Un dígito numérico (a menudo abreviado simplemente como dígito ) o numeral es un símbolo único que se usa solo (como "1") o en combinaciones (como "15") para representar números en un sistema de numeración posicional . El nombre "dígito" proviene del hecho de que los diez dígitos ( del latín digiti, que significa dedos) [1] de las manos corresponden a los diez símbolos del sistema de numeración de base 10 común , es decir, los dígitos decimales (del antiguo adjetivo latino decem , que significa diez) [2] .
Para un sistema numérico dado con una base entera , la cantidad de dígitos diferentes necesarios viene dada por el valor absoluto de la base. Por ejemplo, el sistema decimal (base 10) requiere diez dígitos (del 0 al 9), mientras que el sistema binario (base 2) requiere dos dígitos (0 y 1).
En un sistema digital básico, un numeral es una secuencia de dígitos, que puede tener una longitud arbitraria. Cada posición en la secuencia tiene un valor posicional y cada dígito tiene un valor. El valor del numeral se calcula multiplicando cada dígito de la secuencia por su valor posicional y sumando los resultados.
Cada dígito de un sistema numérico representa un número entero. Por ejemplo, en el sistema decimal, el dígito "1" representa el número entero uno , y en el sistema hexadecimal , la letra "A" representa el número diez . Un sistema numérico posicional tiene un dígito único para cada número entero desde cero hasta el radio del sistema numérico, pero sin incluirlo.
Así, en el sistema decimal posicional, los números del 0 al 9 pueden expresarse utilizando sus respectivos numerales "0" a "9" en la posición de "unidades" más a la derecha. El número 12 puede expresarse con el numeral "2" en la posición de las unidades, y con el numeral "1" en la posición de las "decenas", a la izquierda del "2", mientras que el número 312 puede expresarse con tres numerales: "3" en la posición de las "centenas", "1" en la posición de las "decenas" y "2" en la posición de las "unidades".
El sistema de numeración decimal utiliza un separador decimal , comúnmente un punto en inglés, o una coma en otros idiomas europeos , [3] para denotar el "lugar de las unidades" o "lugar de las unidades", [4] [5] [6] que tiene un valor posicional uno. Cada lugar sucesivo a la izquierda de este tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior multiplicado por la base . De manera similar, cada lugar sucesivo a la derecha del separador tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior dividido por la base. Por ejemplo, en el numeral 10.34 (escrito en base 10 ),
El valor total del número es 1 decena, 0 unidades, 3 décimas y 4 centésimas. El cero, que no aporta ningún valor al número, indica que el 1 está en el lugar de las decenas y no de las unidades.
El valor posicional de cualquier dígito dado en un numeral se puede obtener mediante un cálculo simple, que en sí mismo es un complemento a la lógica detrás de los sistemas de numeración. El cálculo implica la multiplicación del dígito dado por la base elevada por el exponente n − 1 , donde n representa la posición del dígito a partir del separador; el valor de n es positivo (+), pero esto es solo si el dígito está a la izquierda del separador. Y a la derecha, el dígito se multiplica por la base elevada por un (−) n negativo . Por ejemplo, en el número 10,34 (escrito en base 10),
El primer sistema numérico posicional escrito verdadero se considera el sistema numérico hindú-arábigo . Este sistema se estableció en el siglo VII en la India, [12] pero aún no estaba en su forma moderna porque el uso del dígito cero aún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se usaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876. [13] Los numerales originales eran muy similares a los modernos, incluso hasta los glifos utilizados para representar dígitos. [12]
En el siglo XIII, los números arábigos occidentales fueron aceptados en los círculos matemáticos europeos ( Fibonacci los utilizó en su Liber Abaci ). Comenzaron a ser de uso común en el siglo XV. [14] A fines del siglo XX, prácticamente todos los cálculos no computarizados del mundo se realizaban con números arábigos, que han reemplazado a los sistemas numéricos nativos en la mayoría de las culturas.
La edad exacta de los numerales mayas no está clara, pero es posible que sean más antiguos que el sistema hindú-árabe. El sistema era vigesimal (base 20), por lo que tiene veinte dígitos. Los mayas usaban un símbolo de concha para representar el cero. Los números se escribían verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Los mayas no tenían un equivalente del separador decimal moderno , por lo que su sistema no podía representar fracciones.
El sistema de numeración tailandés es idéntico al sistema de numeración hindú-arábigo, salvo por los símbolos que se utilizan para representar los dígitos. El uso de estos dígitos es menos común en Tailandia que antes, pero todavía se utilizan junto con los números arábigos.
Los numerales de varillas, las formas escritas de las varillas de conteo que usaban antiguamente los matemáticos chinos y japoneses , son un sistema posicional decimal capaz de representar no solo el cero sino también los números negativos. Las propias varillas de conteo son anteriores al sistema de numeración hindú-arábigo. Los numerales de Suzhou son variantes de los numerales de varillas.
Los sistemas binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), ampliamente utilizados en informática , siguen las convenciones del sistema de numeración hindú-arábigo . [15] El sistema binario utiliza solo los dígitos "0" y "1", mientras que el sistema octal utiliza los dígitos del "0" al "7". El sistema hexadecimal utiliza todos los dígitos del sistema decimal, más las letras "A" a "F", que representan los números del 10 al 15 respectivamente. [16] Cuando se utiliza el sistema binario, el término "bit(s)" se utiliza normalmente como alternativa a "dígito(s)", siendo un acrónimo del término "dígito binario".
En ocasiones se han utilizado los sistemas ternario y ternario equilibrado . Ambos son sistemas de base 3. [17]
El sistema ternario balanceado es inusual porque tiene los valores de dígitos 1, 0 y –1. Resulta que tiene algunas propiedades útiles y el sistema se ha utilizado en las computadoras experimentales rusas Setun . [18]
Varios autores en los últimos 300 años han notado una facilidad de notación posicional que equivale a una representación decimal modificada . Se citan algunas ventajas para el uso de dígitos numéricos que representan valores negativos. En 1840 Augustin-Louis Cauchy abogó por el uso de la representación de números con dígitos con signo , y en 1928 Florian Cajori presentó su colección de referencias para numerales negativos . El concepto de representación con dígitos con signo también se ha adoptado en el diseño de computadoras .
A pesar del papel esencial de los dígitos en la descripción de los números, son relativamente poco importantes para las matemáticas modernas . [19] Sin embargo, hay algunos conceptos matemáticos importantes que hacen uso de la representación de un número como una secuencia de dígitos.
La raíz digital es el número de un solo dígito que se obtiene sumando los dígitos de un número dado, luego sumando los dígitos del resultado, y así sucesivamente hasta obtener un número de un solo dígito. [20]
La eliminación de nueves es un procedimiento para comprobar operaciones aritméticas realizadas a mano. Para describirlo, supongamos que representa la raíz digital de , como se describió anteriormente. La eliminación de nueves hace uso del hecho de que si , entonces . En el proceso de eliminación de nueves, se calculan ambos lados de la última ecuación y, si no son iguales, la suma original debe haber sido defectuosa. [21]
Los repunits son números enteros que se representan con solo el dígito 1. Por ejemplo, 1111 (mil ciento once) es un repunit. Los repdigits son una generalización de los repunits; son números enteros representados por instancias repetidas del mismo dígito. Por ejemplo, 333 es un repdigit. La primalidad de los repunits es de interés para los matemáticos. [22]
Los números palindrómicos son números que se leen igual cuando sus dígitos están invertidos. [23] Un número de Lychrel es un entero positivo que nunca produce un número palindrómico cuando se lo somete al proceso iterativo de sumarse a sí mismo con los dígitos invertidos. [24] La cuestión de si existen números de Lychrel en base 10 es un problema abierto en las matemáticas recreativas ; el candidato más pequeño es 196. [25 ]
Las ayudas para contar, especialmente el uso de partes del cuerpo (contar con los dedos), se utilizaron sin duda en tiempos prehistóricos como en la actualidad. Hay muchas variaciones. Además de contar diez dedos, algunas culturas han contado los nudillos, el espacio entre los dedos de las manos y los dedos de los pies, además de los dedos de las manos. La cultura Oksapmin de Nueva Guinea utiliza un sistema de 27 posiciones en la parte superior del cuerpo para representar números. [26]
Para preservar la información numérica, se han utilizado registros tallados en madera, hueso y piedra desde tiempos prehistóricos. [27] Las culturas de la Edad de Piedra, incluidos los antiguos grupos indígenas americanos , utilizaban registros para juegos de azar, servicios personales y bienes comerciales.
Los sumerios inventaron un método para conservar información numérica en arcilla entre el 8000 y el 3500 a. C. [28] : se hacía con pequeñas fichas de arcilla de diversas formas que se ensartaban como cuentas en un hilo. A partir del 3500 a. C., las fichas de arcilla fueron reemplazadas gradualmente por signos numéricos impresos con un estilete redondo en diferentes ángulos en tablillas de arcilla (originalmente recipientes para fichas) que luego se horneaban. Alrededor del 3100 a. C., los números escritos se disociaron de las cosas que se contaban y se convirtieron en números abstractos.
Entre el 2700 y el 2000 a. C., en Sumer, el estilete redondo fue reemplazado gradualmente por un estilete de caña que se usaba para imprimir signos cuneiformes en forma de cuña en arcilla. Estos signos cuneiformes se parecían a los signos redondos a los que reemplazaron y conservaban la notación de valor de signo aditivo de los signos redondos. Estos sistemas convergieron gradualmente en un sistema de numeración sexagesimal común ; se trataba de un sistema de valor posicional que constaba de solo dos marcas impresas, la cuña vertical y el cheurón, que también podían representar fracciones. [29] Este sistema de numeración sexagesimal se desarrolló por completo a principios del período de la Antigua Babilonia (alrededor de 1950 a. C.) y se convirtió en estándar en Babilonia. [30]
Los numerales sexagesimales eran un sistema de notación de base mixta que conservaba la alternancia de la base 10 y la base 6 en una secuencia de cuñas y chevrones cuneiformes verticales. Hacia 1950 a. C., este era un sistema de notación posicional . Los numerales sexagesimales llegaron a ser ampliamente utilizados en el comercio, pero también se utilizaban en cálculos astronómicos y de otro tipo. Este sistema se exportó desde Babilonia y se utilizó en toda Mesopotamia, y por cada nación mediterránea que utilizaba unidades de medida y conteo babilónicas estándar, incluidos los griegos, romanos y egipcios. La numeración sexagesimal de estilo babilónico todavía se utiliza en las sociedades modernas para medir el tiempo (minutos por hora) y los ángulos (grados). [31]
En China , los ejércitos y las provisiones se contaban utilizando recuentos modulares de números primos . Los números únicos de tropas y medidas de arroz aparecen como combinaciones únicas de estos recuentos. Una gran ventaja de la aritmética modular es que es fácil de multiplicar. [32] Esto hace que el uso de la aritmética modular para las provisiones sea especialmente atractivo. Los recuentos convencionales son bastante difíciles de multiplicar y dividir. En los tiempos modernos, la aritmética modular se utiliza a veces en el procesamiento de señales digitales . [33]
El sistema griego más antiguo era el de los numerales áticos , [34] pero en el siglo IV a.C. comenzaron a utilizar un sistema alfabético cuasidecimal (ver numerales griegos ). [35] Los judíos comenzaron a utilizar un sistema similar ( numerales hebreos ), siendo los ejemplos más antiguos conocidos monedas de alrededor del año 100 a.C. [36]
El Imperio romano utilizaba registros escritos en cera, papiro y piedra, y seguía aproximadamente la costumbre griega de asignar letras a varios números. El sistema de numeración romana siguió siendo de uso común en Europa hasta que la notación posicional se hizo común en el siglo XVI. [37]
Los mayas de América Central utilizaban un sistema mixto de base 18 y base 20, posiblemente heredado de los olmecas , que incluía características avanzadas como la notación posicional y un cero . [38] Utilizaron este sistema para realizar cálculos astronómicos avanzados, incluidos cálculos muy precisos de la duración del año solar y la órbita de Venus . [39]
El Imperio Inca manejaba una gran economía de comando usando quipus , registros hechos anudando fibras de colores. [40] El conocimiento de las codificaciones de los nudos y colores fue suprimido por los conquistadores españoles en el siglo XVI, y no ha sobrevivido, aunque todavía se usan dispositivos de registro simples similares a los quipus en la región andina .
Algunas autoridades creen que la aritmética posicional comenzó con el uso generalizado de las varillas de conteo en China. [41] Los primeros registros posicionales escritos parecen ser resultados de cálculo de varillas en China alrededor del año 400. El cero fue utilizado por primera vez en la India en el siglo VII d. C. por Brahmagupta . [42]
El sistema de numeración árabe posicional moderno fue desarrollado por matemáticos en la India y transmitido a los matemáticos musulmanes , junto con tablas astronómicas traídas a Bagdad por un embajador indio alrededor de 773. [43]
Desde la India , el floreciente comercio entre los sultanes islámicos y África llevó el concepto a El Cairo . Los matemáticos árabes extendieron el sistema para incluir fracciones decimales , y Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī escribió una obra importante sobre él en el siglo IX. [44] Los números arábigos modernos se introdujeron en Europa con la traducción de esta obra en el siglo XII en España y el Liber Abaci de Leonardo de Pisa de 1201. [45] En Europa, el sistema indio completo con el cero se derivó de los árabes en el siglo XII. [46]
El sistema binario (base 2) fue propagado en el siglo XVII por Gottfried Leibniz . [47] Leibniz había desarrollado el concepto al principio de su carrera y lo había revisado cuando revisó una copia del I Ching de China. [48] Los números binarios comenzaron a usarse comúnmente en el siglo XX debido a las aplicaciones informáticas. [47]
unidades o lugares de las unidades
lugar de las unidades o de las unidades
lugar de las unidades o de las unidades
unidades o unos, dígito
dígito de unos o unidades
unos, o unidades, dígito
cada número de dos dígitos se puede expresar como 10t+u cuando t es el dígito de las decenas
Es cierto que si abres una revista matemática moderna e intentas leer cualquier artículo, es muy probable que no veas ningún número.
El sistema corporal de Okspamin incluye 27 partes del cuerpo...
...incluso muescas cortadas en palos hechos de madera, hueso u otros materiales que datan de hace 30.000 años (a menudo denominadas "marcas con muescas").
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Y así, a principios del tercer milenio a. C., los sumerios y los elamitas habían adoptado la práctica de registrar información numérica en tablillas de arcilla pequeñas, generalmente rectangulares.
Las ventajas de una representación modular son que la suma, la resta y la multiplicación son muy simples.
El primer ejemplo fechado con seguridad en el que el uso de números alfabéticos hebreos es seguro se encuentra en monedas del reinado del rey asmoneo Alejandro Janeo (103 a 76 a. C.)...
La astronomía maya calculó con precisión tanto la duración del año solar como la revolución sinódica de Venus.
definitivamente antes del 400 a. C. poseían una notación posicional similar basada en las antiguas varas de conteo.