En física , un número cuántico topológico (también llamado carga topológica ) es cualquier cantidad, en una teoría física, que toma solo uno de un conjunto discreto de valores, debido a consideraciones topológicas . Más comúnmente, los números cuánticos topológicos son invariantes topológicos asociados con defectos topológicos o soluciones de tipo solitón de algún conjunto de ecuaciones diferenciales que modelan un sistema físico, ya que los solitones mismos deben su estabilidad a consideraciones topológicas. Las "consideraciones topológicas" específicas generalmente se deben a la aparición del grupo fundamental o un grupo de homotopía de dimensión superior en la descripción del problema, muy a menudo porque el límite, en el que se especifican las condiciones de contorno , tiene un grupo de homotopía no trivial que se conserva por las ecuaciones diferenciales. El número cuántico topológico de una solución a veces se denomina número de bobinado de la solución o, más precisamente, es el grado de una aplicación continua . [1]
El concepto de números cuánticos topológicos que se crean o destruyen durante las transiciones de fase surgió en la física de la materia condensada en la década de 1970. La transición de Kosterlitz-Thouless demostró cómo los defectos topológicos , como los vórtices , podían crearse y aniquilarse durante las transiciones de fase en sistemas bidimensionales. [2] Al mismo tiempo, en la teoría cuántica de campos, el modelo monopolar de Hooft-Polyakov demostró cómo las estructuras topológicas, como los monopolos magnéticos , podían aparecer o desaparecer dependiendo de la fase de un campo, vinculando las transiciones de fase a los cambios en los números cuánticos topológicos. [3] En la década de 1980, el modelo teórico de Haldane demostró que los materiales pueden poseer números cuánticos topológicos como el número de Chern , que puede conducir a diferentes fases de la materia. Este concepto se exploró más a fondo con el desarrollo de las fases topológicas, incluidos los efectos Hall cuánticos fraccionarios y los aislantes topológicos . [4] [5]
En física de partículas , un ejemplo lo da Skyrmion , para el cual el número bariónico es un número cuántico topológico. El origen proviene del hecho de que el isospín está modelado por SU(2) , que es isomorfo a la 3-esfera y hereda la estructura de grupo de SU(2) a través de su asociación biyectiva, por lo que el isomorfismo está en la categoría de grupos topológicos. Al tomar el espacio tridimensional real y cerrarlo con un punto en el infinito, también se obtiene una 3-esfera. Las soluciones a las ecuaciones de Skyrme en el espacio tridimensional real asignan un punto en el espacio "real" (físico; euclidiano) a un punto en la 3-variedad SU(2). Las soluciones topológicamente distintas "envuelven" una esfera alrededor de la otra, de modo que una solución, sin importar cómo se deforme, no se puede "desenvolver" sin crear una discontinuidad en la solución. En física, tales discontinuidades están asociadas con energía infinita y, por lo tanto, no están permitidas.
En el ejemplo anterior, la afirmación topológica es que el tercer grupo de homotopía de las tres esferas es
y por lo tanto el número bariónico sólo puede tomar valores enteros.
Una generalización de estas ideas se encuentra en el modelo de Wess-Zumino-Witten .
Se pueden encontrar ejemplos adicionales en el dominio de los modelos exactamente solucionables , como la ecuación de seno-Gordon , la ecuación de Korteweg-de Vries y la ecuación de Ishimori . La ecuación unidimensional de seno-Gordon constituye un ejemplo particularmente simple, ya que el grupo fundamental en juego allí es
y por lo tanto es literalmente un número sinuoso : un círculo puede envolverse alrededor de un círculo un número entero de veces. El modelo cuántico de seno-Gordon es equivalente al modelo masivo de Thirring . Las excitaciones fundamentales son fermiones: el número cuántico topológico es el número de fermiones . Después de la cuantificación del modelo de seno-Gordon, la carga topológica se vuelve "fraccional". La consideración consistente de la renormalización ultravioleta muestra que un número fraccionario de fermiones repelidos por encima del corte ultravioleta. Entonces se multiplica por un número fraccionario que depende de la constante de Planck .
En física del estado sólido , ciertos tipos de dislocaciones cristalinas , como las dislocaciones helicoidales , se pueden describir mediante solitones topológicos. Un ejemplo incluye las dislocaciones de tipo helicoidal asociadas con los filamentos de germanio .
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