Producto (matemáticas)

Forma matemática

En matemáticas , un producto es el resultado de una multiplicación o una expresión que identifica objetos (números o variables ) que se van a multiplicar, llamados factores . Por ejemplo, 21 es el producto de 3 y 7 (resultado de la multiplicación), y es el producto de y (lo que indica que los dos factores deben multiplicarse entre sí). Cuando un factor es un número entero , el producto se denomina múltiplo . ${\displaystyle x\cdot (2+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (2+x)}$

El orden en que se multiplican los números reales o complejos no tiene relación con el producto; esto se conoce como la ley conmutativa de la multiplicación. Cuando se multiplican matrices o miembros de otras álgebras asociativas , el producto suele depender del orden de los factores. La multiplicación de matrices , por ejemplo, no es conmutativa, y lo mismo ocurre con la multiplicación en otras álgebras en general.

Hay muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar simplemente números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos sobre muchas estructuras algebraicas diferentes .

Producto de dos números

En su origen, un producto era y es todavía el resultado de la multiplicación de dos o más números . Por ejemplo, 15 es el producto de 3 por 5. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número compuesto es un producto de números primos , es decir, único hasta el orden de los factores.

Con la introducción de la notación matemática y las variables a finales del siglo XV, se hizo común considerar la multiplicación de números que no están especificados ( coeficientes y parámetros ) o que se deben encontrar ( incógnitas ). Estas multiplicaciones que no se pueden realizar de manera efectiva se denominan productos . Por ejemplo, en la ecuación lineal, el término denota el producto del coeficiente por la incógnita. ${\displaystyle ax+b=0,}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x.}$

Más tarde, y sobre todo a partir del siglo XIX, se introdujeron nuevas operaciones binarias que no implican números y que se denominaron productos ; por ejemplo, el producto escalar . La mayor parte de este artículo está dedicada a estos productos no numéricos.

Producto de una secuencia

El operador de producto para el producto de una secuencia se denota con la letra griega mayúscula pi Π (en analogía con el uso de la letra Sigma mayúscula Σ como símbolo de suma ). ^[1] Por ejemplo, la expresión es otra forma de escribir ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$ ${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

El producto de una secuencia que consta de un solo número es ese mismo número; el producto de ningún factor se conoce como producto vacío y es igual a 1.

Anillos conmutativos

Los anillos conmutativos tienen una operación producto.

Clases de residuos de números enteros

Se pueden agregar clases de residuos en los anillos : ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

y multiplicado:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Circunvolución

La convolución de la onda cuadrada consigo misma da la función triangular

Dos funciones de los reales a sí mismos se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución .

Si

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

entonces la integral

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

Está bien definida y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier , la convolución se convierte en una multiplicación de funciones punto por punto.

Anillos polinomiales

El producto de dos polinomios viene dado por la siguiente:

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

con

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Productos en álgebra lineal

Existen muchos tipos diferentes de productos en álgebra lineal. Algunos de ellos tienen nombres confusamente similares ( producto externo , producto exterior ) con significados muy diferentes, mientras que otros tienen nombres muy diferentes (producto externo, producto tensorial, producto de Kronecker) y, sin embargo, transmiten esencialmente la misma idea. En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción general de estos.

Multiplicación escalar

Por la propia definición de un espacio vectorial, se puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando una función . ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

Producto escalar

Un producto escalar es un mapa bilineal:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

con las siguientes condiciones, que para todos . ${\displaystyle v\cdot v>0}$ ${\displaystyle 0\not =v\in V}$

A partir del producto escalar, se puede definir una norma dejando . ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

En el espacio euclidiano -dimensional, el producto escalar estándar (llamado producto escalar ) viene dado por: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Producto vectorial en el espacio tridimensional

El producto vectorial de dos vectores en tres dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo abarcado por los dos factores.

El producto vectorial también se puede expresar como el determinante formal ^[a] :

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Composición de aplicaciones lineales

Una aplicación lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con un campo subyacente F , que satisface ^[3]

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Si sólo se consideran espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

en donde b _V y b _W denotan las bases de V y W , y v _i denota el componente de v en b _V ⁱ , y se aplica la convención de suma de Einstein .

Ahora consideremos la composición de dos aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Sea la aplicación lineal f la que asigna V a W y la aplicación lineal g la que asigna W a U. Entonces se puede obtener

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

O en forma matricial:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

en el que el elemento de fila i, columna j de F , denotado por F ij _, es f ^j _i , y G _ij =g ^j _i .

La composición de más de dos aplicaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Producto de dos matrices

Dadas dos matrices

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$y ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

Su producto viene dado por

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

Composición de funciones lineales como producto matricial

Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Sean una base de U, una base de V y una base de W. En términos de esta base, sean la matriz que representa f : U → V y la matriz que representa g : V → W. Entonces ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$ ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ ${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

es la matriz que representa . ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

En otras palabras: el producto matricial es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W , el producto tensorial de ellos se puede definir como un tensor (2,0) que satisface:

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

donde V ^* y W ^* denotan los espacios duales de V y W. ^[4 ]

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene:

• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensorial topológico .

El producto tensorial, el producto externo y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre ellos son que el producto de Kronecker es simplemente un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial suele darse en su definición intrínseca . El producto externo es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

La clase de todos los objetos con un producto tensorial

En general, siempre que se tengan dos objetos matemáticos que se puedan combinar de una manera que se comporte como un producto tensorial de álgebra lineal, entonces esto puede entenderse de manera más general como el producto interno de una categoría monoidal . Es decir, la categoría monoidal captura precisamente el significado de un producto tensorial; captura exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan de la manera en que lo hacen. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo dado ) que tienen un producto tensorial.

Otros productos en álgebra lineal

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

• Producto Hadamard
• Producto Kronecker
• El producto de tensores :
  • Producto en cuña o producto exterior
  • Producto interior
  • Producto exterior
  • Producto tensorial

Producto cartesiano

En teoría de conjuntos , un producto cartesiano es una operación matemática que devuelve un conjunto (o un conjunto producto ) a partir de varios conjuntos. Es decir, para los conjuntos A y B , el producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) , donde a ∈ A y b ∈ B. ^[5]

La clase de todas las cosas (de un tipo determinado ) que tienen productos cartesianos se denomina categoría cartesiana . Muchas de ellas son categorías cartesianas cerradas . Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.

Producto vacío

El producto vacío de números y la mayoría de las estructuras algebraicas tiene el valor 1 (el elemento identidad de la multiplicación), al igual que la suma vacía tiene el valor 0 (el elemento identidad de la adición). Sin embargo, el concepto de producto vacío es más general y requiere un tratamiento especial en lógica , teoría de conjuntos , programación informática y teoría de categorías .

Productos sobre otras estructuras algebraicas

Los productos sobre otros tipos de estructuras algebraicas incluyen:

• el producto cartesiano de conjuntos
• el producto directo de grupos , y también el producto semidirecto , el producto de punto y el producto de corona
• El producto libre de los grupos
• el producto de anillos
• El producto de los ideales
• el producto de espacios topológicos ^[1]
• El producto Wick de variables aleatorias
• El producto de tapa , taza , Massey y pendiente en topología algebraica
• El producto de choque y la suma de cuñas (a veces llamado producto de cuña) en homotopía

Algunos de los productos anteriores son ejemplos de la noción general de un producto interno en una categoría monoidal ; el resto se pueden describir mediante la noción general de un producto en la teoría de categorías .

Productos en la teoría de categorías

Todos los ejemplos anteriores son casos especiales o ejemplos de la noción general de producto. Para el tratamiento general del concepto de producto, véase producto (teoría de categorías) , que describe cómo combinar dos objetos de algún tipo para crear un objeto, posiblemente de un tipo diferente. Pero además, en la teoría de categorías, se tiene:

• el producto de fibra o pullback,
• la categoría de producto , una categoría que es el producto de categorías.
• el ultraproducto , en la teoría de modelos .
• el producto interno de una categoría monoidal , que captura la esencia de un producto tensorial.

Otros productos

• Integral del producto de una función (como equivalente continuo del producto de una secuencia o como la versión multiplicativa de la integral normal/estándar/aditiva). La integral del producto también se conoce como "producto continuo" o "multiplical".
• Multiplicación compleja , una teoría de curvas elípticas.

Véase también

• Producto tensorial de Deligne de categorías abelianas  – Matemático belgaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Producto indefinido
• Producto infinito
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Multiplicación  – Operación aritmética

Notas

1. Aquí, "formal" significa que esta notación tiene la forma de un determinante, pero no se adhiere estrictamente a la definición; es una mnemotecnia utilizada para recordar la expansión del producto vectorial.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Producto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
2. "Notación de suma y producto". math.illinoisstate.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
3. Clarke, Francis (2013). Análisis funcional, cálculo de variaciones y control óptimo . Dordrecht: Springer. pp. 9-10. ISBN 978-1447148203.
4. Boothby, William M. (1986). Introducción a las variedades diferenciables y a la geometría de Riemann (2.ª ed.). Orlando: Academic Press. pág. 200. ISBN 0080874398.
5. Moschovakis, Yiannis (2006). Notas sobre la teoría de conjuntos (2.ª ed.). Nueva York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

Bibliografía

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .