Los defectos topológicos o solitones son irregularidades o interrupciones que ocurren dentro de campos continuos o estados ordenados de la materia. Estos defectos, que pueden adoptar diversas formas, como puntos, líneas o superficies, se caracterizan por su estabilidad y por el hecho de que no pueden "suavizarse" o eliminarse mediante transformaciones continuas del campo o material. Desempeñan un papel importante en diversas áreas de la física, incluida la física de la materia condensada, la cosmología y la teoría cuántica de campos, y pueden tener efectos profundos en las propiedades y el comportamiento de los sistemas en los que ocurren.
Uno de los ejemplos más simples y comunes de un solitón topológico ocurre en los antiguos cables enrollados de los teléfonos telefónicos, que generalmente están enrollados en el sentido de las agujas del reloj. Años de levantar el teléfono pueden terminar enrollando partes del cable en la dirección opuesta a las agujas del reloj, y cuando esto sucede, habrá un bucle distintivo más grande que separa las dos direcciones de enrollado. Este bucle de transición de aspecto extraño, que no se desarrolla ni en el sentido de las agujas del reloj ni en el sentido contrario a las agujas del reloj, es un excelente ejemplo de solitón topológico. No importa cuán complejo sea el contexto, cualquier cosa que califique como un solitón topológico debe exhibir en algún nivel este mismo problema simple de reconciliación que se ve en el ejemplo del cable telefónico retorcido.
Los solitones topológicos surgen con facilidad al crear los semiconductores cristalinos utilizados en la electrónica moderna y, en ese contexto, sus efectos son casi siempre nocivos. Por este motivo, estas transiciones cristalinas se denominan defectos topológicos . Sin embargo, esta terminología principalmente de estado sólido distrae la atención de las ricas e intrigantes propiedades matemáticas de tales regiones fronterizas. Por lo tanto, para la mayoría de los contextos que no son de estado sólido, es preferible la frase más positiva y matemáticamente rica "solitón topológico".
A continuación se proporciona una discusión más detallada sobre los solitones topológicos y temas relacionados.
En matemáticas y física , un solitón topológico o un defecto topológico es una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales o de una teoría cuántica de campos homotópicamente distinta de la solución del vacío .
La existencia de un defecto topológico se puede demostrar siempre que las condiciones de contorno impliquen la existencia de soluciones homotópicamente distintas. Normalmente, esto ocurre porque el límite en el que se especifican las condiciones tiene un grupo de homotopía no trivial que se conserva en las ecuaciones diferenciales ; las soluciones de las ecuaciones diferenciales son entonces topológicamente distintas y se clasifican por su clase de homotopía . Los defectos topológicos no sólo son estables frente a pequeñas perturbaciones, sino que no pueden desintegrarse, deshacerse o desenredarse, precisamente porque no existe una transformación continua que los asigne (homotópicamente) a una solución uniforme o "trivial".
Un medio ordenado se define como una región del espacio descrita por una función f ( r ) que asigna a cada punto de la región un parámetro de orden , y los posibles valores del espacio de parámetros de orden constituyen un espacio de parámetros de orden . La teoría de la homotopía de los defectos utiliza el grupo fundamental del espacio de parámetros de orden de un medio para discutir la existencia, estabilidad y clasificaciones de los defectos topológicos en ese medio. [1]
Supongamos que R es el espacio de parámetros de orden para un medio, y sea G un grupo de transformaciones de Lie en R. Sea H el subgrupo de simetría de G para el medio. Entonces, el espacio de parámetros de orden se puede escribir como el cociente del grupo de Lie [ 2] R = G / H.
Si G es una cobertura universal para G / H entonces, se puede demostrar [2] que π n ( G / H ) = π n −1 ( H ), donde π i denota el i -ésimo grupo de homotopía .
Se pueden caracterizar varios tipos de defectos en el medio mediante elementos de varios grupos de homotopía del espacio de parámetros de orden. Por ejemplo, (en tres dimensiones), los defectos de línea corresponden a elementos de π 1 ( R ), los defectos puntuales corresponden a elementos de π 2 ( R ), las texturas corresponden a elementos de π 3 ( R ). Sin embargo, los defectos que pertenecen a la misma clase de conjugación de π 1 ( R ) pueden deformarse continuamente entre sí [1] y, por lo tanto, distintos defectos corresponden a distintas clases de conjugación.
Poénaru y Toulouse demostraron que [3] los defectos de cruce se entrelazan si y sólo si son miembros de clases de conjugación separadas de π 1 ( R ).
Los defectos topológicos ocurren en ecuaciones diferenciales parciales y se creen [ ¿según quién? ] conducir [ ¿cómo? ] transiciones de fase en la física de la materia condensada .
La autenticidad [ se necesita más explicación ] de un defecto topológico depende de la naturaleza del vacío al que tenderá el sistema si transcurre un tiempo infinito; Los defectos topológicos falsos y verdaderos se pueden distinguir si el defecto está en un vacío falso y en un vacío verdadero , respectivamente. [ se necesita aclaración ]
Los ejemplos incluyen el solitón u onda solitaria que ocurre en modelos exactamente solubles , como
Defectos topológicos en sistemas de clase de universalidad de transición lambda [ se necesita aclaración ] que incluyen:
Los defectos topológicos, de tipo cosmológico, son fenómenos de energía extremadamente alta [ se necesita aclaración ] cuya producción se considera poco práctica [¿ según quién? ] en experimentos de física terrestres. En teoría, los defectos topológicos creados durante la formación del universo podrían observarse sin un gasto de energía significativo.
En la teoría del Big Bang , el universo se enfría desde un estado inicial denso y caliente, lo que desencadena una serie de transiciones de fase muy parecidas a lo que sucede en los sistemas de materia condensada, como los superconductores. Cierto [ ¿cuál? ] Las grandes teorías unificadas predicen la formación de defectos topológicos estables en el universo temprano durante estas transiciones de fase.
Dependiendo de la naturaleza de la ruptura de simetría , se cree que se formaron varios solitones en transiciones de fase cosmológicas en el universo primitivo según el mecanismo de Kibble-Zurek . Los defectos topológicos más conocidos son:
También son posibles otros híbridos más complejos de estos tipos de defectos.
A medida que el universo se expandió y enfrió, las simetrías en las leyes de la física comenzaron a romperse en regiones que se propagaban a la velocidad de la luz ; Los defectos topológicos ocurren en los límites de regiones adyacentes. [ ¿ cómo? ] La materia que compone estos límites se encuentra en una fase ordenada , que persiste después de que se completa la transición de fase a la fase desordenada para las regiones circundantes.
Los astrónomos no han identificado defectos topológicos; sin embargo, ciertos tipos no son compatibles con las observaciones actuales. En particular, si en el universo observable estuvieran presentes muros de dominio y monopolos, se producirían desviaciones significativas de lo que los astrónomos pueden ver.
Debido a estas observaciones, la formación de defectos dentro del universo observable está muy limitada y requiere circunstancias especiales (ver Inflación (cosmología) ). Por otro lado, se ha sugerido que las cuerdas cósmicas proporcionan la "semilla" inicial: la gravedad alrededor de la cual se ha condensado la estructura a gran escala del cosmos de materia. Las texturas son igualmente benignas. [ se necesita aclaración ] A finales de 2007, un punto frío en el fondo cósmico de microondas proporcionó evidencia de una posible textura . [4]
En física de la materia condensada, la teoría de los grupos de homotopía proporciona un entorno natural para la descripción y clasificación de defectos en sistemas ordenados. [1] Los métodos topológicos se han utilizado en varios problemas de la teoría de la materia condensada. Poénaru y Toulouse utilizaron métodos topológicos para obtener una condición para los defectos de línea (cadena) en cristales líquidos que pueden cruzarse entre sí sin enredarse. Fue una aplicación no trivial de la topología la que condujo por primera vez al descubrimiento de un comportamiento hidrodinámico peculiar en la fase A del helio -3 superfluido . [1]
La teoría de la homotopía está profundamente relacionada con la estabilidad de los defectos topológicos. En el caso de un defecto de línea, si el camino cerrado se puede deformar continuamente en un punto, el defecto no es estable; en caso contrario, es estable.
A diferencia de la cosmología y la teoría de campos, se han observado experimentalmente defectos topológicos en la materia condensada. [5] Los materiales ferromagnéticos tienen regiones de alineación magnética separadas por paredes de dominio. Los cristales líquidos nemáticos y nemáticos biaxiales muestran una variedad de defectos que incluyen monopolos, cuerdas, texturas, etc. [1] En los sólidos cristalinos, los defectos topológicos más comunes son las dislocaciones , que desempeñan un papel importante en la predicción de las propiedades mecánicas de los cristales. , especialmente la plasticidad cristalina .
En los sistemas magnéticos, los defectos topológicos incluyen defectos 2D como skyrmions (con carga de skyrmion entera) o defectos 3D como Hopfions (con índice de Hopf entero). La definición se puede ampliar para incluir dislocaciones del orden helimagnético, como dislocaciones de borde [6] [7] y dislocaciones de tornillo [8] (que tienen un valor entero del vector de Burgers)
