Los sistemas de numeración de base mixta son sistemas de numeración posicional no estándar en los que la base numérica varía de una posición a otra. Este tipo de representación numérica se aplica cuando una cantidad se expresa utilizando una secuencia de unidades que son cada una múltiplo de la siguiente más pequeña, pero no por el mismo factor. Estas unidades son comunes, por ejemplo, para medir el tiempo; un tiempo de 32 semanas, 5 días, 7 horas, 45 minutos, 15 segundos y 500 milisegundos se puede expresar como una cantidad de minutos en notación de base mixta como:
... 32, 5, 07, 45; 15, 500... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000
o como
En el formato tabular, los dígitos se escriben sobre su base, y un punto y coma indica el punto de la base . En el formato numérico, cada dígito tiene su base asociada adjunta como un subíndice, y el punto de la base está marcado por un punto o punto . La base para cada dígito es el número de unidades correspondientes que componen la siguiente unidad más grande. Como consecuencia, no hay base (escrita como ∞) para el primer dígito (el más significativo), ya que aquí la "próxima unidad más grande" no existe (y no se podría agregar una unidad más grande de "mes" o "año" a la secuencia de unidades, ya que no son múltiplos enteros de "semana").
El ejemplo más conocido de sistemas de base mixta se encuentra en la cronología y los calendarios. Las bases de tiempo occidentales incluyen, tanto en forma cardinal como ordinal, años decimales , décadas y siglos, septenarios para los días de una semana, meses duodecimales para los años, bases 28-31 para los días de un mes, así como base 52 para las semanas de un año. El tiempo se divide además en horas contadas en base 24 horas, minutos sexagesimales dentro de una hora y segundos dentro de un minuto, con fracciones decimales de estos últimos.
Un formato estándar para fechas es10/04/2021 16:31:15, que sería un número de base mixta según esta definición, teniendo en cuenta que la cantidad de días varía tanto por mes como con los años bisiestos. Un calendario propuesto utiliza en cambio una base de 13 meses, semanas cuaternarias y días septenarios.
Un sistema de numeración de base mixta suele expresarse mejor con una tabla. La tabla que describe lo que se puede entender como los 604800 segundos de una semana es la siguiente, con la semana comenzando en la hora 0 del día 0 (medianoche del domingo):
En este sistema de numeración, el numeral de base mixta 3 7 17 24 51 60 57 60 segundos se interpretaría como 17:51:57 el miércoles, y 0 7 0 24 02 60 24 60 sería 00:02:24 el domingo. Las notaciones ad hoc para sistemas de numeración de base mixta son comunes.
El calendario maya consta de varios ciclos superpuestos de diferentes raíces. Un tzolk'in de cuenta corta superpone días nombrados de base 20 con días numerados en tres cifras . Un haab' consta de días vigesimales, meses octodecimales y años de base 52 que forman una ronda . Además, una cuenta larga de días vigesimales, winal octodecimal , luego tun , k'atun , b'ak'tun , etc. de base 24, sigue las fechas históricas.
Un segundo ejemplo de un sistema de numeración de base mixta en uso actual es el diseño y uso de moneda, donde se imprime o acuña un conjunto limitado de denominaciones con el objetivo de poder representar cualquier cantidad monetaria; la cantidad de dinero se representa entonces por el número de monedas o billetes de cada denominación. Al decidir qué denominaciones crear (y, por lo tanto, qué bases mezclar), se busca un compromiso entre un número mínimo de denominaciones diferentes y un número mínimo de piezas de moneda individuales necesarias para representar cantidades típicas. Así, por ejemplo, en el Reino Unido, se imprimen billetes de £50, £20, £10 y £5, y se acuñan monedas de £2, £1, 50p, 20p, 10p, 5p, 2p y 1p; estos siguen la serie 1-2-5 de valores preferidos .
Antes de la decimalización , las cantidades monetarias en el Reino Unido se describían en términos de libras, chelines y peniques, con 12 peniques por chelín y 20 chelines por libra, de modo que "£1 7s 6d", por ejemplo, correspondía al numeral de raíz mixta 1 ∞ 7 20 6 12 .
Las unidades habituales de los Estados Unidos son generalmente sistemas de radio mixtos, con multiplicadores que varían de una unidad de tamaño a la siguiente de la misma manera que lo hacen las unidades de tiempo.
La representación de base mixta también es relevante para las versiones de base mixta del algoritmo FFT de Cooley-Tukey , en las que los índices de los valores de entrada se expanden en una representación de base mixta, los índices de los valores de salida se expanden en una representación de base mixta correspondiente con el orden de las bases y los dígitos invertidos, y cada subtransformación puede considerarse como una transformada de Fourier en un dígito para todos los valores de los dígitos restantes.
Los números de base mixta pueden manipularse mediante una generalización de algoritmos aritméticos manuales. La conversión de valores de una base mixta a otra se logra fácilmente convirtiendo primero los valores posicionales de un sistema en el otro y luego aplicando los dígitos de un sistema a estos.
APL y J incluyen operadores para convertir hacia y desde sistemas de base mixta.
Otra propuesta es el llamado sistema de numeración factorial :
Por ejemplo, el número más grande que se puede representar con seis dígitos es 543210, que equivale a 719 en decimal : 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Puede que no esté claro a primera vista, pero el sistema de numeración basado en factoriales es inequívoco y completo. Cada número se puede representar de una sola manera, porque la suma de los respectivos factoriales multiplicada por el índice es siempre el siguiente factorial menos uno:
Existe una correspondencia natural entre los números enteros 0, ..., n ! − 1 y permutaciones de n elementos en orden lexicográfico, que utiliza la representación factorial del entero, seguida de una interpretación como código de Lehmer .
La ecuación anterior es un caso particular de la siguiente regla general para cualquier representación de base de base (ya sea estándar o mixta) que expresa el hecho de que cualquier representación de base de base (ya sea estándar o mixta) es inequívoca y completa. Cada número se puede representar de una sola manera porque la suma de los pesos respectivos multiplicada por el índice es siempre el siguiente peso menos uno:
lo cual puede demostrarse fácilmente mediante inducción matemática .
Otra propuesta es el sistema de numeración con números primos sucesivos como base, cuyos valores de posición son números primos , considerado por SS Pillai [1] , Richard K. Guy (secuencia A049345 en la OEIS ), y otros autores [2] [3] [4] :
![{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6d0fab1e62c69dfdf5eeadd6b2accf9c2e56f)
