El nivel de Fermi de un cuerpo de estado sólido es el trabajo termodinámico necesario para añadir un electrón al cuerpo. Es una cantidad termodinámica que suele denotarse con μ o E F [1] para abreviar. El nivel de Fermi no incluye el trabajo necesario para retirar el electrón de donde sea que provenga. Una comprensión precisa del nivel de Fermi (cómo se relaciona con la estructura de bandas electrónicas para determinar las propiedades electrónicas; cómo se relaciona con el voltaje y el flujo de carga en un circuito electrónico) es esencial para comprender la física del estado sólido.
En la teoría de la estructura de bandas , utilizada en la física del estado sólido para analizar los niveles de energía en un sólido, el nivel de Fermi puede considerarse un nivel de energía hipotético de un electrón, de modo que en equilibrio termodinámico este nivel de energía tendría una probabilidad del 50% de estar ocupado en un momento dado . [2] La posición del nivel de Fermi en relación con los niveles de energía de banda es un factor crucial para determinar las propiedades eléctricas. El nivel de Fermi no corresponde necesariamente a un nivel de energía real (en un aislante el nivel de Fermi se encuentra en la brecha de banda ), ni requiere la existencia de una estructura de bandas. No obstante, el nivel de Fermi es una cantidad termodinámica definida con precisión, y las diferencias en el nivel de Fermi se pueden medir simplemente con un voltímetro .
A veces se dice que las corrientes eléctricas son impulsadas por diferencias en el potencial electrostático ( potencial de Galvani ), pero esto no es exactamente cierto. [3] Como contraejemplo, los dispositivos multimateriales como las uniones p–n contienen diferencias de potencial electrostático interno en equilibrio, pero sin ninguna corriente neta acompañante; si se conecta un voltímetro a la unión, uno simplemente mide cero voltios. [4] Claramente, el potencial electrostático no es el único factor que influye en el flujo de carga en un material: la repulsión de Pauli , los gradientes de concentración de portadores, la inducción electromagnética y los efectos térmicos también juegan un papel importante.
De hecho, la cantidad denominada voltaje , medida en un circuito electrónico, tiene una relación simple con el potencial químico de los electrones (nivel de Fermi). Cuando los cables de un voltímetro se conectan a dos puntos de un circuito, el voltaje que se muestra es una medida del trabajo total transferido cuando se permite que una unidad de carga se mueva de un punto al otro. Si se conecta un cable simple entre dos puntos de diferente voltaje (formando un cortocircuito ), la corriente fluirá del voltaje positivo al negativo, convirtiendo el trabajo disponible en calor.
El nivel de Fermi de un cuerpo expresa el trabajo necesario para añadirle un electrón, o igualmente el trabajo obtenido al quitarle un electrón. Por lo tanto, V A − V B , la diferencia de voltaje observada entre dos puntos, A y B , en un circuito electrónico está exactamente relacionada con la diferencia de potencial químico correspondiente, μ A − μ B , en el nivel de Fermi por la fórmula [5] donde − e es la carga del electrón .
De la discusión anterior se desprende que los electrones se moverán de un cuerpo de alto μ (bajo voltaje) a uno de bajo μ (alto voltaje) si se proporciona un camino simple. Este flujo de electrones hará que el μ más bajo aumente (debido a la carga u otros efectos de repulsión) y, del mismo modo, hará que el μ más alto disminuya. Finalmente, μ se estabilizará en el mismo valor en ambos cuerpos. Esto conduce a un hecho importante con respecto al estado de equilibrio (apagado) de un circuito electrónico:
Esto también significa que el voltaje (medido con un voltímetro) entre dos puntos cualesquiera será cero, en equilibrio. Tenga en cuenta que el equilibrio termodinámico aquí requiere que el circuito esté conectado internamente y no contenga baterías u otras fuentes de energía, ni variaciones de temperatura.
En la teoría de bandas de los sólidos, los electrones ocupan una serie de bandas compuestas por estados propios de energía de partículas individuales, cada uno de ellos etiquetado como ϵ . Aunque esta imagen de una sola partícula es una aproximación, simplifica enormemente la comprensión del comportamiento electrónico y, por lo general, proporciona resultados correctos cuando se aplica correctamente.
La distribución de Fermi-Dirac , , da la probabilidad de que (en equilibrio termodinámico ) un estado que tiene energía ϵ esté ocupado por un electrón: [7]
Aquí, T es la temperatura absoluta y k B es la constante de Boltzmann . Si hay un estado en el nivel de Fermi ( ϵ = μ ), entonces este estado tendrá un 50% de probabilidad de estar ocupado. La distribución se representa en la figura de la izquierda. Cuanto más cerca esté f de 1, mayor será la probabilidad de que este estado esté ocupado. Cuanto más cerca esté f de 0, mayor será la probabilidad de que este estado esté vacío.
La ubicación de μ dentro de la estructura de bandas de un material es importante para determinar el comportamiento eléctrico del material.
En semiconductores y semimetales, la posición de μ en relación con la estructura de bandas se puede controlar en gran medida mediante dopaje o activación de compuertas. Estos controles no modifican μ , que está fijado por los electrodos, sino que hacen que toda la estructura de bandas se desplace hacia arriba y hacia abajo (a veces también modificando la forma de la estructura de bandas). Para obtener más información sobre los niveles de Fermi de los semiconductores, consulte (por ejemplo) Sze. [8]
Si se utiliza el símbolo ℰ para denotar un nivel de energía de electrones medido en relación con la energía del borde de su banda circundante, ϵ C , entonces en general tenemos Podemos definir un parámetro ζ [9] que hace referencia al nivel de Fermi con respecto al borde de la banda: De ello se deduce que la función de distribución de Fermi-Dirac se puede escribir como La teoría de bandas de los metales fue desarrollada inicialmente por Sommerfeld, a partir de 1927, quien prestó gran atención a la termodinámica y la mecánica estadística subyacentes. De manera confusa, en algunos contextos la cantidad referenciada a la banda ζ puede denominarse nivel de Fermi , potencial químico o potencial electroquímico , lo que genera ambigüedad con el nivel de Fermi referenciado globalmente. En este artículo, los términos nivel de Fermi referenciado a la banda de conducción o potencial químico interno se utilizan para referirse a ζ .
ζ está directamente relacionado con el número de portadores de carga activos, así como con su energía cinética típica, y por lo tanto está directamente involucrado en la determinación de las propiedades locales del material (como la conductividad eléctrica ). Por esta razón, es común enfocarse en el valor de ζ cuando se concentra en las propiedades de los electrones en un solo material conductor homogéneo. Por analogía con los estados de energía de un electrón libre, el ℰ de un estado es la energía cinética de ese estado y ϵ C es su energía potencial . Con esto en mente, el parámetro, ζ , también podría etiquetarse como la energía cinética de Fermi .
A diferencia de μ , el parámetro, ζ , no es una constante en el equilibrio, sino que varía de una ubicación a otra en un material debido a las variaciones en ϵ C , que está determinada por factores como la calidad del material y las impurezas/dopantes. Cerca de la superficie de un semiconductor o semimetal, ζ puede ser fuertemente controlado por campos eléctricos aplicados externamente, como se hace en un transistor de efecto de campo . En un material multibanda, ζ puede incluso adoptar múltiples valores en una sola ubicación. Por ejemplo, en una pieza de aluminio hay dos bandas de conducción que cruzan el nivel de Fermi (incluso más bandas en otros materiales); [10] cada banda tiene una energía de borde diferente, ϵ C , y un ζ diferente .
El valor de ζ a temperatura cero se conoce ampliamente como energía de Fermi , a veces escrita ζ 0 . De manera confusa (de nuevo), el nombre energía de Fermi a veces se usa para referirse a ζ a temperatura distinta de cero.
El nivel de Fermi, μ , y la temperatura, T , son constantes bien definidas para un dispositivo de estado sólido en una situación de equilibrio termodinámico, como cuando se encuentra en un estante sin hacer nada. Cuando el dispositivo sale del equilibrio y se pone en uso, entonces, estrictamente hablando, el nivel de Fermi y la temperatura ya no están bien definidos. Afortunadamente, a menudo es posible definir un nivel de Fermi cuasi y una cuasi temperatura para una ubicación dada, que describan con precisión la ocupación de estados en términos de una distribución térmica. Se dice que el dispositivo está en cuasi equilibrio cuando y donde tal descripción es posible.
El enfoque del cuasi-equilibrio permite construir una imagen simple de algunos efectos de no equilibrio como la conductividad eléctrica de una pieza de metal (como resultado de un gradiente de μ ) o su conductividad térmica (como resultado de un gradiente en T ). El cuasi- μ y el cuasi- T pueden variar (o no existir en absoluto) en cualquier situación de no equilibrio, como:
En algunas situaciones, como inmediatamente después de que un material experimenta un pulso láser de alta energía, la distribución de electrones no puede describirse mediante ninguna distribución térmica. En este caso, no se puede definir el nivel cuasi-Fermi o la cuasi-temperatura; simplemente se dice que los electrones no están termalizados . En situaciones menos dramáticas, como en una célula solar bajo iluminación constante, puede ser posible una descripción de cuasi-equilibrio pero que requiere la asignación de valores distintos de μ y T a diferentes bandas (banda de conducción vs. banda de valencia). Incluso entonces, los valores de μ y T pueden saltar de manera discontinua a través de una interfaz de material (por ejemplo, unión p–n ) cuando se impulsa una corriente, y estar mal definidos en la propia interfaz.
El término nivel de Fermi se utiliza principalmente para analizar la física del estado sólido de los electrones en semiconductores , y es necesario un uso preciso de este término para describir los diagramas de bandas en dispositivos que comprenden diferentes materiales con diferentes niveles de dopaje. En estos contextos, sin embargo, también se puede ver que el nivel de Fermi se utiliza de forma imprecisa para referirse al nivel de Fermi referenciado por bandas , μ − ϵ C , llamado ζ anteriormente. Es común ver a científicos e ingenieros referirse a "controlar", " fijar " o "ajustar" el nivel de Fermi dentro de un conductor, cuando en realidad están describiendo cambios en ϵ C debido al dopaje o al efecto de campo . De hecho, el equilibrio termodinámico garantiza que el nivel de Fermi en un conductor siempre esté fijado para ser exactamente igual al nivel de Fermi de los electrodos; solo la estructura de bandas (no el nivel de Fermi) puede cambiarse mediante el dopaje o el efecto de campo (ver también diagrama de bandas ). Existe una ambigüedad similar entre los términos potencial químico y potencial electroquímico .
También es importante señalar que el nivel de Fermi no es necesariamente lo mismo que la energía de Fermi . En el contexto más amplio de la mecánica cuántica, el término energía de Fermi generalmente se refiere a la energía cinética máxima de un fermión en un gas de Fermi idealizado, libre de desorden y sin interacción, a temperatura cero . Este concepto es muy teórico (no existe tal cosa como un gas de Fermi que no interactúe, y la temperatura cero es imposible de lograr). Sin embargo, encuentra algún uso para describir aproximadamente enanas blancas , estrellas de neutrones , núcleos atómicos y electrones en un metal . Por otro lado, en los campos de la física y la ingeniería de semiconductores, la energía de Fermi a menudo se usa para referirse al nivel de Fermi descrito en este artículo. [11]
Al igual que la elección del origen en un sistema de coordenadas, el punto cero de energía puede definirse de forma arbitraria. Los fenómenos observables sólo dependen de las diferencias de energía. Sin embargo, al comparar cuerpos distintos, es importante que todos sean coherentes en su elección de la ubicación de la energía cero, o de lo contrario se obtendrán resultados sin sentido. Por lo tanto, puede ser útil nombrar explícitamente un punto común para garantizar que los diferentes componentes concuerden. Por otro lado, si un punto de referencia es inherentemente ambiguo (como "el vacío", véase más adelante), causará más problemas.
Una elección práctica y justificada de punto común es un conductor físico voluminoso, como la tierra eléctrica . Se puede considerar que un conductor de este tipo se encuentra en un buen equilibrio termodinámico y, por lo tanto, su μ está bien definido. Proporciona un depósito de carga, de modo que se pueden añadir o quitar grandes cantidades de electrones sin incurrir en efectos de carga. También tiene la ventaja de ser accesible, de modo que el nivel de Fermi de cualquier otro objeto se puede medir simplemente con un voltímetro.
En principio, se podría considerar el uso del estado de un electrón estacionario en el vacío como punto de referencia para las energías. Este enfoque no es aconsejable a menos que se tenga cuidado de definir exactamente dónde se encuentra el vacío . [Nota 1] El problema es que no todos los puntos en el vacío son equivalentes.
En el equilibrio termodinámico, es típico que existan diferencias de potencial eléctrico del orden de 1 V en el vacío ( potenciales de Volta ). La fuente de esta variación del potencial de vacío es la variación en la función de trabajo entre los diferentes materiales conductores expuestos al vacío. Justo fuera de un conductor, el potencial electrostático depende sensiblemente del material, así como de la superficie seleccionada (su orientación cristalina, contaminación y otros detalles).
El parámetro que proporciona la mejor aproximación a la universalidad es el nivel de Fermi con referencia a la Tierra sugerido anteriormente. Este también tiene la ventaja de que se puede medir con un voltímetro.
En los casos en que los "efectos de carga" debidos a un solo electrón no son despreciables, las definiciones anteriores deben aclararse. Por ejemplo, considere un condensador formado por dos placas paralelas idénticas. Si el condensador no está cargado, el nivel de Fermi es el mismo en ambos lados, por lo que se podría pensar que no se necesita energía para mover un electrón de una placa a la otra. Pero cuando el electrón se ha movido, el condensador se ha cargado (ligeramente), por lo que esto requiere una pequeña cantidad de energía. En un condensador normal, esto es despreciable, pero en un condensador a escala nanométrica puede ser más importante.
En este caso hay que ser preciso en la definición termodinámica del potencial químico así como en el estado del dispositivo: ¿está aislado eléctricamente o está conectado a un electrodo?
Estos potenciales químicos no son equivalentes, μ ≠ μ ′ ≠ μ ″ , excepto en el límite termodinámico . La distinción es importante en sistemas pequeños como los que muestran bloqueo de Coulomb . [13] El parámetro, μ , (es decir, en el caso en que se permite que el número de electrones fluctúe) permanece exactamente relacionado con el voltaje del voltímetro, incluso en sistemas pequeños. Para ser precisos, entonces, el nivel de Fermi no se define por un evento de carga determinista por una carga de electrón, sino más bien un evento de carga estadística por una fracción infinitesimal de un electrón.
