Método de flujo de zona vadosa con contenido finito de agua

El método de flujo de zona vadosa de contenido finito de agua ^{[1] [2]} representa una alternativa unidimensional a la solución numérica de la ecuación de Richards ^[3] para simular el movimiento del agua en suelos no saturados . El método del contenido finito de agua resuelve el término similar a la advección de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo , que es una ecuación diferencial ordinaria alternativa a la ecuación diferencial parcial de Richards . La ecuación de Richards es difícil de aproximar en general porque no tiene una solución analítica de forma cerrada excepto en unos pocos casos. ^[4] El método del contenido finito de agua es quizás el primer reemplazo genérico de la solución numérica de la ecuación de Richards . La solución de contenido finito de agua tiene varias ventajas sobre la solución de la ecuación de Richards . En primer lugar, como ecuación diferencial ordinaria , es explícita, garantiza su convergencia ^[5] y su resolución es económica desde el punto de vista computacional. En segundo lugar, al utilizar una metodología de solución de volumen finito se garantiza la conservación de masa. El método del contenido finito de agua simula fácilmente frentes de humectación agudos, algo con lo que la solución de Richards tiene problemas. ^[6] El principal supuesto limitante requerido para utilizar el método del contenido finito de agua es que el suelo sea homogéneo en capas.

Discretización del contenido finito de agua. El medio poroso se divide en n "contenedores" uniformes de contenido de agua. ${\displaystyle \Delta \theta }$

El método de flujo de zona vadosa con contenido finito de agua se deriva del mismo punto de partida que la derivación de la ecuación de Richards . Sin embargo, la derivación emplea una transformación hodógrafa ^[7] para producir una solución de advección que no incluye la difusividad del agua del suelo, donde se convierte en la variable dependiente y se convierte en una variable independiente: ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]\ }$

dónde:

${\displaystyle K}$es la conductividad hidráulica insaturada [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi }$es la carga de presión capilar [L] (negativa para suelos insaturados),

${\displaystyle z}$es la coordenada vertical [L] (positiva hacia abajo),

${\displaystyle \theta }$es el contenido de agua , (-) y

${\displaystyle t}$es el tiempo [T].

Esta ecuación se convirtió en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ^[2] usando el Método de Líneas ^[8] para convertir las derivadas parciales en el lado derecho de la ecuación en formas de diferencias finitas apropiadas . Estas tres EDO representan la dinámica del agua infiltrada, la caída de babosas y el agua subterránea capilar, respectivamente.

Derivación

En 2017 se publicó una derivación superior ^[9] , que muestra que esta ecuación es una versión sin difusión de la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo .

Una forma de resolver esta ecuación es resolverla por y por integración: ^[10] ${\displaystyle q(\theta ,t)}$ ${\displaystyle z(\theta ,t)}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z}{\partial t}}\,d\theta }$

En su lugar, se utiliza una discretización finita del contenido de agua y las integrales se reemplazan con sumatorias:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta }$

donde es el número total de contenedores finitos de contenido de agua. ${\displaystyle N}$

Usando este enfoque, la ecuación de conservación para cada contenedor es:

${\displaystyle \left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}.}$

El método de las líneas se utiliza para reemplazar las formas diferenciales parciales del lado derecho en formas apropiadas de diferencias finitas. Este proceso da como resultado un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias que describen la dinámica de los frentes de infiltración, la caída de slugs y los frentes capilares de agua subterránea utilizando una discretización finita del contenido de agua.

Conceptos básicos del método

El método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido de agua finito reemplaza la ecuación de Richards PDE con un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE). Estas tres EDO se desarrollan en las siguientes secciones. Además, debido a que el método del contenido finito de agua no incluye explícitamente la difusividad del agua del suelo, necesita un paso de relajación capilar separado. La relajación capilar ^[11] representa un proceso de minimización de energía libre en la escala de poro que no produce advección más allá de la escala REV.

Frentes de infiltración

Frentes de infiltración en un dominio de contenido de agua finito.

Con referencia a la Figura 1, el agua que se infiltra en la superficie terrestre puede fluir a través del espacio poroso entre y . En el contexto del método de las líneas , los términos de la derivada parcial se reemplazan por: ${\displaystyle \theta _{d}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Dado que cualquier profundidad de agua estancada en la superficie terrestre es , se emplea el supuesto de Green y Ampt (1911) ^{[12] ,} ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

representa el gradiente de cabeza capilar que impulsa el flujo. Por tanto, la ecuación finita del contenido de agua en el caso de frentes de infiltración es:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

babosas que caen

Babosas que caen en el dominio finito del contenido de agua. El agua en cada contenedor se considera una babosa separada.

Después de que cesa la lluvia y toda el agua superficial se infiltra, el agua de los contenedores que contienen frentes de infiltración se desprende de la superficie terrestre. Suponiendo que la capilaridad en los bordes inicial y posterior de esta 'babosa de agua que cae' está equilibrada, entonces el agua cae a través del medio con la conductividad incremental asociada con el -ésimo contenedor: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$

Frentes capilares de aguas subterráneas

Frentes capilares de aguas subterráneas en un dominio de contenido de agua finito.

En este caso, el flujo de agua hacia el recipiente se produce entre el recipiente j e i . Por lo tanto, en el contexto del método de las líneas : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

y,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

cuyos rendimientos:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

El rendimiento de esta ecuación se verificó para los casos en los que la velocidad del nivel freático era inferior a 0,92 , ^[13] utilizando un experimento de columna diseñado a partir del de Childs y Poulovassilis (1962). ^[14] Los resultados de esa validación mostraron que el método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido de agua finito funcionó de manera comparable a la solución numérica de la ecuación de Richards. ${\displaystyle K_{s}}$

Relajación capilar

Debido a que la conductividad hidráulica aumenta rápidamente a medida que el contenido de agua avanza hacia la saturación, con referencia a la Fig.1, los contenedores más a la derecha tanto en los frentes capilares de agua subterránea como en los frentes de infiltración pueden "dejar atrás" a sus vecinos a la izquierda. En la discretización del contenido finito de agua, estos choques ^[15] se disipan mediante el proceso de relajación capilar, que representa un proceso de minimización de energía libre a escala de poro que no produce advección más allá de la escala REV ^[11]. Numéricamente, este proceso es un proceso numérico. tipo que coloca los frentes en magnitud monótonamente decreciente de izquierda a derecha.

Relaciones constitutivas

El método de flujo de zona vadosa con contenido de agua finito funciona con cualquier relación de curva de retención de agua monótona /conductividad hidráulica insaturada, como Brooks y Corey ^[16] Clapp y Hornberger ^[17] y van Genuchten-Mualem. ^[18] El método podría funcionar con relaciones histeréticas de retención de agua; estas aún no se han probado.

Limitaciones

El método del contenido finito de agua carece del efecto de la difusión del agua en el suelo. Esta omisión no afecta la precisión de los cálculos de flujo utilizando el método porque la media del flujo difusivo es pequeña. En la práctica, esto significa que la forma del frente húmedo no juega ningún papel en el impulso de la infiltración. Hasta ahora, el método se limita a 1-D en aplicaciones prácticas. La ecuación de infiltración ^[2] se amplió a 2 y cuasi 3 dimensiones. ^[5] Aún queda trabajo por hacer para extender todo el método a más de una dimensión.

Premios

El artículo que describe este método ^[2] fue seleccionado por la Red de Hidrogeólogos de Carrera Inicial de la Asociación Internacional de Hidrogeólogos para recibir el premio al "Artículo más interesante publicado en 2015" en reconocimiento al impacto potencial de la publicación en el futuro de la hidrogeología.

Ver también

• ecuación de richards
• Infiltración (hidrología)
• Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

Referencias

1. Talbot, CA y FL Ogden (2008), Un método para calcular la infiltración y redistribución en un dominio de contenido de humedad discretizado, Water Resour. Res. , 44(8), doi: 10.1029/2008WR006815.
2. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke, J. Zhu, CA Talbot y JL Wilson (2015), Un nuevo método general de solución de zona vadosa 1-D, Water Resour.Res. , 51, doi:10.1002/2015WR017126.
3. Richards, LA (1931), Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos, J. Appl. Física. , 1(5), 318–333.
4. Ross, PJ y J.-Y. Parlange (1994). Comparación de soluciones exactas y numéricas de la ecuación de Richards para infiltración y drenaje unidimensionales. Ciencia del suelo. Vol 1557, núm. 6, págs. 341-345.
5. Yu, H., CC Douglas y FL Ogden, (2012), Una nueva aplicación de un sistema dinámico impulsado por datos en el modelo Talbot-Ogden para la infiltración de aguas subterráneas, Procedia Computer Science , 9, 1073-1080.
6. Tocci, MD, CT Kelley y CT Miller (1997), Solución precisa y económica de la forma de presión de la ecuación de Richards mediante el método de líneas, Adv. Qué. Recurso ., 20(1), 1–14.
7. Philip, JR 1957. La teoría de la infiltración: 1. La ecuación de infiltración y su solución, Soil Sci , 83(5), 345–357.
8. Griffiths, Graham; Schiesser, William; Hamdi, Samir (2007). "Método de líneas". Scholarpedia . 2 (7): 2859. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.2859H. doi : 10.4249/scholarpedia.2859 .
9. Ogden, FL, MB Allen, W.Lai, J. Zhu, CC Douglas, M. Seo y CA Talbot, 2017. La ecuación de la velocidad de la humedad del suelo, J. Adv. Modelado del sistema terrestre. https://doi.org/10.1002/2017MS000931
10. Wilson, JL (1974), Mezcla dispersiva en un medio poroso parcialmente saturado, tesis doctoral, 355 págs., Departamento de Ingeniería Civil, Mass. Inst. Tech., Cambridge, MA.
11. Moebius, F., D. Canone y D. Or (2012), Características de las emisiones acústicas inducidas por el desplazamiento frontal de fluido en medios porosos, Water Resour. Res. , 48(11), W11507, doi:10.1029/2012WR012525.
12. Green, WH y GA Ampt (1911), Estudios sobre física del suelo, 1, El flujo de aire y agua a través de los suelos, J. Agric. Ciencia. , 4(1), 1–24.
13. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke y J. Zhu (2015b), Validación del método de dinámica de la zona vadosa con contenido de agua finito mediante experimentos en columnas con un nivel freático en movimiento y flujo superficial aplicado, Water Resour. Res. , 10.1002/2014WR016454.
14. Childs, EC y A. Poulovassilis (1962), El perfil de humedad sobre un nivel freático en movimiento, J. Soil Sci ., 13 (2), 271–285.
15. Smith, RE (1983), Movimiento aproximado del agua del suelo por características cinemáticas, Soil Sci. Soc. Soy. J. , 47(1), 3–8.
16. Brooks, RH y AT Corey, 1964. Propiedades hidráulicas de medios porosos. Hidrol. Papilla. 3, Universidad Estatal de Colorado, Fort Collins, Colorado, EE.UU.
17. Clapp RB y GM Hornberger, 1978. Ecuaciones empíricas para algunas propiedades hidráulicas del suelo. Recurso Acuático. Res. 14(4):601–604
18. van Genuchten, M. Th. (1980). "Una ecuación de forma cerrada para predecir la conductividad hidráulica de suelos no saturados" (PDF). Ciencia del suelo. Soc. Soy. J. , 44(5): 892-898. doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x