En geometría , la densidad de un poliedro estrellado es una generalización del concepto de número de vueltas de dos dimensiones a dimensiones superiores, que representa el número de vueltas del poliedro alrededor del centro de simetría del poliedro. Se puede determinar haciendo pasar un rayo desde el centro hasta el infinito, pasando solo por las facetas del politopo y no por ninguna característica de dimensión inferior, y contando cuántas facetas atraviesa. Para los poliedros para los que este recuento no depende de la elección del rayo, y para los que el punto central no está en ninguna faceta, la densidad viene dada por este recuento de facetas cruzadas.
El mismo cálculo se puede realizar para cualquier poliedro convexo , incluso uno sin simetrías, eligiendo cualquier punto interior al poliedro como su centro. Para estos poliedros, la densidad será 1. De manera más general, para cualquier poliedro no autointersecante (acóptico), la densidad se puede calcular como 1 mediante un cálculo similar que elige un rayo desde un punto interior que solo pasa por facetas del poliedro, suma uno cuando este rayo pasa del interior al exterior del poliedro y resta uno cuando este rayo pasa del exterior al interior del poliedro. Sin embargo, esta asignación de signos a los cruces no se aplica generalmente a los poliedros estrellados, ya que no tienen un interior y un exterior bien definidos.
Las teselaciones con caras superpuestas pueden definir de manera similar la densidad como el número de recubrimientos de caras sobre un punto determinado. [1]
La densidad de un polígono es el número de veces que el límite poligonal gira alrededor de su centro. Para polígonos convexos y, en general, polígonos simples (que no se intersecan entre sí), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan .
La densidad de un polígono también se puede denominar número de giro , es decir, la suma de los ángulos de giro de todos los vértices dividida por 360°. Este será un número entero para todos los caminos unicursales en un plano.
La densidad de un polígono compuesto es la suma de las densidades de los polígonos componentes.
Para un polígono estrellado regular { p / q }, la densidad es q . Se puede determinar visualmente contando el número mínimo de cruces de aristas de un rayo desde el centro hasta el infinito.
Un poliedro y su dual tienen la misma densidad.
Un poliedro puede considerarse una superficie con curvatura gaussiana concentrada en los vértices y definida por un defecto angular . La densidad de un poliedro es igual a la curvatura total (sumada sobre todos sus vértices) dividida por 4π. [2]
Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices, cada uno con 3 cuadrados , lo que deja un defecto angular de π/2. 8×π/2=4π. Por lo tanto, la densidad del cubo es 1.
La densidad de un poliedro con caras simples y figuras de vértices es la mitad de la característica de Euler , χ. Si su género es g , su densidad es 1- g .
Arthur Cayley utilizó la densidad como una forma de modificar la fórmula del poliedro de Euler ( V − E + F = 2) para que funcionara para los poliedros estrellados regulares , donde d v es la densidad de una figura de vértice , d f de una cara y D del poliedro en su conjunto:
Por ejemplo, el gran icosaedro , {3, 5/2}, tiene 20 caras triangulares ( d f = 1), 30 aristas y 12 figuras de vértices pentagrámicas ( d v = 2), dando
Esto implica una densidad de 7. La fórmula del poliedro de Euler sin modificar falla para el pequeño dodecaedro estrellado {5/2, 5} y su gran dodecaedro dual {5, 5/2}, para los cuales V − E + F = −6.
Los poliedros estrellados regulares existen en dos pares duales, y cada figura tiene la misma densidad que su dual: un par (pequeño dodecaedro estrellado - gran dodecaedro) tiene una densidad de 3, mientras que el otro ( gran dodecaedro estrellado - gran icosaedro) tiene una densidad de 7.
Edmund Hess generalizó la fórmula para poliedros estrellados con diferentes tipos de caras, algunas de las cuales pueden plegarse hacia atrás sobre otras. El valor resultante para la densidad corresponde al número de veces que el poliedro esférico asociado cubre la esfera.
Esto permitió a Coxeter et al. determinar las densidades de la mayoría de los poliedros uniformes , que tienen un tipo de vértice y múltiples tipos de caras. [4]
En el caso de los hemipoliedros , algunas de cuyas caras pasan por el centro, no se puede definir la densidad. Los poliedros no orientables tampoco tienen densidades bien definidas.
Hay 10 4-politopos estelares regulares (llamados 4-politopos de Schläfli–Hess ), que tienen densidades entre 4, 6, 20, 66, 76 y 191. Vienen en pares duales, con la excepción de las figuras autoduales de densidad 6 y densidad 66.
