arXiv : 1602.03408 . doi : 10.2298/TSCI160111018A . ISSN  0354-9836.
21. Chen, YangQuan; Li, Changpin; Ding, Hengfei (22 de mayo de 2014). "Algoritmos de alto orden para el derivado de Riesz y sus aplicaciones". Análisis abstracto y aplicado . 2014 : 1-17. doi : 10.1155/2014/653797 .
22. Bayın, Selçuk Ş. (5 de diciembre de 2016). "Definición de la derivada de Riesz y su aplicación a la mecánica cuántica fraccionaria espacial". Revista de Física Matemática . 57 (12): 123501. arXiv : 1612.03046 . Código Bib : 2016JMP....57l3501B. doi : 10.1063/1.4968819. S2CID  119099201.
23. de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António (10 de junio de 2014). "Una revisión de las definiciones de derivadas fraccionarias e integrales". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2014 : 1–6. doi : 10.1155/2014/238459 . hdl : 10400.22/5497 .
24. Aslan, İsmail (15 de enero de 2015). "Una aproximación analítica a una clase de ecuaciones en diferencias diferenciales fraccionarias de tipo racional mediante cálculo simbólico". Métodos Matemáticos en las Ciencias Aplicadas . 38 (1): 27–36. Código Bib : 2015MMAS...38...27A. doi :10.1002/mma.3047. hdl : 11147/5562 . S2CID  120881978.
25. Mamá, Li; Li, Changpin (11 de mayo de 2017). "Sobre el cálculo fraccionario de Hadamard". Fractales . 25 (3): 1750033–2980. Código Bib : 2017Fract..2550033M. doi :10.1142/S0218348X17500335. ISSN  0218-348X.
26. Molinero, Kenneth S. (1975). "El cálculo fraccional de Weyl". En Ross, Bertram (ed.). Cálculo fraccionario y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 457. Saltador. págs. 80–89. doi :10.1007/bfb0067098. ISBN 978-3-540-69975-0. {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
27. Ferrari, Fausto (enero de 2018). "Derivados de Weyl y Marchaud: una historia olvidada". Matemáticas . 6 (1): 6. arXiv : 1711.08070 . doi : 10.3390/math6010006 .
28. Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). Cálculo fractal y sus aplicaciones. Singapur: World Scientific Pub Co Inc. p. 328. doi : 10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7. S2CID  248575991.
29. Anderson, Douglas R.; Ulness, Darin J. (1 de junio de 2015). "Propiedades de la derivada fraccionaria de Katugampola con potencial aplicación en mecánica cuántica". Revista de Física Matemática . 56 (6): 063502. Código bibliográfico : 2015JMP....56f3502A. doi : 10.1063/1.4922018. ISSN  0022-2488.
30. Caputo, Michele; Fabricio, Mauro (1 de enero de 2016). "Aplicaciones de nuevas derivadas fraccionarias espaciales y temporales con núcleos exponenciales". Avances en Diferenciación Fraccionada y Aplicaciones . 2 (1): 1–11. doi :10.18576/pfda/020101. ISSN  2356-9336.
31. "Cálculo fraccional". MathPages.com .
32. Erdélyi, Arthur (1950-1951). "Sobre algunas transformaciones funcionales". Rediconti del Seminario Matemático dell'Università e del Politecnico di Torino . 10 : 217–234. SEÑOR  0047818.
33. Kober, Hermann (1940). "Sobre integrales fraccionarias y derivadas". La Revista Trimestral de Matemáticas . os-11 (1): 193–211. Código Bib : 1940QJMat..11..193K. doi :10.1093/qmath/os-11.1.193.
34. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M. (octubre de 2008). "Conservación fraccionada de masa" (PDF) . Avances en Recursos Hídricos . 31 (10): 1377-1381. Código Bib : 2008AdWR...31.1377W. doi :10.1016/j.advwatres.2008.07.004. ISSN  0309-1708.
35. Oldham, KB Analytical Chemistry 44 (1) 1972 196-198.
36. Pospíšil, L. et al. Electroquímica Acta 300 2019 284-289.
37. Atangana, Abdón; Bildik, Necdet (2013). "El uso de la derivada de orden fraccionario para predecir el flujo de agua subterránea". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2013 : 1–9. doi : 10.1155/2013/543026 .
38. Atangana, Abdón; Vermeulen, PD (2014). "Soluciones analíticas de una derivada fraccionaria espacio-tiempo de la ecuación del flujo de agua subterránea". Análisis abstracto y aplicado . 2014 : 1–11. doi : 10.1155/2014/381753 .
39. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "Aplicación de una ecuación fraccionaria de advección-dispersión". Investigación de recursos hídricos . 36 (6): 1403-1412. Código Bib : 2000WRR....36.1403B. CiteSeerX 10.1.1.1.4838 . doi :10.1029/2000wr900031. S2CID  7669161. 
40. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "La ecuación que rige el orden fraccionario del movimiento de Lévy". Investigación de recursos hídricos . 36 (6): 1413-1423. Código Bib : 2000WRR....36.1413B. doi : 10.1029/2000wr900032 . S2CID  16579630.
41. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M.; Schumer, Rina; Benson, David A. (1 de enero de 2001). "Dispersión fraccional, movimiento de Lévy y pruebas de trazador MADE". Transporte en Medios Porosos . 42 (1–2): 211–240. CiteSeerX 10.1.1.58.2062 . doi :10.1023/A:1006733002131. ISSN  1573-1634. S2CID  189899853. 
42. Atangana, Abdón; Kilicman, Adem (2014). "Sobre la ecuación de transporte de masa generalizada al concepto de derivada fraccionaria variable". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2014 : 9.doi : 10.1155 /2014/542809 .
43. Metzler, R.; Klafter, J. (2000). "La guía del paseo aleatorio para la difusión anómala: un enfoque de dinámica fraccionaria". Física. Representante . 339 (1): 1–77. Código Bib : 2000PhR...339....1M. doi :10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
44. Mainardi, F.; Luchko, Y .; Pagnini, G. (2001). "La solución fundamental de la ecuación de difusión fraccionaria espacio-tiempo". Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 4 (2): 153–192. arXiv : cond-mat/0702419 . Código Bib : 2007cond.mat..2419M.
45. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco (2007). "Procesos de difusión fraccionada: distribuciones de probabilidad y paseo aleatorio en tiempo continuo". En Rangarajan, G.; Ding, M. (eds.). Procesos con correlaciones de largo alcance . Apuntes de conferencias de física. vol. 621, págs. 148-166. arXiv : 0709.3990 . Código Bib : 2003LNP...621..148G. doi :10.1007/3-540-44832-2_8. ISBN 978-3-540-40129-2. S2CID  14946568.
46. Colbrook, Mateo J.; Mamá, Xiangcheng; Hopkins, Philip F.; Escudero, Jonathan (2017). "Leyes de escala de difusión escalar pasiva en el medio interestelar". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 467 (2): 2421–2429. arXiv : 1610.06590 . Código bibliográfico : 2017MNRAS.467.2421C. doi :10.1093/mnras/stx261. S2CID  20203131.
47. Tenreiro Machado, JA; Silva, Manuel F.; Barbosa, Ramiro S.; Jesús, Isabel S.; Reis, Cecília M.; Marcos, María G.; Galhano, Alexandra F. (2010). "Algunas aplicaciones del cálculo fraccionario en ingeniería". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2010 : 1–34. doi : 10.1155/2010/639801 . hdl : 10400.22/13143 .
48. Holm, S.; Näsholm, SP (2011). "Una ecuación de onda causal y fraccionada de todas las frecuencias para medios con pérdida". Revista de la Sociedad de Acústica de América . 130 (4): 2195–2201. Código Bib : 2011ASAJ..130.2195H. doi : 10.1121/1.3631626. hdl : 10852/103311 . PMID  21973374. S2CID  7804006.
49. Näsholm, SP; Holm, S. (2011). "Vinculación de múltiples ecuaciones de relajación, atenuación de ley de potencia y ondas fraccionarias". Revista de la Sociedad de Acústica de América . 130 (5): 3038–3045. Código Bib : 2011ASAJ..130.3038N. doi : 10.1121/1.3641457. hdl : 10852/103312 . PMID  22087931. S2CID  10376751.
50. Näsholm, SP; Holm, S. (2012). "Sobre una ecuación de onda elástica Zener fraccionaria". Fracta. Calc. Aplica. Anal . 16 : 26–50. arXiv : 1212.4024 . doi :10.2478/s13540-013-0003-1. S2CID  120348311.
51. Holm, S.; Näsholm, SP (2013). "Comparación de ecuaciones de onda fraccionaria para atenuación de la ley de potencia en ultrasonido y elastografía". Ultrasonido en Medicina y Biología . 40 (4): 695–703. arXiv : 1306.6507 . CiteSeerX 10.1.1.765.120 . doi :10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID  24433745. S2CID  11983716. 
52. Holm, S. (2019). Ondas con atenuación según la ley de potencia. Prensa de Springer y Acoustical Society of America. doi :10.1007/978-3-030-14927-7. ISBN 978-3-030-14926-0. S2CID  145880744.
53. Pandey, Vikash; Holm, Sverre (1 de diciembre de 2016). "Conectar el mecanismo de corte de granos de la propagación de ondas en sedimentos marinos con ecuaciones de ondas de orden fraccionario". La Revista de la Sociedad de Acústica de América . 140 (6): 4225–4236. arXiv : 1612.05557 . Código Bib : 2016ASAJ..140.4225P. doi : 10.1121/1.4971289. ISSN  0001-4966. PMID  28039990. S2CID  29552742.
54. Pandey, Vikash; Holm, Sverre (23 de septiembre de 2016). "Vinculación de la derivada fraccionaria y la ley de fluencia de Lomnitz con la viscosidad no newtoniana variable en el tiempo". Revisión física E. 94 (3): 032606. Código bibliográfico : 2016PhRvE..94c2606P. doi : 10.1103/PhysRevE.94.032606 . hdl : 10852/53091 . PMID  27739858.
55. Laskin, N. (2002). "Ecuación de Schrodinger fraccional". Física. Rev. E. 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Código bibliográfico : 2002PhRvE..66e6108L. CiteSeerX 10.1.1.252.6732 . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956. 
56. Laskin, Nick (2018). Mecánica Cuántica Fraccional . CiteSeerX 10.1.1.247.5449 . doi :10.1142/10541. ISBN  978-981-322-379-0.
57. Bhrawy, AH; Zaky, MA (2017). "Un método de colocación mejorado para ecuaciones fraccionarias de Schrödinger de orden variable espacio-tiempo multidimensionales". Matemática Numérica Aplicada . 111 : 197–218. doi :10.1016/j.apnum.2016.09.009.

Otras lecturas

Artículos sobre la historia del cálculo fraccionario.

• Ross, B. (1975). "Una breve historia y exposición de la teoría fundamental del cálculo fraccionario". Cálculo fraccionario y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 457, págs. 1–36. doi :10.1007/BFb0067096. ISBN 978-3-540-07161-7. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Debnath, L. (2004). "Una breve introducción histórica al cálculo fraccionario". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 35 (4): 487–501. doi : 10.1080/00207390410001686571. S2CID  122198977.
• Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, V .; Mainardi, F. (2011). "Historia reciente del cálculo fraccionario". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 16 (3): 1140-1153. Código Bib : 2011CNSNS..16.1140M. doi : 10.1016/j.cnsns.2010.05.027. hdl : 10400.22/4149 .
• Tenreiro Machado, JA; Galhano, AM; Trujillo, JJ (2013). "Métricas científicas sobre el desarrollo del cálculo fraccionario desde 1966". Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 16 (2): 479–500. doi :10.2478/s13540-013-0030-y. hdl : 10400.22/3773 . S2CID  122487513.
• Tenreiro Machado, JA; Galhano, AMSF; Trujillo, JJ (2014). "Sobre el desarrollo del cálculo fraccionario durante los últimos cincuenta años". Cienciometría . 98 (1): 577–582. doi :10.1007/s11192-013-1032-6. hdl : 10400.22/3769 . S2CID  16879651.
• Ramírez, LES; Coímbra, CFM (2010). "Sobre la selección y significado de operadores de orden variable para modelado dinámico". Revista Internacional de Ecuaciones Diferenciales . 2010 (1): 846107. doi : 10.1155/2010/846107 . hdl : 10.1155/6314 . S2CID  16501850.

Libros

• Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). El Cálculo Fraccional; Teoría y Aplicaciones de la Diferenciación e Integración al Orden Arbitrario . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. vol. V. Prensa Académica. ISBN 978-0-12-525550-9.
• Molinero, Kenneth S.; Ross, Bertram, eds. (1993). Introducción al cálculo fraccionario y a las ecuaciones diferenciales fraccionarias . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-58884-9.
• Samko, S.; Kilbas, AA; Marichev, O. (1993). Integrales fraccionarias y derivadas: teoría y aplicaciones . Libros de Taylor y Francis. ISBN 978-2-88124-864-1.
• Carpintero, A.; Mainardi, F., eds. (1998). Fractales y cálculo fraccional en mecánica continua . Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4.
• Igor Podlubny (27 de octubre de 1998). Ecuaciones diferenciales fraccionarias: introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionarias, métodos para su solución y algunas de sus aplicaciones. Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4.
• Oeste, Bruce J.; Bolonia, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Física de operadores fractales . vol. 56. Springer Verlag. pag. 65. Código Bib : 2003PhT....56l..65W. doi :10.1063/1.1650234. ISBN 978-0-387-95554-4. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Mainardi, F. (2010). Cálculo fraccional y ondas en viscoelasticidad lineal: una introducción a los modelos matemáticos. Prensa del Imperial College. doi :10.1142/p614. ISBN 978-1-84816-329-4.
• Tarasov, VE (2010). Dinámica fraccionaria: aplicaciones del cálculo fraccional a la dinámica de partículas, campos y medios. Ciencia física no lineal. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-14003-7. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Zhou, Y. (2010). Teoría básica de ecuaciones diferenciales fraccionarias . Singapur: World Scientific. doi :10.1142/9069. ISBN 978-981-4579-89-6.
• Uchaikin, VV (2012). Derivadas fraccionarias para físicos e ingenieros. Ciencia física no lineal. Prensa de Educación Superior. Código Bib : 2013fdpe.book.....U. doi :10.1007/978-3-642-33911-0. ISBN 978-3-642-33911-0.
• Daftardar-gejji, Varsha (2013). Cálculo fraccionario: teoría y aplicaciones . Editorial Narosa. ISBN 978-8184873337.
• Srivastava, Hari M (2014). Funciones especiales en cálculo fraccionario y ecuaciones diferenciales fraccionarias relacionadas . Singapur: World Scientific. doi :10.1142/8936. ISBN 978-981-4551-10-6.
• Li, CP; Zeng, FH (2015). Métodos numéricos para cálculo fraccionario. Estados Unidos: Prensa CRC.
• Umarov, S. (2015). Introducción a las ecuaciones fraccionarias y pseudodiferenciales con símbolos singulares. Avances en Matemáticas. vol. 41. Suiza: Springer. doi :10.1007/978-3-319-20771-1. ISBN 978-3-319-20770-4.
• Herrmann, R. (2018). Cálculo fraccional: una introducción para físicos (3ª ed.). Singapur: World Scientific. doi :10.1142/11107. ISBN 978-981-3274-57-0. S2CID  242068092.

enlaces externos

• De MathWorld :
  • Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial fraccionaria". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Cálculo fraccional". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Derivada fraccionaria". MundoMatemático .
• "Cálculo fraccionario". MathPages.com .
• Revistas especializadas
  • Cálculo fraccionario y análisis aplicado 1998-2014
  • Cálculo fraccionario y análisis aplicado ISSN  1314-2224 2015—
  • Cálculo diferencial fraccional (FDC) ISSN  1847-9677 2011–
  • Comunicaciones en Cálculo Fraccional ISSN  2218-3892
  • Revista de aplicaciones y cálculo fraccional (JFCA) ISSN  2090-5858 2011—
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Cálculo fraccional inicializado". Resúmenes técnicos . Centro de Investigación John H. Glenn de la NASA.
• Podlubny, Igor (2010). "Cálculo fraccionario: Recursos".
• Herrmann, Richard (2018). "Gigaedro".colección de libros, artículos, preimpresiones, etc.
• Dugowson, Stéphane (2006). "Les Différentielles métaphysiques" (en francés).
• Loverro, Adán (2005). «Historia, Definiciones y Aplicaciones para el Ingeniero» (PDF) . Universidad de Notre Dame . Archivado desde el original (PDF) el 29 de octubre de 2005.
• Modelado de cálculo fraccionario
• Notas introductorias sobre el cálculo fraccionario
• Ley de potencia y dinámica fraccionaria
• CRONE Toolbox, una caja de herramientas de Matlab y Simulink dedicada al cálculo fraccionario, que se puede descargar gratuitamente
• Závada, Petr (1998). "Operador de Derivada Fraccionaria en el Plano Complejo". Comunicaciones en Física Matemática . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an/9608002 . Código Bib : 1998CMaPh.192..261Z. doi :10.1007/s002200050299. S2CID  1201395.
• Závada, Petr (2002). "Ecuaciones de onda relativistas con derivadas fraccionarias y operadores pseudodiferenciales". Revista de Matemáticas Aplicadas . 2 (4): 163–197. arXiv : hep-th/0003126 . doi : 10.1155/S1110757X02110102 . S2CID  6647936.